光色散的原理及应用

光色散的原理及应用

一、 光色散的唯象解释

历史上，对于光色散现象的研究和观察早已有之，唐代诗人孔颖达在《礼记·注疏》中道，“雄谓明盛者，雌谓闇微者。虹是阴阳交会之气，纯阴纯阳则虹不见。若云薄漏日，日照雨滴则虹生”。这是诗人对彩虹形成的一种观察认知，也是对光色散的一种归纳认知，揭示了虹的光学成因。1666年初，英国物理学家牛顿做了一个棱镜实验，发现太阳光经过色散效应之后，形成了颜色排列依次为红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫的光谱（spectrum）现象，为现代的光学色散研究拉开了序幕。

在光学中，由两种或两种以上的单色光组成的光（由两种或两种以上的频率组成的光），称为复色光，不能再分解的光（只有一种频率），称为单色光。而将复色光分解成单色光的过程，叫光的色散。对同一种介质，光的频率越高，介质对这种光的折射率就越大。当白光通过三棱镜时，棱镜对紫光的折射率最大，光通过棱镜后，紫光的偏折程度最大，红光偏折程度最小。这样，三棱镜将不同频率的光分开，就产生了光的色散。

图1 光的棱镜色散现象

色散可以利用三棱镜或光栅等作为“色散系统”的仪器来实现。将颜色按一定顺序排列形成光谱。光谱是复色光经过色散系统（如棱镜、光栅）分光后，被色散开的单色光按波长（或频率）大小而依次排列的图案，全称为光学频谱。光谱中最大的一部分可见光谱是电磁波谱中人眼可见的一部分，在这个波长范围内的电磁辐射被称作可见光。光谱并没有包含人类大脑视觉所能区别的所有颜色，譬如褐色和粉红色。法国数学家柯西发现折射率和光波长的关系，可以用一个级数表示：

24()bcna（1）

其中a，b，c是三个柯西色散系数，因不同的物质而不同。只须测定三个不同的波长下的折射率n(λ)，代入柯西色散公式中可得到三个联立方程式，解这组联立方程式就可以得到这物质的三个柯西色散系数。

二、 光色散的物理解释

频散效应为诸多光学媒介和结构所有的重要物理性质。由于介质中的光速是频率的函数，不同频率的光波以不同的相速传播；如此，两个不同频率的光波序列经长时间后必将相互散开。光波信号多以波群形式存在，其中包含诸多频率相近的谐波成份，波形上往往呈包络调制型的波包脉冲。频散使得波包传播速度（群速度）—异于相速度，或慢或快。

群速度和相速度是导波理论中的重要概念，也是导波的主要参数。群速度（Cg）是指脉冲波的包络上具有某种特性(如幅值最大)的点的传播速度，它是波群的能量传播速度。通俗的说，群速度是关于一族频率相近的波的传播速度。而相速度（Cp）是波上相位固定的一点传播方向的传播速度。值得注意的是，导波以其群速度向前传播。在绝大多数情况下，群速度几乎等于光能传播的速度。因此，有必要区分相速度和群速度。

图2 复色光波的传播形式

相速度是指波的相位在空间中传递的速度，换句话说，波的任一频率成分所具有的相位即以此速度传递。光波的相速度即单一频率的正弦光波波的等相面在介质中传播的速度v=c/n，c为自由空间中的光速，n为介质对该频率电磁波的折射指数。可以挑选波的任一特定相位来观察(例如波峰)，则此处会以相速度前行。相速度可借由波的频率f与波长λ，或者是角频率ω与波矢量k的关系式表示。假设一列理想的单色平面波方程为,

0cos()AAtKx（2）

其中上式2f和2f都是不随t和x改变的量。因此为满足相位相等条件，即

tKxconst

微分后有，0dtKdx，即有相速度

pdxvdtk（3）

可见，相速度是严格单色光所特有的一种速度，严格的单色光在空间延续和时间延续都是无穷无尽的余弦或正弦波，但这种波是理想的极限情况。

群速度是指许多不同频率的正弦波的合成信号在介质中传播的速度，即合成脉冲波的包络上具有某种特性(如幅值最大)的点的传播速度。不同频率正弦波的振幅和相位不同，在色散介质中，相速不同，故在不同的空间位置上的合成信号形状会发生变化，群速是一个代表能量的传播速度。

考虑两列频率相近、振幅相等的平面简谐波，其波动方程是

111222cos()cos()yAtKxyAtKx（4）

则其合成波函数为，

121122cos()cos()yyAtkxAtkx

121212122cos()cos()2222kkkkAtxtx

002cos()cos()Atkxtkx（5）

其中，0为122，为122，当两列频率相近的简谐相互叠加时，即0非常小，12122cos()22kkAtx低频项可看成振幅调制项，其复合波的包络面振幅以非常微小的变化作周期性运动，1212cos()22kktx高频可看成复合后子波的振动频率，这种振幅调频周期可以看成一个空间拍。

为了得到复合波的群速度，可以追踪包络线上某一点（如波峰）的平移变化，即有00tkxconst

微分后得到，000dtkdx，即有群速度

012012pdxvdtkkkk

由于12非常小，因此dkdk，即群速度可表示

()ppgpdvkdvdvvkdkdkdk（6）

对于无色散波，有0pdvdk，相速度等于群速度；对于介质色散波，有0pdvdk，相速度小于群速度。对于上式，因为2/K，所以22dkd，所以得到，

22pppdvdvdvddkddkdk（7）

最终得到，pgpdvvvd，因为/pvcn，因此得到相速度与群速度的关系，

2(1)gpccdndnvvnndnd（8）

则可以看出，相速度色散是色散的一阶效应，而群速度色散是色散的二阶效应。其色散关系为

① 若0dnd，即gpvv，发生正常色散，得到正向分布光谱；

② 若0dnd，即gpvv，发生反常色散，得到反向分布光谱；

③ 若0dnd，即gpvv，发生反常色散，无法得到单色光谱。 Lord Rayleigh曾说过：“群速度的概念常用下面这个例子说明，即当一族波列到达一个静止水面时，波群的速度比它所包含的每一个子波的速度都要小；这些子波仿佛通过波群前进，当达到其内部极限时而消失。”此外，通过试验的方法也可以得到群速度Cg和相速度Cp，如图3，波形a为弹性波在传播一定距离时得到的一个导波波形。波形b为传播距离加大了l后得到的一个导波波形。

图3 群速度和相速度计算

三、 光色散的能量解释

相速度乃简谐光波相位传播的速度。其频率ω、波数k的简谐光波光压为，

()jtkxPpe（9）

其相位角为()xtkxtc，位相传播速度为Ck。为了追踪位相的一致性，则有1t和2t时刻，

1212()()xxttcc

由此得出，2121xxCtt。可见，公式（9）定义的C正是等值相位的传播速度。相速度与媒质光速是两个概念。媒质光速0C（speed of sound）是媒质的光学特征量，由媒质的性质确定。通常情形（如自由空间）下，相速度C等于媒质的光速0C。但在受限空间中，相速度不一定等于光速0C。例如，对于光管的高次(m,n)模式，其相位是

()()22(,),()xxmnmnmntxtkxkkk (10)

式中，k是波数（k=ω/0C），kmn是第（m,n）模式的简正波数，而()xmnk是该模式沿轴向传播的波数。因此，该模式的相速度

00()01()xmnmnCCCkCk（11）

可见，高次模式的相速度C不但大于（不等于）光速0C，而且是频率的函数，具有频散效应。

群速度则与此不同,它与一组频率略微不同的光波群有关。由于频率相近，波群呈现为幅度调制的包络型振荡光脉冲。譬如，振幅相等、频率分别为1和2、波数分别为k1和k2的两列平面简谐光压波可表为，

1122()()12,jtkxjtkxPpePpe (12)

其相速度分别为111Ck、222Ck，叠加合成光压为

001122()()()12()2()jtkxjtkxjtkxPPPpeeptkxe

光压的幅度相速度与群速度呈调制的包络形状，其传播速度当为，1212pvkkk

下图一是p的时空波形，其中设定两个波的频率和波数皆相近（ω1≈ω2，k1≈k2）。对于无频散的媒质，12CCC，故gCC。但如果媒质是频散的，C1 ≠ C2，因此，cg ≠ cφ，即波包的传播速度cg不等于相速度cφ。此波包传播速度cg 即群速度。由于群速度Cg<

为了不失一般性，设波幅()P在频率空间具有高斯分布的形式， 2001()exp()22PP（13）

式中0P、0和皆常数。此（非前）衡量频带宽度，0是此频带的中心频率。可见，这些波以中心频率0的成份幅度最大。假定所有的频率成份皆存在，则总的光压P是所有频率成份的线性叠加,

22001()exp()21(,)exp()exp()22AzzPxpxtjtdc

假如相速度C是与频率无关的函数，则上述积分结果可变为，

20001()()()()02(,)eee2xxjtjtccPpxtd

20001()()()()02eee2xxjtjtccPd

201()()()20ee2xxjtjtccPd

0()e()xjtcxAtc（14）

式中A=|P|是光压波的振幅，其积分结果为,

21()exp()2Azz(15)

这就是幅度调制型包络波，振荡频率0，时间宽度约，空间宽度约C/。整个波形以相速度C行进，相位是波幅包络轨在相对于波包的运动坐标系中，波形是静止的。

多数情形下群速度gC恰好等于能量传递的速度。以光波导为例说明，通过公式（11）求得光管高次（m，n）模式的群速度， 200(1),()mngkCCkkC（16）

它小于自由空间光速0C，也小于该模式的相速度C。以下设坐标(,)xy位于横截面上，而z沿管轴方向。在管道中，（m,n）简正模式mn满足二维拉普拉斯方程，

2220,mnmnmnxyk（17）

式中Δ是两维拉氏算符，mnk是属于该模式的简正波数。在刚性边界条件下，可以证明这些模式是正交的。对应模式mn的光压mnP和质点速度mnV分为

2,jkmnmnmnmnPAe

2,,0011()zmnjkmnmnmnmnmnkCVPAejkjkk

其中，mnA是（m，n）模式的振幅，,zmnk是波矢的轴向z分量，22,zmnmnkkk。轴向光能密度mnE是体光能密度对横截面S的积分：

222002200001()()42mnmnmnmnmnssAECVPdxdydxdyCC