高等数学习题课(第一部分)

《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。

1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。

3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。

4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。

高等数学（本）第一章 函数与极限1. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛6sin )6(ππϕ=21=224sin )4(==ππϕ ()0222)4sin()4(==-=-ϕππϕ2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤[]ππππ)12(,2)(sin ),()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为所以知由][a a a x f ax a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为所以知－由][φ时，定义域为当时，定义域为当从而得－知由211,210111010)4(>-≤<⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a ax a a x a x班级 姓名 学号3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=-1,1,11,)]([.)20,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞→n n y 证明: .0lim =∞→n n n y x{}结论成立。

12 11 1 12 2 21 2第五章 微分中值定理与导数应用 随堂测验 答案第一讲 罗尔定理 1.已知函数 f ( x ) = ( x - 1)( x - 2 )( x - 3 ) ，则方程 f ' ( x ) = 0 有个实根.A. 0B. 1C. 3D. 2答案： D解 f (1 ) =f ( 2 ) = f ( 3 ) ，则 f ( x ) 在(1, 2 ) , ( 2 , 3 ) 满足罗尔定理条件，于是∃ ξ ∈ (1, 2 ), ξ ∈ ( 2 , 3 ) ，使得 f '(ξ ) = f '(ξ 2 ) = 0 ，所以 f ' ( x ) = 0 至少两个实根.又因为 f ' ( x ) = 0 为二次方程，最多两个实根，综上，方程 f ' ( x ) = 0 有两个实根. 2.设 f ( x ) = x ( x + 1)( x + 3 ) ， 则 f '( x ) = 0 有个实根.A. 3B. 2C. 1D. 0答案： B解法一：在区间[ - 3 , - 1] 上 f ( x ) 连续、可导，且 f ( - 3 ) = f ( - 1) = 0 ，所以由罗尔定理知，至少存在一个ξ ∈（ - 3, - 1），使 f '(ξ ) = 0 ，故ξ 为 f '( x ) = 0 的一个实根.同理在区间[ - 1 , 0 ]上 f ( - 1) = f ( 0 ) = 0 ，所以由罗尔定理知，至少存在一个ξ ∈（ - 1,0），使 f '(ξ ) = 0 ，故ξ 也为 f '( x ) = 0 的一个实根.又因为 f '( x ) 是二次多项式函数，最多只有两个实根，故ξ ，ξ 为 f '( x ) = 0 的两个实根.解法二： 对 f ( x ) = x ( x + 1)( x + 3) = x 3 + 4 x 2 + 3 x 求导得f '( x ) = 3 x 2 + 8 x + 3 ， 令 f '( x ) = 3 x 2+ 8 x + 3 = 0 ，∆ = b - 4 ac= 8 2- 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 64- 36 = 28 > 0 ，故 f '( x ) = 0 有两个实根.( ) ( )下 列 函 数 在 区 间 [ - 1 , 1 ]上 满 足 罗 尔 定 理 条 件 的 是 _____ _ .11A . f ( x ) = x -B . f ( x ) =xxC . f ( x ) = 1 - x2D . f ( x ) = 1- | x |答案： C解 选 项 A 中 的f ( x ) 在x = 0点 不 连 续 ;选 项 B 中 的 f ( x ) 不 满 足 f ( - 1) = f (1) 的 条 件 ， 在 x = 0 点 也 不 连 续 ;选 项 D 中 的 f ( x ) 在x = 0点 不 可 导 ， 因 此 选 项A 、B 、 D 都 不 满 足 罗 尔定理条件 .经 验 证 可 知 选 项C 中 的f ( x )满 足 罗 尔 定 理 的 全 部 条 件 .4.如果 f ( x ) 在[ 2 , 4 ] 上连续，在( 2 , 4 ) 上可导，f ( 2 ) = 1, f ( 4 ) = 4 ，求证： ∃ ξ ∈ ( 2 , 4 ) ,使得 f '(ξ ) =2 f (ξ ).ξ构造辅助函数.( A ) F ( x ) = f ( x )x 2f ( x )( B ) F ( x ) =f ( x )x32( C ) F ( x ) =x( D ) F ( x ) = x f ( x )答案：A证明 令F ( x ) = f ( x ) ,x2则 F ( x ) 在[ 2 , 4 ] 上连续，在( 2 , 4 ) 上可导，x 2f '( x ) - 2 x f ( x )故F ' ( x ) = =x4x f '( x ) - 2 f ( x ),x3f ( 2 ) 1 又 F 2 = = , 4 4f ( 4 ) 1F 4 = = , 1 6 4所以由罗尔定理得： ∃ ξ ∈ ( 2 , 4 ) ,使得 F '(ξ ) = 0 , 即ξ f '(ξ ) - 2 f (ξ ) ξ3= 0,也即ξf '(ξ ) - 2 f (ξ ) = 0 ， 故 f '(ξ ) =2 f (ξ )成立.ξ2若 f ( x ) 在[ 0，1] 上连续，在( 0 , 1) 内可导，且 f ( 0 ) =f (1) = 0 , 1f ( ) = 1 .证明：在( 0 , 1)2内至少有一点ξ 使 f '(ξ ) = 1 . 构造辅助函数.( A ) F ( x ) =f ( x )x2( B ) F ( x ) =f ( x )x3( C ) F ( x ) = f ( x ) + x( D ) F ( x ) = f ( x ) - x答案：D证 明 令 F ( x ) = f ( x ) - x ，则 F '( x ) = f '( x ) - 1，所 以 F ( x ) 在[ 0，1]上 连 续 ，( 0，1)内 可 导 ，且 F ( 0 ) =f ( 0 ) - 0 = 0 , F (1) =f (1) - 1 = - 1 < 0 , 1 F ( ) = 1 1 1 f ( ) -=> 0222211又 因 F ( x ) 在[ , 1] 上 连 续 ，由 零 点 定 理 得 ： ∃ η ∈ ( , 1), 使 F (η ) = 0 = F ( 0 );22所 以 ， F ( x ) 在[ 0 ,η ] 上 连 续 ，( 0， η )内 可 导 ， 且 F ( 0 ) = F (η ) ;由罗尔定理知，至少存在一点 ξ ∈ ( 0， η ) ⊂ ( 0 ,1)，使 F '(ξ ) = 0，即 f '(ξ ) = 1 .第二讲 拉格朗日中值定理1.对函数 f ( x ) =1 x在区间[1, 2 ] 上应用拉格朗日中值定理得 f ( 2 ) - f (1 ) = f ' ( ξ ) ，则ξ = .（其中1 < ξ < 2 ）( A )( B )1 ( C )( D ) 12答案：A解 因为 f ( x ) 在[1, 2 ] 上连续且可导，所以由由拉格朗日中值定理得：∃ ξ ∈ (1, 2 )使得： f ( 2 ) - f (1 ) =f ' ( ξ ) ( 2 - 1 ) ，1 1 1即-= f ' ( ξ ) ⨯ 1 ，所以-= -，解得ξ =.22 ξ22332. 对函数 y= x 3+ 8 在区间[ 0 , 1] 上应用拉格朗日定理时，所得中间值ξ 为.A. 3B.13C.1D.-3答案： C解 对函数 y= x 3+ 8 在区间[ 0 , 1] 上应用拉格朗日定理得 f '(ξ ) =f (1) -f ( 0 ) ，也 即 3ξ2=(1 + 8 ) - 8= 1 ，所以ξ =11 ∈ ( 0 , 1).1 - 03.若函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上连续，在( a , b ) 内可导，则.A. 存在θ ∈ ( 0 , 1) ，使得 f ( b ) -f ( a ) = f '[θ ( b - a )]( b - a )B. 存在θ ∈ ( 0 , 1) ，使得 f ( b ) -f ( a ) = f '[ a + θ ( b - a )]( b - a )C. 存在θ ∈ ( 0 , 1) ，使得 f ( b ) -f ( a ) = f '(θ )( b - a )D. 存在θ ∈ ( 0 , 1) ，使得 f ( b ) -f ( a ) = f '(θ ( b - a ))答案： B解 当θ ∈ ( 0 , 1) 时， a + θ ( b - a ) ∈ ( a , b ) ，由拉格朗日中值定理，得f ( b ) - f ( a ) = f '( a + θ ( b - a ))( b - a ) .4.b - ab b - a 设0 < a ≤ b ，则不等式≤ ln ≤ 成立．baa答案：正确证明 由于 y = ln x 在[ a , b ] 上连续， ( a , b ) 内可导，所以满足拉格朗日定理，于是∃ ξ ∈ ( a , b ) ，使得b l n =l b n - 1 l a n =b (- a ，aξ31b ln= ln b - ln a = a1( b - a )， a < ξ ξ< b ，1 111 b 1因 为 < <， 所 以 ( b - a ) < ln < ( b - a )， bξa b a ab - ab b - a即< ln <.ba a 5.π a rc s in x + a rc c o s x =4x ∈ [ - 1,1].答案：错误解 设 f ( x ) = a rc s in x + a rc c o s x , x ∈ [ - 1,1],因 f '( x ) =1 1≡ 0 ,ππ故 f ( x ) ≡ C （ C 为 常 数 ） , 又 f ( 0 ) =， 即 得 C = ,因 此 a rc s in x + a rc c o s x = 22 π ， x ∈ [ - 1,1].2第三讲 柯西中值定理 1.函 数 f ( x ) = s in x 、 g ( x ) = πx + c o s x 在 区 间[ 0， ]上 不 能 使 用 柯 西 中 值 定 理 .2答案：错误解 函 数 f ( x ) = s in x 、 g ( x ) = πx + c o s x 在 区 间[ 0， ]上 符 合 柯 西 中 值 定 理 的 条 件22.证明柯西中值定理的过程如下：对 函 数 f ( x ) 在 区 间[ a , b ]上 使 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 ： 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b )， 使 得 ： f ( b ) - f ( a ) = f '(ξ ) ( b - a )①同 理 ， 对 函 数 g ( x ) 在 区 间[ a , b ]上 使 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 得 ： 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b )， 使 得 ： g ( b ) - g ( a ) = g '(ξ ) ( b - a ) ②① ÷ ② 得 ： 至 少 存 在 一 点 ξ ∈ ( a , b )， 使 得 ：f ( b ) - f ( a )= f '(ξ ) .( A ) 正 确g ( b ) - g ( a )( B ) 错 误g '(ξ )答案：错误解①与②中的ξ不同3.设函数 f ( x )、g ( x ) 满足：(1) 在闭区间[ a , b ]上连续；( 2 ) 在( a , b )内可导，f ( b ) -f ( a ) f '(ξ)则在( a , b )内至少存在一点ξ，使得：=g ( b ) -g ( a ) g '(ξ)( A ) 正确( B ) 错误答案：错误解 ： 掉 了 条 件 ( 3 ) g '( x ) ≠ 0， x ∈ ( a , b ) .柯西中值定理：设函数 f ( x )、g ( x ) 满足：(1) 在闭区间[ a , b ]上连续；( 2 ) 在( a , b )内可导；(3) g '( x ) ≠ 0， x ∈ ( a , b )f ( b ) -f ( a ) f '(ξ)则在( a , b )内至少存在一点ξ，使得：=g ( b ) -g ( a ) g '(ξ) 第四讲洛必达法则(1)1.求极限lim x - ta n x ．x → 0 x 2 ( e x - 1)1 1 1 1( A ) ( B ) - ( C ) - ( D )3 3 2 2答案：B解由等价无穷小替换和洛必达法则得lim x → 0x - ta n xx 2 ( e x - 1 )= limx → 0x - ta n xx 3= limx → 01 - s e c2 x3 x 2= limx → 0-2 s e c 2 x ta n x6 x1=-.32.求极限lim ⎛x-1 ⎫.⎪x → 1 ⎝x - 1 ln x ⎭1 1 1 1 ( A ) ( B ) - ( C ) - ( D )2 3 2 3⎛e答案：A 解 lim x-1 ⎫= limx ln x - ( x - 1) = limln x + 1 - 1⎪ x → 1⎝ x - 1 ln x ⎭x → 1( x - 1) ln x1 x → 1x - 1x+ ln x= limln x = limx = 1 . x → 11 1 -+ ln xx → 11 1 2+3. 极限limx → 0答案：3xx - x c o s x =x - s in xx x 2.解 利用洛必达法则和等价无穷小代换可得limx - x c o s x x (1 - c o s x ) = lim= lim x ⋅ 1 x 2 2 1 3 x 2= lim= 3 . x → 04.x - s in xx → 0x - s in xx → 0 x - s in x 2 x → 0 1 - c o s x1极限lim x2( ex2x → ∞- 1) =.答案： 1解法一 利用洛必达法则可得11x221ex 21 ⋅ ( -2 ) 132lim x 2( e x- 1) = lim= limx= lim e x= 1 .x → ∞x → ∞1x 2x → ∞1- 2x3x → ∞解法二 利用等价无穷小替换可得1lim x 2( e x 2 x → ∞- 1) = lim x 2⋅ 1x → ∞ x 2= 1 .5. 1ln (1 + ) 极限 limx → + ∞答案：1x = .a rc c o t x解 利用洛必达法则和等价无穷小替换可得- 1⎛1 ⎫ 11 ln 1 + ⎪-2 ⎝ x ⎭xx 21 + xlimx → + ∞a rc c o t x= limx → + ∞a rc c o t x= limx → + ∞1-1 + x 2= limx → + ∞x 2= 1 .第五讲 洛必达法则(2) 1.limx → 0(1 + x ) a- 1x=( a 为 任 何 实 数 ).( A ) a( B ) ea( C ) 1 ( D ) 0答案：A解此极限为 “ 0” 型 未 定 式 ， 满 足 洛 必 达 法 则 条 件 ， 因 此lim0 (1 + x ) a- 1= lima (1 + x )a - 1= a .x → 0xx → 01若 设 函 数 f ( x ) = x = 1处的导数值 .x a， 我 们 容 易 发 现 极 限 limx → 0(1 + x ) ax- 1实 际 上 为 函 数 f ( x ) = x a在2. 设lima tan x +b (1 - co s x ) = 2 ，其中a 2+ c 2 ≠ 0 ，则必有.x → 0c ln (1 - 2 x ) +d (1 - e- x2)（A ） b = 4 d （B ） b = - 4 d （C ） a = 4 c （D ） a = - 4 c 答案： D解 利用洛必达法则，得左边= lima s e c 2x + b s in x= lima +b s in xc o s 2x1 -2 x⋅x → 0- 2c ⋅ +d ⋅ 2 x e1 -2 x- x 2x → 0- 2 c + 2 d x e- x2(1 - 2 x ) c o s 2xa +b s i n xc 2o s xa = l i m= - .x → 0- 2 c + 2 d x -e x2( 1-2x - 2 ca 由-= 2 ，得a = - 2 c .-2 c本题也可以用等价无穷小代换计算x )ta n x a ⋅+ b ⋅1 - c o s x a ⋅ lim ta n x + b ⋅ l im 1 - c o s x左边= limxx = x → 0 x x → 0 xx → 0ln (1 - 2 x )1 - e- x2c ⋅+ d ⋅c ⋅ lim ln (1 - 2 x ) 1 - e- x2+ d ⋅ lim xx1 x2x → 0 x x → 0 xa ⋅ lim x+ b ⋅ lim = x → 0 x x → 0 x = - a， 由-a= 2 得a = - 4 c . c ⋅ lim - 2 x x 22 c2 c+ d ⋅ lim x → 0 x3.x → 0 x极限lims in 2 x - x 2 c o s 2x = .x → 0x ( e 2 x- 1) ln (1 + ta n x 2)1 1 11( A )( B )( C ) -( D ) -232 3答案：B解 原式= limx → 0s in 2 x - x 2 c o s 2x x ⋅ 2 x ⋅ ta n x 21 ( s in x - x c o s x )( s in x + x c o s x )1 s in x - x c o s xs in x + x c o s x= lim 2 x → 0 = lim x4 2 x → 00 ⋅ limx3x → 0x 1 s in x - x c o s xc o s x - c o s x + x s in xx s in xx21= lim 2 x → 04.⋅ 2 = limx3x → 03 x2= limx → 03 x2= lim = .x → 0 3 x 23极限lim ( c o s x )x → 01ln ( 1 + 2= .( A ) -1 1 1( B )( C ) 2 2e答案： C⎡ ln c o s x ⎤ 解 原式= e x p lim , ⎢ x → 0ln (1 + x 2 ) ⎥⎣⎦而 limln c o s x = lim ln c o s x0 = lims in x - c o s x 1 = - , x → 0ln (1 + x 2)x → 0x 2x → 02 x 2( D )2e1- 1 所以原式=e2=.5. 极限lim (1 +1 ) x=_ .x → 0x答案： 11ln (1 + ) lim x[ l n (1 + 1)]' lim x解 lim (1 +x → 01 )xx= lim ex → 0ln (1 + 1) xx= lim ex → 01 x ln (1 + )xx → 01 = exx → 01 ( ) ' = ex= e 0= 1 .第六讲 泰勒中值定理 1.设 limx → 0ln (1 + x ) - ( a x + b x 2)x 2= 2， 则 ______ _ .( A ) a = 1, b = -答案：A2.5 5 ( B ) a = 0 , b = - 2 ( C ) a = 0 , b = -22( D ) a = 1, b = - 2limx → 0x2-c o s x - e 2 x 4= _ _ _ _ _ _ . 111 1( A )( B ) -( C )( D ) -1 21 233 答案：B20 03.设 当 x → 0 时 ， e x - ( a x 2 + b x + 1) 是 比 x 2高 阶 的 无 穷 小 ， 则 ______ _ .11 ( A ) a = - 1, b = 1( B ) a = 1, b = 1( C ) a = -答案：D4., b = 1 ( D ) a =22 , b = 1y = 2 x 的麦克劳林公式公式中 x n项的系数是 ______ _ . ( ln 2 ) n( A )( B ) -ln 2 ln 2ln 2 ( C )( D )n !2 答案：A第七讲单调性极值最值1.n n !函数 y =x ln x的单调增加的区间是.( A )( - ∞ , e )( B )( e , + ∞ )( C )(1, + ∞ )( D ) R答案：B解 求函数 y =x ln x的导数得 y ' =ln x - 1，而函数的单调增区间需要 y ' > 0 ，即 ( ln x )ln x - 1 > 0 ，解得 x > e.2. 若函数 y =f ( x ) 在点 x = x 处取得极大值，则 .A.f '( x ) = 0 B. f ''( x ) < 0C.f '( x ) = 0 且 f ''( x ) < 0 D.f '( x ) = 0 或 f '( x ) 不存在3 π - 6 0 00 00 0答案：D 解若函数 y =f ( x ) 在点 x = x 处取得极大值，则 x 可能是驻点，也可能是不可导点，所以 f '( x ) = 0 或 f '( x ) 不存在. 3. 函数 y = x 2 ln x 在 [1, e ] 上最大值是.A.e 2B. eC.0D. e - 2答案：A解 在 [1, e ] 上 ， y ' = 2 x ln x + x = x ( 2 ln x + 1) > 0 ，所以函数单调递增，右端点对应的函数值即为最大值, 即 f ( e) = e 2 为最大值.4. 当π< x ≤π 时， f ( x ) = s in x 是 函数6 2 x（填“单调递增”或“单调递减”）答案： 单调递减 解：先求 f ( x ) =s in x 的导数 f '( x ) =xx c o s x - s in x，x2令 g ( x ) = x c o s x - s in x ，从而 g '( x ) = - x s in x ，当π < x ≤ π时， g '( x ) < 0 ， 6 2π π π π 1 即 g ( x ) < g ( ) = c o s - s in = ⋅ < 0 ,6 6 6 6 2 6从而 f '( x ) < 0 ，故函数 f ( x ) 单调递减. 5.若函数 f ( x ) 在区间(a , b ) 内仅有一个极值点，则该点不一定是驻点..答案： 正确解若函数 y =f ( x ) 在点 x = x 处取得极大值，则 x 可能是驻点，也可能是不可 导点.， ， 第八讲 曲线的凹凸性、渐近线1.若在区间( a , b ) 内，导数 f '( x ) < 0 ，二阶导数 f ''( x ) > 0 ，则函数 f ( x ) 在该区间内是 .A. 单调增加，曲线是凸的B. 单调增加，曲线是凹的C. 单调减少，曲线是凸的D. 单调减少，曲线是凹的答案： D解 由函数的单调知， f '( x ) < 0 , f ( x ) 单调减少，由函数的凹凸性知， f ''( x ) > 0 , f ( x )向 下 凹 .2.曲线 y = x 2 - x 3的拐点是1 211 21( A ) ( , )( B ) x =( C ) ( , )( D ) x =2 2 733 2 72答案： C解 由 y = x 2 - x 3得y ' = 2x - x3 ，2y '' = -2 x 6,令 y '' = 0 1得 x = .当 x < 1y '' < 0 当 ; x >1y '' > 3 331 2于 是 拐 点 为 （ ， ） .3 2 73.若点(1, 3 ) 为 y = ax 3 + bx 2的拐点，则a 、b 的值为.A. a = - 6 , b = 3B. a = -3 9 , b =22C. a = 0 , b = 3D. a = 3 , b = 0答案： B解 将拐点(1, 3 ) 代入 y = ax 3 + bx 2 得a + b = 3, 再求 y ' = 3 ax 2 + 2 bx ,y '' = 6 a x + 2 b ，在拐点处 y '' = 0 ，将拐点(1, 3 ) 代入得6 a + 2 b = 0 ，联立方程解a = - 3 9, b = .224.曲线 y =1 x 2- 3 x + 2有 ____.A . 水平渐近线 y = 0 ，垂直渐近线 x = 1 ， x = 2B . 水平渐近线 y = 0 ，无垂直渐近线.C . 垂直渐近线 y = 1 ， y = 2 ，水平渐近线 x = 0D . 垂直渐近线 x = 1 ， x = 2 ，无水平渐近线. 答案： A 解l i m 1=，所以有水平渐近线 y = 0 ；x → ∞ x 2- 3 x + 2 1 lim1 = lim= ∞有垂直渐近线 x = 1, x = 2x → 1x 2- 3 x + 25. x → 2x 2- 3 x + 2曲线 y =x ln ( 2 +1) 的渐近线为 .x( A ) 1 x = -1 ( B ) x =( C ) 1 x = -1 ( D ) x =2332答案：A 解 因为limf ( x ) = lim x ln ( 2 + 1) = ∞ ，故该曲线没有水平渐近线；x → ∞x → ∞ x1 ln (2 +)又因为lim1f ( x ) = lim x ln ( 2 +) = limx= 0 ，故 x = 0 不是垂直渐近线；x → 0x → 0xx → 0 1 x因为 lim 1 x → - f ( x ) =lim 1 x → -x ln ( 2 + 1) = ∞ ，所以 xx1 = -是曲线的垂直渐近线.222。

高等数学课后答案习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ;解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11;解 由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11.(3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0);解 由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=.(4) y =2sin3x ;解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5) y =1+ln(x +2);解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x xy .解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ;解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1. 解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);解 由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );解 由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) . (3) f (x +a )(a >0);解 由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 001)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin hDC AB ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解 当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=;解 当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)212nx n +=; 解 当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ;解 当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解 当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2c o s||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析 要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明 因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析 要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明 因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析 要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明 因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞),证明: x n →a (n →∞).证明 因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞). 习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析 因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明 因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析 因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明 因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析 因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ,所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析 因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ,所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x xx ; 分析 因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明 因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x xx . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析 因为x xx x x 1|s i n |0s i n≤=-.所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明 因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n xx , 所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解 要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明 因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明 因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明 因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε , 即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明 因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xxx --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x→x 0 ∀ε>0, ∃δ>0, 使 当0<|x -x 0|<δ时,有恒|f (x )-A |<ε.x →x 0+x →x 0-x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →-∞解 f (x )→A f (x )→∞ f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当时, 有恒|f (x )-A |<ε.0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )|>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )<-M .x→x 0+ ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )<-M .x →x 0- ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )<-M .x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )<-M .x →+∞∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→;解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x .2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ;解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x xx ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零).或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解 因为02lim 2lim202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x x x x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2xx -.证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解 只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11l i m )(l i m 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1l i m )(l i m 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x xy , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x xy x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解 函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y , x =1.解 因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解 函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n 1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解 函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解 函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f)(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明 已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;。

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第1章课后习题详解第一章函数、极限与连续内容概要名称主要内容（1.1、1.2）函数邻域(){}δδ<-=axxaU,（即(){},U a x a x aδδδ=-<<+）(){}0,0U a x x aδδ=<-<（(){}0,,0U a x a x a xδδδ=-<<+≠）函数两个要素：对应法则f以及函数的定义域D由此，两函数相等⇔两要素相同；（与自变量用何字母表示无关）解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；特性局部有界性对集合DX⊂，若存在正数M，使对所有Xx∈，恒有()Mxf<，称函数()xf在X上有界，或()xf是X上的有界函数；反之无界，即任意正数M（无论M多大），总存在（能找到）Xx∈，使得()Mxf>局部单调性区间DI⊂，对区间上任意两点21xx，当21xx<时，恒有：()()21xfxf<，称函数在区间I上是单调增加函数；反之，若()()21xfxf>，则称函数在区间I上是单调减小函数；奇偶性设函数()xf的定义域D关于原点对称；若Dx∈∀，恒有()()xfxf=-，则称()xf是偶函数；若Dx∈∀，恒有()()xfxf-=-，则称()x f是奇函数；周期性若存在非零常数T，使得对Dx∈∀，有()DTx∈±，且()()x fTxf=+，则称()x f是周期函数；初等函数几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数；反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数课后习题全解习题1-1★1．求下列函数的定义域：知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① alog□,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③ (0)≥④ arcsin（[]1,1-∈）等解：（1）[)(]1,00,11100101122⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ； （2）31121121arcsin ≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ；（3）()()3,00,030031arctan 3⋃∞-∈⇒⎩⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；（4）()()3,11,1,,1310301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩⎨⎧-<-<⇒-=-x x or x x x x x y x；（5）()()4,22,11601110)16(log 221⋃∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？（1）2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x知识点：函数相等的条件；思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；解：（1）2lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，xx g lg )(=的定义域{},0R x x x D ∈>=，虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；（2）12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；★3．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=3,03,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4()4()6(--ϕπϕπϕπϕ，，，，并做出函数)(x y ϕ=的图形知识点：分段函数； 思路：注意自变量的不同范围；解：216sin )6(==ππϕ，224sin 4==⎪⎭⎫⎝⎛ππϕ，224sin 4=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππϕ()02=-ϕ；如图：★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：（1）()1,1∞--=xxy （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。

1习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q qp p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n na b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=+∈Z ,此与的选取矛盾.设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证。

第一章 函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)321x y x=+-(2) 1arctany x=+(3) 1arccosx y -=；(4) 313 , 1x y x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩. 解：(1)解不等式组23010x x +≥⎧⎨-≠⎩得函数定义域为[3,1)(1,1)(1,)---+∞U U ; (2)解不等式组230x x ⎧-≥⎨≠⎩得函数定义域为[U ;(3)解不等式组2111560x x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪-->⎩得函数定义域为[4,2)(3,6]--U ; (4)函数定义域为(,1]-∞.2．已知函数()f x 定义域为[0,1]，求(cos ),()() (0)f f x f x c f x c c ++->的定义域．解：函数f要有意义，必须01≤≤，因此f 的定义域为[0,1]；同理得函数(cos )f x 定义域为[2π-,2π]22k k ππ+；函数()()f x c f x c ++-要有意义，必须0101x c x c ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，因此，（1）若12c <，定义域为：[],1c c -；（2）若12c =，定义域为：1{}2；（3）若12c >，定义域为：∅． 3．设21()1,||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭0,a >求函数值(2),(1)f a f ．解：因为21()1||x a f x x x a ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以 21(2)104a f a a a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，22 ,>1,11(1)10 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩⎝⎭． 4. 证明下列不等式:(1) 对任何x R ∈有 |1||2|1x x -+-≥; (2) 对任何n Z +∈有 111(1)(1)1n n n n++>++;(3) 对任何n Z +∈及实数1a >有 111na a n--≤.证明：（1）由三角不等式得|1||2||1(2)|1x x x x -+-≥---= （2）要证111(1)(1)1n n n n++>++，即要证111n +>+= 111(1)(1)(1)11111n n n n n +++++++<=+++L 得证。

大学高等数学各章节练习题在大学阶段的学习中，高等数学是一个必修课程，它包含了各个章节和知识点的练习题。

练习题是帮助学生巩固理论知识、提高解题能力和应用能力的重要工具。

本文将根据大学高等数学的各个章节，对其练习题进行介绍和总结。

第一章导数与微分在高等数学的第一章中，导数与微分是其中的基础知识。

通过学习导数与微分的定义和性质，可以掌握求导法则和应用，从而解决各种函数的极值、单调性、函数图像以及相关应用问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求函数f(x)=3x^2-2x+1的导函数。

2. 设函数f(x)=√(x+1)，求f'(x)。

3. 设函数f(x)=e^x+2x，求f''(x)。

通过练习这些题目，可以加深对导数与微分概念的理解，熟练掌握运用导数的方法。

第二章不定积分在高等数学的第二章中，不定积分是其中的重要内容。

学习不定积分可以学会对函数的原函数进行求解，从而求出函数的不定积分。

以下是几道典型的练习题：1. 求函数f(x)=3x^2-2x+1的不定积分。

2. 求∫(2x+1)dx的结果。

3. 求∫sinx^2dx的结果。

通过练习不定积分的题目，可以提高对不定积分的理解和熟练应用。

第三章定积分与曲线长度在高等数学的第三章中，定积分是其中的关键知识点。

学习定积分可以求解曲线下面积、定积分的性质以及曲线长度等问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求∫[0,1]x^2dx的结果。

2. 求曲线y=x^2在[0,1]上的下曲边与y轴围成的面积。

3. 求曲线y=√(1-x^2)在[-1,1]上的弧长。

通过练习定积分的题目，可以加深对定积分概念的理解，并且掌握运用定积分求解相关问题的方法。

第四章微分方程在高等数学的第四章中，微分方程是其中的核心内容。

学习微分方程可以理解微分方程的概念和基本解法，并且可以应用微分方程解决实际问题。

以下是几道典型的练习题：1. 求解微分方程dy/dx = 2x。

2. 求解微分方程 dy/dx = y/x。

高数第一册 第一章 习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或（-，）（4）22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3＞＞1或＜-12222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦（8）0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭＞ ＞0＞1＞＞1(9)[1,2]-（10）21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 ＜00≤≤10即0＜＜1 ＜ 0和0＜≤2e 1≤≤27．(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶（6）2()()f x f x -=+=偶函数（7）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数）（8）2112()()2112x xx xf x f x -----===-++奇函数（9）()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13．（1）22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x Rϕϕ====∈（2）11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠--（3）32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或：14．[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ，定义域反函数定义域x ＞0反函数,定义域（x ）－＜＜1反函数16)＜＜+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.2 2。

习题一1. 下列函数是否相等,为什么?222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1(3)(),() 1.1f xg x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-解: (1)要使函数有意义,必须400x x -≥⎧⎨≠⎩即 40x x ≤⎧⎨≠⎩ 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞.(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩ 即 301x x x ≥-⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须210x -≠ 即 1x ≠±所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞.(4)要使函数有意义,必须12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤ 即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数).所以函数的定义域是ππ[π,π]66k k -++, k 为整数.3. 求函数1sin ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的定义域与值域.解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1x可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1]. 4. 没1()1xf x x-=+,求1(0),(),().f f x f x -解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x--==++ 5.设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)f x -.解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩6. 设()2,()ln x f x g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====7. 证明:3()21f x x =-和()g x =. 证:由321y x =-解得x =故函数3()21f x x =-的反函数是)y x =∈R ,这与()g x =个函数,所以3()21f x x =-和()g x =. 8. 求下列函数的反函数及其定义域:2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x xy y x xy y x x +-==+++==+∈ 解: (1)由11x y x -=+解得11yx y-=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1xy x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e 2()x y x -=-∈ R .(3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =-所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> .(4)由31cos y x =+得cos x =又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31c o s ,[0,π]y x x =+∈的反函数为(02)y x =≤≤.9. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1); (2)ln 1xy y x x x ==++解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201xx≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+, 故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21x y x =+有上界. 又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界. 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x=+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >. 取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<.即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增. 10. 判断下列函数的奇偶性:22(1)()(2)e e sin .x x f x y x -=-+ 解: (1)()()f x f x -===()f x ∴. (2)222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-∴函数22e e sin x x y x -=-+是奇函数. 11. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数. 证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.12. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;又每批有产品610x 件,库存数为6102x 件,库存费为6100.052x ⨯元. 设总费用为,则63100.05102y x x⨯=+.13. 邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重量x 的关系.解: 当x 能被20整除,即[]2020x x =时,邮资0.802025x xy =⨯=;当x 不能被20整除时,即[]2020x x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦. 综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020x xx x y x x x x ⎧⎡⎤<≤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎡⎤⎪⨯<≤≠+⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩且且 其中20x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,120x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦分别表示不超过20x ,120x +的最大整数. 14. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-.000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h h S S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+ 由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为. 15. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.16. 证明:11(1)arcsin h ln( (2)arctan h ln ,1121xx x x x x+=+=-<<-证: (1)由e e sinh 2x xy x --==得2e 2e 10x x y --=解方程2e 2e 10x x y --=得e x y =±因为e 0x >,所以e x y =+ln(x y =+所以sinh y x =的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==-∞<<+∞(2)由e e tanh e e x x x x y x ---==+得21e 1x y y+=-,得1112ln ,ln 121y yx x y y ++==--;又由101yy+>-得11y -<<, 所以函数tanh y x =的反函数为11arctan h ln (11).21x y x x x+==-<<- 17. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----解: 1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →. 1(2)cos π2n n x n -=,当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.21(3)(1)21n n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.18. 对下列数列求lim n n ax →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有n x a ε-<:1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε==== 解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0s i n 2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<.当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x→∞==,0ε∀>,要使210n x ε-==<=<1ε>即21n ε>即可.取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 821100.0001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数. 19. 根据数列极限的定义证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<-,只要n >,取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.20. 若lim n n x a →∞=,证明lim n n x a →∞=,并举反例说明反之不一定成立.证: lim 0n n x →∞=,由极限的定义知,0,0N ε∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<.而 n n x x a a ε-<-<0,0N ε∴∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<,由极限的定义知lim .n n x a →∞=但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,n n n n x x →∞=-=但lim n n x →∞不存在.21. 利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1nn n nx x x n x x n x ++=====+=+证: (1)122x =<,不妨设2k x <,则12k x +=<=.故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.又1n n n x x x +-==0>,又由2n x <<从而10n n x x +->即1n n x x +>, 即数列{}n x 是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限.设lim n n x a →∞=,则a =,于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.(2) 因为110x =>,且111nn nx x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界又 111111111(1)(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+---⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号， 从而可推得1n n x x +-与21x x -同号， 而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞=, 则11aa a=++， 解得a a ==(不合题意，舍去). 所以lim n n x →∞=22. 用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+证：(1)0ε∀>,要使1sin sin 0x x x x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0xxε<-, 故sin lim0x xx→+∞=.(2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+,故224lim42x x x →--=-+. (4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++,只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+故21214lim 221x x x →--=+. (5) 0ε∀>,要使11sin 0sin x x x x xε=≤<-,只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin 0x x ε<-,故01lim sin0x x x→=.23. 求下列极限：222423123242233(1)lim ;(2)lim ;1311(3)lim ;(4)lim ;21311(1)(2)(3)(5)lim ;(6)lim ;215x x x x x n x x x x x x x x xx x x x x n n n x n→→→∞→∞→∞→∞-++-+-----++++++ (7)若211lim 221x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭，求a 和b . 解：()()2232233lim 33933(1)lim 1lim 9151x x x x x x x →→→---===+++.2221424242112222333422424lim()11(2)lim 2.31lim(31)13111111(3)lim lim .1121221111lim (4)lim lim 0.3131311lim 1(5x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x →→→→∞→∞→∞→∞→∞→∞+++===--+-+-⨯+--==----⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭222222121lim 21)lim lim 01111lim 1x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭由无穷大与无穷小的关系知， 21lim21x x x →∞+=∞+. 3(1)(2)(3)1123(6)limlim 1115511123lim lim lim .11155n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭24. 解:因为221(1)()(1)11x a x a b x b ax b x x +--++---=++ 由已知211lim 21x x ax b x →∞⎛⎫+=-- ⎪+⎝⎭知，分式的分子与分母的次数相同，且x 项的系数之比为12，于是10a -= 且()112a b -+= 解得 31,2a b ==-.25. 利用夹逼定理求下列数列的极限:(1)lim[(1)],01;k k n n n k →∞+-<<n 其中11,,,m a a a 为给定的正常数;1(3)lim(123);(4)n n nnn→∞++解:1111(1)0(1)(1)1(1)1k k k kkkn n n nnn n-⎡⎤⎡⎤<+-=<=+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而lim00n→∞=,当1k<时,11lim0kn n-→∞=lim[(1)]0k knn n→∞∴+-=.(2)记12max{,,,}ma a a a=则有n<<即1na m a<<⋅而1lim, lim,nn na a m a a→∞→∞=⋅=故na=即12max{,,,}mna a a=.(3)111(3)(123)(33)n n n nn n n<++<⋅即113(123)3nn n n n+<++<而1lim33,lim33nnn n+→∞→∞==故1lim(123)3n n nn→∞++=.(4)11111n<++而1lim10,lim(1)1n n n→∞→∞=+=故1n=.26. 通过恒等变形求下列极限：2222214123(1)11(1)lim; (2)lim;1222168(3)lim; (4)lim ;154n n n x x n n x x x x x x x →∞→∞→→++++-⎛⎫+++⎪⎝⎭-+-+--+32233π5422(5)lim ;1cot lim;2cot cot (9)lim(1)(1)(1)(1);(10)nx x x x x xxx x x x x x →+∞→→→→∞---+++< 112231100(1(1)lim ;(1)113(11)lim ; (12)lim ;(1)11log (1)1(13)lim ; (14)lim n n x x x x a x x x x x x x x x x a x x-→→→→→---+⎛⎫- ⎪---⎝⎭+-3sin 00;sin (15)lim(12); (16)lim ln .x x x xx x→→+解：22123(1)(1)111(1)limlim lim .1222n n n n n n n n n →∞→∞→∞++++--⎛⎫===- ⎪⎝⎭ 1221112244411112(2)lim lim 2.11221221(1)(3)lim lim lim(1)0.1168(2)(4)22(4)limlim lim .54(1)(4)13n nn n x x x xx x x x x xx x x x xx x x x x x x +→∞→∞→→→→→→⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==+++ ⎪⎝⎭--+-==-=---+---===-+--- 322000(5)lim limlim2.lim(1 2.x x x x x x x→+∞→→→=====-+=-555x xxx→→→→=====3333ππ4422π422π41cot1cot(8)lim lim2cot cot(1cot)(1cot)(1cot)(1cot cot)lim(1cot)(11cot cot)1cot cot3lim.2cot cot4x xxxx xx x x xx x xx x xx xx x→→→→--=---+--++=-+++++==++122222(9)lim(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim111lim.11nnnxxxx x x xx x x xxxx x+→∞→∞→∞+++<-+++=--==--11121 121 1(1(1)(10)lim(1))(1))(1)11.234!nnxnn n n x nn n n x nxxx x xx x xn n-→--→-→--=++++=++++==⨯⨯⨯⨯22223111221113213(11)lim lim lim(1)(1)(1)(1)11(1)(2)(2)lim lim 1.(1)(1)1x x xx xx x x xx x x x x xx xx x xx x x x x→→→→→++-+-⎛⎫==-⎪-++-++--⎝⎭-+-+===--++++2212211221lim(1)(1)(12)lim01lim(1)1lim.(1)xxxxxxx x x xx xx→→→→--==-+-+-+∴=∞-1log (1)(13)log (1)a x a x x x+=+ 而10lim(1).xx x e →+= 而1lim log log ln a a u eu e a→==0log (1)1lim.ln a x x x a→+∴=(14)令1,x u a =-则log (1),a x u =+当0x →时，0u →.所以00011limlim ln log (1)log (1)limx x u a a u a u a u x u u→→→-===++(利用(13)题的结果). 1122000336ln(12)ln(12)sin sin 2sin 0lim 6ln(12)6limlimln(12)sin sin 61ln e 6(15)lim(12)limelimee ee e .x xx x x xx x xxx xx x x xxx x xx x →→→++→→→⋅⋅+⋅⋅+⨯⨯+======(16)令sin x u x =， 则00sin lim lim1x x xu x →→== 而1lim ln 0u u →= 所以0sin lim ln0.x xx→= 27. 利用重要极限1lim(1)e uu u →+=，求下列极限：221232cot 00113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x xx x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解：1112222111(1)lim lim e 1lim 11x xxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 2233112cot323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 2121cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim e lim elim ee e x x x x x x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln e lim 6116ee e .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦28. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()11002(1)lim ;(2)lim ;e 3111(3)lim ;(4)lim .sin cos 1x x xxx xx x x xx x a b c x x x x →→→∞→∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：(1)令1(e )xxy x =+，则1ln ln(e )x y x x=+ 于是：()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭===++ ⎪⎝⎭ e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2x xxx x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⋅=即()lim ln 2x y →= 即20lim e x y →= 即()120lim e e x x x x →=+. (2)令13xxxxa b c y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1ln ln3x x x a b c y x ++= 于是00333303300001lim(ln )lim ln 313lim ln 1333limlim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x xx x a b c x x x a b c x xxxxxxa b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=⎡⎤⎛⎫++-=⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦++-⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫---++=⋅++ ⎪+⎝⎭33331(ln ln ln )ln e 3a b c a b c ++-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++⋅=即0lim(ln )x y →= 即()lim ln x y →=故0lim x y →= 即1lim 3xx xxx a b c →⎛⎫++= ⎪⎝⎭. (3)令11sin cos xy x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则11ln ln sin cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 于是11sin cos 1111sin cos 11sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11xx x x x x x xx x y x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-→∞→∞+-→∞→∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎛⎫=⎨⎬++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫- ⎪=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎨⎬++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭2111sin 2ln e (10)ln e 1lim lim 11x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭=⋅=-⋅= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭即lim ln 1x y →∞= 从而()lim ln 1x y →∞= 故lim e x y →∞= 即 11lim e sin cos xx x x →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (4)令211xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则21ln ln 1y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 于是：22221222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫==⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅= 即 ()lim lim(ln )0,ln 0x x y y →∞→∞== lim 1x y →∞∴= 即21lim 11xx x →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 29. 当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200limlim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.30. 当1x →时，无穷小量1x -与221(1)1,(2)(1)2x x --是否同阶？是否等价？解：211111(1)lim lim 112x x x x x →→-==-+∴当1x →时，1x -是与21x -同阶的无穷小.2111(1)12(2)lim lim 112x x x xx →→-+==-∴当1x →时，1x -是与21(1)2x -等价的无穷小.31. 利用0sin lim1x xx→=或等价无穷小量求下列极限：002000sin (1)lim ;(2)lim cot ;sin 1cos 2(3)lim ;sin arctan 3(5)lim;(6)lim 2sin ;2x x x x x n n x n mxx x nx x x x x xx →→→→→→∞-22102320020041arctan (7)lim ;(8)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (9)lim ;(10)lim ;sin 1cos 4(12)lim 2sin t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αβ→→→→→→-----+ 222200;an ln cos ln(sin e )(13)lim ;(14)lim .ln cos ln(e )2x x x x x ax x xbx x x→→+-+- 解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000lim cos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)因为当0x →时，2221ln(1e sin )~e sin 1~2x x x x x +,所以22200002e sin sin lim lim 2e lim 2.12x x x x x x x x x x x→→→→⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ (5)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xx x→→==.sin sin 22(6)lim 2sin lim lim .222n nn n n n n n nx x x x x x x x →∞→∞→∞=⋅== (7)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (8)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅. (9)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (10)因为当0x →时，sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--，所以22002222sinsincos cos 22lim lim 222lim1().2x x x x xx xxx x xxαβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==-(11)因为当0x →时，arcsin~)~,x x --所以00 1.x x x →→→==-=-(12)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim(2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+(13)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+-- 又当x →0进，2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以 22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (14)因为当0x →时，222sin 0,0e ex x x x →→故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x x x x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lime lime lim e e 1 1.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅= 32. 求下列函数在指定点处的左、右极限，并说明在该点处函数的极限是否存在？,0,(1)()10,xx f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =处; 2,2(2)()102x x f x x x +≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩ 在2x =处. 解：000(1)lim ()lim lim 1,x x x x x f x x x +++→→→=== 000lim ()lim lim 1x x x x xf x x x---→→→-===- 因为 0lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠ 所以0lim ()x f x →不存在.(2)22221lim ()lim ,lim ()lim(2)42x x x x f x f x x x ++--→→→→==+∞=+=-因为2lim ()x f x +→不存在，所以2lim ()x f x →不存在. 33. 研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;x x x x f x f x x x x≤⎧≤≤⎧==⎨⎨>-<<⎩⎩ 221(3)()lim ;(4)()lim .1x x nx x nn n n n x f x f x x n n x --→∞→∞--==++解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续， 又21111lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 1lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，又，由2lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===，知()f x 在0x =处右连续， 综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-知1lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→==== 及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：图1-3(3)∵当x <0时，221()lim lim 1,1x x x xx x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++ 当x =0时，00()lim 0,n n n f x n n →∞-==+ 当x >0时，2222111()lim lim lim 1111x xx x xxx n n n xn n n n f x n n n n --→∞→∞→∞---====+++ 1,0,()lim0,0,1,0.x xx xn x n n f x x n n x --→∞-<⎧-⎪∴===⎨+⎪>⎩由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，又由 0lim ()lim 11,lim ()lim (1)1x x x x f x f x ++--→→→→===-=- 知0lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处间断.综上所述，函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，在0x =处间断.图形如下：图1-4(4)当|x |=1时，221()lim0,1nnn x f x x x →∞-==+ 当|x |<1时，221()lim,1nnn x f x x x x →∞-==+当|x |>1时，2222111()limlim 111nnn nn n x x f x x x x x x →∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⋅=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即 ,1,()0,1,, 1.x x f x x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩由初等函数的连续性知()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-知1lim ()x f x →-不存在，从而()f x 在1x =-处不连续.又由 1111lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=-== 知1lim ()x f x →不存在，从而()f x 在1x =处不连续.综上所述，()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x =±处间断. 图形如下：图1-534. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：2221(1),1,2;32π(2),π,π,0,1,2,;tan 21(3)cos ,0;x y x x x x x y x k x k k x y x x-===-+===+=±±==1,1,(4) 1.3,1,x x y x x x -≤⎧==⎨->⎩解：22111(1)(1)(1)lim lim 232(1)(2)x x x x x x x x x →→--+==--+-- 2221lim 32x x x x →-=∞-+ 1x ∴=是函数的可去间断点.因为函数在x =1处无定义，若补充定义(1)2f =-，则函数在x =1处连续；x =2是无穷间断点.π0π2(2)lim1,lim 0tan tan x x k x x x x →→+==当0k ≠时，πlimtan x k xx→=∞.π0,π,0,1,2,2x x k k ∴==+=±±为可去间断点，分别补充定义f (0)=1,π(π)02f k +=，可使函数在x =0,及ππ2x k =+处连续.(0,1,2,k =±±);π,0,1,2,x k k k =≠=±±为无穷间断点(3)∵当0x →时，21cosx 呈振荡无极限， ∴x =0是函数的振荡间断点.(第二类间断点).(4)11lim lim(3) 2.x x y x ++→→=-= 11lim lim(1)0x x yx --→→=-= ∴x =1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)35. 当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:1tan 2(1)()(2)();1(3)()sin sin ;(4)()(1).xxf x f x x f x x f x x x====+解：0003(1)lim ()2x x x f x →→→===∴补充定义3(0),2f =可使函数在x =0处连续.000tan 22(2)lim ()lim lim 2.x x x x xf x x x→→→===∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续.1(3)limsin sin0x x x→= ∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续.10(4)lim ()lim(1)e xx x f x x →→=+=∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续. 36. 怎样选取a , b 的值，使f (x )在(－∞,+∞)上连续？π1,,e ,0,2(1)()(2)()π,0;sin ,.2x ax x x f x f x a x x x b x ⎧+<⎪⎧<⎪==⎨⎨+≥⎩⎪+≥⎪⎩解：(1)()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上显然连续，而0lim ()lim (),x x f x a x a ++→→=+= 0lim ()lim e 1,xx x f x --→→== 且(0)f a =, ∴当(0)(0)(0)f f f -+==，即1a =时，()f x 在0x =处连续，所以，当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上连续.(2)()f x 在ππ(,),(,)22-∞+∞内显然连续.而ππ22ππ22lim ()lim (sin )1,πlim ()lim (1)1,2π()1,2x x x x f x x b b f x ax a f b ++--→→→→=+=+=+=+=+ ∴当π112b a +=+，即π2b a =时，()f x 在π2x =处连续，因而()f x 在(,)-∞+∞上连续.37. 试证：方程21x x ⋅=至少有一个小于1的正根.证：令()21x f x x =⋅-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ∃∈使()0f ξ=即210ξξ⋅-= 即方程21x x ⋅=有一个小于1的正根.38. 试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0,0a b >>.证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续， 且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥, 若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根. 若()0f a b +>，则由零点定理得.(0,)a b ξ∃∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.39. 设()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =,证明：方程()()f x f x a =+在[0，a ]内至少有一根.证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且(0)(0)(),()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ∃∈,使()0F ξ=, 即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根，综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.40.设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=.证：令()(F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ⋅<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=.综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 41. 若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤,由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.。

第一章函数、极限、连续习题1-11．求下列函数的自然定义域：x3+ (1)y=21-xx-1arccos (3) y=解：(1)解不等式组⎨(2) y=arctan1x⎧3x≠1⎪(4) y=⎨. ⎪3 , x=1⎩⎧x+3≥0得函数定义域为[-3,-1) (-1,1) (1,+∞); 2⎩1-x≠0⎧3-x2≥0(2)解不等式组⎨得函数定义域为[ ; ⎩x≠0x-1⎧-1≤≤1⎪(3)解不等式组⎨得函数定义域为[-4,-2) (3,6]; 52⎪⎩x-x-6>0(4)函数定义域为(-∞,1].2．已知函数f(x)定义域为[0,1]，求ff(cosx),f(x+c)+f(x-c) (c>0)义域．解：函数f要有意义，必须0≤1，因此f的定义域为[0,1]；同理得函数f(cosx)定义域为[2kπ-,2kπ+]； 22⎧0≤x+c≤11函数f(x+c)+f(x-c)要有意义，必须⎨，因此，（1）若c<，定义域为：2⎩0≤x-c≤1（2）若c=[c,1-c]；的定ππ111，定义域为：{；（3）若c>，定义域为：∅． 222 1⎛x-a⎫3．设f(x)=2 1-⎪,a>0,求函数值f(2a),f(1)． x⎝|x-a|⎭解：因为f(x)=f(2a)=1⎛x-a⎫1- ⎪，所以 2x⎝|x-a|⎭1⎛a⎫1⎛1-a1-=0，f(1)=1- ⎪2 4a⎝a⎭12 ⎝-a⎫⎧2 ,a>1,． =⎪⎪⎨0 ,0<a<1⎭⎩4. 证明下列不等式:(1) 对任何x∈R有 |x-1|+|x-2|≥1;(2) 对任何n∈Z+有 (1+1)n+1>(1+1)n; n+1n(3) 对任何n∈Z+及实数a>1有 a-1≤a-1. n1n证明：（1）由三角不等式得|x-1|+|x-2|≥|x-1-(x-2)|=1（2）要证(1+1)n+1>(1+1)n，即要证1+1>n+1nn+1=111(1+)+(1+)+ +(1+)+11 < =1+n+1n+1得证。