第17章 勾股定理
一、复习目标
1、进一步理解勾股定理及其逆定理，弄清两定理之间的关系。
2、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。
3、运用勾股定理及其逆定理解决问题.
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
重点：勾股定理以及逆定理．
难点：定理的应用．
四、教学过程
(一)知识梳理
1.勾股定理：直角三角形中 的平方和等于 的平方．即：如果直角三角
． ，斜边为c，那么形的两直角边分别是a、b ，那么这满足、c勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长为2.a、b 个三角形是直角三角形．
3.如果一个命题的题设和结论与另一个命题的题设正好相反，那么把这样的两个命题叫做 ,如果把其中叫做原命题，另一个叫做它的_________.
4.一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个__________，我们称这两个定理为 .
5、应用勾股定理和它的逆定理来解决实际问题，在应用定理时，应注意：
(1)没有图的要按题意画好图并标上字母；
(2)不要用错定理
(3)求有关线段长问题，通常要引入未知数，根据有关的定理建立方程， 从而解决问题;
(4)空间问题要通过它的展开图转化为平面图形来解决
(二)题型、技巧归纳
考点一 勾股定理及逆定理
例1、下列说法正确的是（ ）
222 caABCcb aA.若、、是△的三边，则＋b＝1
222 ＝△ABC的三边，则ac＋bcB.若 a、b、是Rt222 ＝ ∠A=90°，则ab＋c若C. a、b、c是Rt△ABC的三边，
222c＝a＋bABCD.若 a、b、c是Rt△的三边，∠C=90° ，则; 9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是＿＿度已知三角形的三边长为例2、(1) . ABC的面积为＿＿＿＿ABC的三边长为 9 ,40 ,41 ,则△(2)△ 互逆命题考点二 ）【例3】下列命题的逆命题是真命题的是（ ．全等三角形的周长相等＝b，则|a||b| BA．若a＝ ．有两边相等的三角形是等腰三角形，则ab＝0 DC．若a＝0 勾股定理的应用考点三
学习目标：
1．能用勾股定理直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。
3．体会勾股定理在数学中的地位和作用。
学习重点：
用勾股定理作出长度为无理数的线段。
教学活动流程
活动1： 复习孕新，引入课题
1. 回顾勾股定理，并以针对性练习为画作铺垫；（2）用“数学海螺”图创设情境并导入新课，明确学习目标。
活动2：运用勾股定理证明（HL）
用三角板作辅助演示
活动3：课件动画演示作图
演示的两种作法以及“数学海螺”的作法.
活动4：动手实践，会“数形互变”
以前面的练习题为作图思路导向，以课件演示类比模仿，教师演示规范作图，学生会作图也会求点.
活动5：当堂检测
教材第27页习题
活动6：拓展应用，服务生活
1. 用无刻度的直尺在网格上按要求画含无理数线段的三角形；（2）求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路径。
活动7：小结梳理
数轴图——网格图——展开图；实际问题——数学问题——建模
活动8：布置作业
教学过程
活动1： 复习孕新，引入课题
1. 问题
（1）勾股定理的内容是什么？怎样求斜边长c或直角边长a、b？
（2）求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边长。
a=1 b=1 (c=)
a=1 b= (c=)
a=2 b=3 (c=)
设计意图：在复习的基础上为新课画无理数线段作铺垫，实现知识正迁移。
（3） 如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4，求第三边长。
设计意图：第三边应考虑为直角边或斜边，渗透分类讨论思想。
2.课件展示“数学海螺”图片并明确学习目标
设计意图：创设情境并明确本节课学习任务。
活动2：运用勾股定理证明（HL）
用三角板作演示，并要求画图并写出已知、求证并证明，利用勾股定理求得第三边长，再利用（SSS）或（SAS）可证得。 活动3：课件动画演示作图
1. 对比的两种作法，明确当直角边为正整数时作图方便，并引导学生如何规范作图。
勾股定理
教学目标
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.
2.勾股定理的应用.
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.
重点：掌握勾股定理及其逆定理.
难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.
教学过程
一.复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：
1.勾股定理：
(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．
(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．
22222222,,bacacbbca,2222,acbbca．
2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.
3.勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2）在数轴上作出表示n（n为正整数）的点． 勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
1 新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题
基础知识点：
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc
勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方
２.勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc 大正方形面积为222()2Sabaabb
所以222abc
方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证
３.勾股定理的适用范围
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
