江苏省泰兴市第一高级中学2015届高三数学上学期阶段练习四 理
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1 泰兴市第一高级中学2014年秋学期阶段练习四
高 三 数 学 (理)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．
1．函数222sin3cos4yxx的最小正周期为 ．
2．函数()lg(23)xxfx的定义域为 ．
3．已知双曲线22221xyab的一条渐近线方程为20xy，则该双曲线的离心率为 ．
4．已知实数x，y满足约束条件333xyyx≥≤≤，，，则225zxy的最大值为 ．
5．数列{}na是等差数列，若1351,3,5aaa构成公比为q的等比数列，则q________.
6．若曲线1C：43236yxaxx与曲线2C：exy在1x处的切线互相垂直，则实数a的值为 ．
7．已知|OA→|＝1，|OB→|＝2，∠AOB＝2π3，OC→＝12OA→＋14OB→，则OA→与OC→的夹角大小为 ．
8．已知函数()2sin(2)(0)4fxx的最大值与最小正周期相同，则函数()fx在[11]，上的单调增区间为 ．
9．已知函数f(x)＝201,02(1),xxxx≥，，若((2))()fffk，则实数k的取值范围为 ．
10．设等比数列{}na的前n项和为nS，若435aaa，，成等差数列，且33kS，163kS，其中kN，则2kS的值为 ．
11．已知F1，F2分别是椭圆x28＋y24＝1的左、右焦点，P是椭圆上的任意一点，则|PF1－PF2|PF1的取值范围是________．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan7tanAB，223abc，则c ． 2 13．数列na中，16a，且111nnnaaann（*nN，2n≥），则这个数列的通项公式na ．
14．已知两条直线1:lym和28:(0)21lymm，1l与函数2|log|yx的图象从左至右相交于点,AB，2l与函数2|log|yx的图象从左至右相交于点,CD，记线段AC和BD的长度分别为,ab.当m变化时，ba的最小值为 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量(,)mac，(cos,cos)nCA．
（1）若mn∥，3ca，求角A；
（2）若3sinmnbB，4cos5A，求cosC的值．
16. (本小题满分14分)
等差数列{}na的前n项和为nS，已知110a，2a为整数，且4nSS.
⑴求{}na的通项公式；
⑵设11nnnbaa，求数列{}nb的前n项和nT的最小值.
3 17．（本小题满分14分）
给定椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1)．
（1）求实数a，b的值；
（2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为22，求实数m的值．
18．（本小题满分16分）已知等差数列{an}的首项a1为a(,0)aRa.设数列的前n项和为Sn ,且对任意正整数n都有24121nnanan.
(1) 求数列{an}的通项公式及Sn ;
(2) 是否存在正整数n和k,使得Sn , Sn+1 , Sn+k 成等比数列?若存在,求出n和k的值;若不存在,请说明理由.
4 19．（本小题满分16分）
如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，5km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．
20．（本小题满分16分）
已知函数()lnafxxxx，aR．
（1）当0a时，求函数()fx的极大值；
（2）求函数()fx的单调区间；
（3）当1a时，设函数()(1)11agxfxxx，若实数b满足：ba且
()1bggab，()22abgbg，求证：45b． ·
A M N
P
（第19题图） α C
B 5 第四次阶段测试数学（理）参考答案
1. p 2. (,0) 3. 5 4. 12 5. 1 6. 13e 7. 60° 8. 13[,]44
9. 12(log9,4) 10. 129 11. [0,22＋2] 12. 4 13. (1)(2)nn 14. 82
15. 解：（1）∵mn∥，∴coscosaAcC．由正弦定理，得sincossincosAACC．
化简，得sin2sin2AC． „„„„„„„„„„„„„„„2分
∵,(0,)ACp，∴22AC或22ACp，
从而AC（舍）或2ACp．∴2Bp． „„„„„„„„„„„„4分
在Rt△ABC中，3tan3aAc，6Ap． „„„„„„„„„„„„„6分
（2）∵3cosmnbB，∴coscos3sinaCcAbB．
由正弦定理，得2sincossincos3sinACCAB，从而2sin()3sinACB．
∵ABCp，∴sin()sinACB． 从而1sin3B． „„„„„8分
∵4cos05A，(0,)Ap，∴(0,)2Ap，3sin5A． „„„„„„„„10分
∵sinsinAB，∴ab，从而AB，B为锐角，22cos3B． „„„12分
∴coscos()coscossinsinCABABAB
=42231382535315． „„„„„„„„„„„„„14分
16.解：⑴由110a，2a为整数知，等差数列{}na的公差d为整数．又4nSS，故4500aa，
于是10301040dd，解得10532d，因此3d，
故数列{}na的通项公式为133nan．
⑵1111(133)(103)3103133nbnnnn， 6 于是1111111371047103133nTnn111310310n．
因为nT单调递增，所以当1n时，nT取得最小值170．
17．解：（1）记椭圆C的半焦距为c．
由题意，得b＝1，ca＝32，c2＝a2＋b2，
解得a＝2，b＝1． „„„„„„„„„„„„„ 4分
（2）由（1）知，椭圆C的方程为x24＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．
显然直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0． „„„„„„„„„„ 6分
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
故方程组y＝kx＋m，x24＋y2＝1 （*） 有且只有一组解．
由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．
从而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．
化简，得m2＝1＋4k2．① „„„„„„„„„„„„„ 9分
因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为22，
所以圆心到直线l的距离d＝ 5－2＝3．
即|m|k2＋1＝3． ② „„„„„„„„„„„ 12分
由①②，解得k2＝2，m2＝9．
因为m＞0，所以m＝3． „„„„„„„„„„„ 14分 7
19．解：（方法一）
如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．
因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．
设点P(x0，y0)．
因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．
由P到直线AN的距离为5，
得∣2x0＋y0∣5＝5，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
所以点P(1，3)． „„„„„„„„„„„„ 4分
显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
令y＝0得xB＝1－3k． „„„„„„„„„„„„ 6分
由y－3＝k(x－1)，y＝－2x解得yC＝6－2kk＋2． „„„„„„„„„„„„ 8分
设△ABC的面积为S，则S＝12xByC＝－k2＋6k－9k2＋2k＝－1＋8k－9k2＋2k． „„„„„ 10分
由S＝ －2(4k＋3)(k－3)(k2＋2k)2＝0得k＝－34或k＝3． ·
(A) x N
P y
O B C
（第19题图1） 8 当－2＜k＜－34时，S＜0，S单调递减；当－34＜k＜0时，S＞0，S单调递增．„ 13分
所以当k＝－34时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．
答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．„„„„„„ 16分
（方法二）
如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．
因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．
设点P(x0，y0)．
因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．
由P到直线AN的距离为5，
得∣2x0＋y0∣5＝5，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，
所以点P(1，3)． „„„„„„„„„„„„ 4分
显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．
令y＝0得xB＝1－3k． „„„„„„„„„„„„ 6分
由y－3＝k(x－1)，y＝－2x解得yC＝6－2kk＋2． „„„„„„„„„„„„ 8分
设△ABC的面积为S，则S＝12xByC＝－k2＋6k－9k2＋2k＝－1＋8k－9k2＋2k． „„„„„ 10分
令8k－9＝t，则t∈(－25，－9)，从而k＝t＋98．
