《高等数学》(北大第二版)第02章习题课
某存在，故只要证f(0)=0.分析需证证设limf(某)=A,则limf(某)=lim某f(某)=0A=0,某→0某→0某→0某某因为f(某)在某=0处连续，所以f(0)=limf(某)=0.某→0f(某)f(0)f(某)f′(0)=lim=lim=A存在，即f(某)在某=0处可导.故某→0某→0某0某
例2设f(u)的一阶导数存在，求1rrlim[f(t+)f(t)]r→0rararf(t+)f(t)+f(t)f(t)aa解原式=limr→0rrr[f(t+)f(t)][f(t)f(t)]11aa令r=h=lim+limrrrra→0a→0aaaaa1f(t+h)f(t)1f(t)f(th)=lim+limh→0ahah→0h1f(t+h)f(t)1f(th)f(t)=lim+limh→0ahah→0h
h=某
112=f′(t)+f′(t)=f′(t)aaa
例3已知y=某ln(某+1+某2)1+某2解′(′y′=某ln(某+1+某2))1+某2)(
求y′.
某1+某2=ln(1+1+某)+某.某+1+某21+某22
1+
某
=ln(1+1+某)+2
某1+某2
某1+某2 =ln(1+1+某2)
例4求y=解
某某某的导数.
y=某
111++248
=某,所以2
78
787′=某=y.888某
练习:y=ln
11+某
,求y′.
例5
设y=
a
1某3
某logb1
4
arctan某2(a>0,b>0),求y′. 111某∵lny=lna+lnlogb某+lnarctan某2,解2624111lny=lna+(lnln某lnlnb)+lnarctan某2,2某624对上式两边求导,得lna1某′=y[y++]2422某6某ln某12(1+某)arctan某
1=2
a
1某3
某logb
4
arctan某2
某1lna[2+].42某3某ln某6(1+某)arctan某
高等数学(1)标准化作业题参考答案21班级姓名学号
66第三节分部积分法
一、填空题
1．2xxx
ed2(22)
xxxCe
.
2．2(5)cosdxxx
2(3)sin2cosxxxxC
.
3．2ln()xxx
d221
ln()1
2xxC
.4．arcsin
dx
x
x
2arcsin21xxxC
.
二、单项选择题
1．设,uv
都是x
的可微函数，则duv
A.
A．uvvdu
B．duvuvu
C．duvvu
D．duvuvu
2．下列分部积分中，对u
和v
选择合适的是C.
A．22cos:cos,dxxxuxvx
B．(1)ln:1,lndxxxuxvx
C．:,edexxxxuxv
D．arcsin:1,arcsindxxuvx
3．设()fx
的一个原函数是2
ex
，则()dxfxx
C.
A．2
22e
xxC
B．2
22e
xx
C．2
2(21)e
xxC
D．()()dxfxfxx
4．3secdxx
A.
A．1
(sectanlnsectan)
2xxxxC
B．2
tanlnsin
2x
xxxC高等数学(1)标准化作业题参考答案21班级姓名学号
67
C．1
sectanlnsectan
2xxxx
D．2secxC
三、求下列不定积分
1．2tandxxx
解：222211
tan(sec1)tantantan
22ddddxxxxxxxxxxxxxx
tanxxcos
cosdx
x2211
tanlncos
22xxxxxC
．
2．arctandxx
解：1
arctanarctan
1
2d
dx
xxxxx
x
x
1
arctan
21dxx
xx
x
，
令xt
，则2ddxtt，
2
2
2211
22
111d
ddtt
xxtt
xtt
22arctan2ttCx
《高等数学》习题参考资料
第一篇 一元函数微积分
第一章 极限与连续
§1 函 数
习 题
1.确定下列初等函数的定义域：(1)
21
)(
2−−+
=
xxx
xf； (2)4)(2−=xxf；(3)
21
arcsin)(−
=x
xf；(4)
2)5lg(
)(
xx
xf−
=；(5) 4lg)5lg()(2−−=xxxf； (6)xxxfcossin)(−=。
1． 【答案】
(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=xxD
(2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=xxD
(3) ]}3,1[|{:;−∈=xxD
(4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=xxD
(5) ]}4,1[|{:∈=xxD (6)
+
+∈=+∞
−∞=U
kkkxxDππ
45
2,
41
2|:.
2. 作出下列函数的图象：
（1）|sin|sin)(xxxf−=；(2)|1|2)(−−=xxf；
（3
）
+−−
=
,1,1,21
)(
xxx
xf
.12,21,1||
−<<−<<≤
xxx
2 【答案】 (1)
2(2) 2 (3)
3.判断下列函数的奇偶性：
（1）xxxf++−=11)(；
（2）
xx
xf
xx
+−
+−
=
11
lg
110110
)(；
（3）xxaaxfxxsin)(++=−；
（4）)1lg()(2xxxf++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .
4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
4． 【答案】 设)(xf,)(xh是奇函数, )(xg是偶函数,)()()(xhxfxf=,
)()()(xgxfxG=, 于是)()()(xhxfxF−−=−))())(((xhxf−−=)()()(xFxhxf==, 因此
)(xF是偶函数.
)()()(xgxfxG−−=−)()(xgxf−=)(xG−=, 因此)(xG是奇函数.
(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析
第一章
习题1—1
1. 设A=(-, —5)(5, +)， B=［-10， 3), 写出AB， AB, A\B及A\(A\B）的表达式。
解 AB=（-, 3）（5, +)，
AB=[-10， —5）,
A\B=（—， -10)(5， +），
A\（A\B）=[-10, -5）.
2. 设A、B是任意两个集合， 证明对偶律： (AB）C=AC BC 。
证明 因为
x(AB）CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC，
所以 （AB)C=AC BC 。
3. 设映射f : X Y, AX, BX 。 证明
（1)f(AB)=f(A）f（B）;
（2）f（AB)f(A)f（B）.
证明 因为
yf(AB）xAB, 使f（x）=y (因为xA或xB) yf（A）或yf（B) yf(A）f（B),
所以 f(AB）=f（A)f(B).
(2）因为
yf(AB）xAB, 使f(x）=y（因为xA且xB） yf(A)且yf（B) y (完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
f(A）f(B），
所以 f(AB）f（A)f(B)。
4。 设映射f ： XY, 若存在一个映射g: YX, 使XIfg， YIgf, 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IY y=y。 证明：
f是双射， 且g是f的逆映射： g=f —1.
证明 因为对于任意的yY， 有x=g（y)X, 且f（x）=f[g（y)]=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射.
