浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题

2018-2019学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中考试

高二年级数学 试题

本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.

选择题部分（40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.在空间直角坐标系中，已知点)3,0,1(A，点)1,2,4(B，则||AB

A. 15 B．29 C．34 D．45

2.与直线112yx垂直，且过点(2,0)的直线方程是

A．42xy B．112yx C．42xy D．142yx

3.《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：

把100个面包分给5个人，使每个人所得的面包数成等差数列，且使较大的三份之和的三分之

一是较小的两份之和，问最大一份为

A．20 B．25 C．30 D．35

4.若实数x，y满足360200,0xyxyxy，则目标函数2zxy的最大值为

A．18 B．17 C．16 D．15

5.在ABC中，2a，2b，6B，则A

A．4 B．3或23 C．34 D．4或34

6.若0a，0b，lglglg()abab，则ab的最小值为

A．2 B．4 C．6 D．8

7. 在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为矩形，2ABBC，E是CD上

一点，若AE平面PBD，则CEED的值为

A．32 B．52 C．3 D．4

8.光线沿着直线3yxb射到直线0xy上，经反射后沿着直线2yax射出，则有 A．31a，6b B．31a，6b

C．61,3ba D．61,3ba

9.如图，在ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，

且ADAExAByAC，则14xy的最小值为

A． 32 B．2 C．52 D．92

10. 如图，PAB所在的平面和四边形ABCD所在的平面垂直，且AD，BC，

4AD，8BC，6AB，APDCPB，则点P在平面内

的轨迹是

A．圆的一部分 B．一条直线

C．一条线段 D．两条直线

非选择题部分（110分）

二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11.如图，正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是

cm，原图形的面积是_______2cm.

12.已知正方体棱长为2，与该正方体所有的棱都相切的球的表面积是_________，该正方体的外接球的体积是____________.

13.一个棱锥的三视图如图，最长侧棱（单位：cm）是 cm，体积是 cm3 .

14.已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足22cos3sin22AA，1b，32ABCS，则A ，sinsinbcBC

．

15.设l，m，n表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若mlml,,，则；

②若m，n是l在内的射影，mn，则ml；

③若m是平面的一条斜线，点A，l为过点A的一条动直线，则可能有ml且l；

④若，，则//.

其中正确的序号是 ．

16.已知点A23（，）到直线03)1(yaax的距离不小于3，则实数a的取值范围是

．

17.已知函数21)(2xexxf)0(x与)ln()(2axxxg的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是____________.

三、解答题: 本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本小题14分)已知向量(sin,3)a与(1,cos)b互相垂直，其中02（，）．

（Ⅰ）求sin和cos的值；

（Ⅱ）求函数)2sin()(xxf的最小正周期和单调区间．

19.（本小题15分）已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，2AB，1AF，M是线段EF的中点．

（Ⅰ）求证：//AM平面BDE；

（Ⅱ）求证：AM平面BDF；

（Ⅲ）求直线BE与平面ACEF所成角的正弦值．

20.（本小题15分）已知圆C：03422xyx，

（Ⅰ）求过点(3,2)M的圆的切线方程；

（Ⅱ）直线l过点31(,)22N且被圆C截得的弦长为m，求m的范围；

（Ⅲ）已知圆M的圆心在x轴上，与圆C相交所得的弦长为3，且与2216xy相内切，求圆M的标准方程.

21.（本小题15分）已知数列{}na满足：212nnnaaa，11a （Nn）．

（Ⅰ）证明：数列{ln(1)}na是等比数列；

（Ⅱ）设nb112nnaa，nS为数列{}nb前n项的和，求证：2nS．

22.（本小题15分）已知函数cbxaxxf2)()0(a满足0)0(f，对于任意Rx都有xxf)(，且11()()22fxfx．

（Ⅰ）求函数)(xf的表达式；

（Ⅱ）令()|()||1|(0)gxfxx，研究函数()gx在区间)1,1(上的零点个数．

2018学年第一学期浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期中考试

高二年级数学试题答案

三、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求.

1-5 BACCD 6-10 BCBDA

非选择题部分（110分）

四、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

11. 8 ，_22____ 12.___8_____,______43______.

13. 14 ， 4

14. 3

， 2 ．

15.

①② ．

16. （﹣∞，﹣3]∪ 37［，）．

17. a∈（e，+∞）

【解答】解：若函数f（x）=x2+ex﹣12（x＞0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，

则等价于方程f（x）=g（﹣x），在x＞0时有解．

方程即x2+ex﹣12=x2+ln（﹣x+a），

即方程ex﹣12﹣ln(﹣x+a)=0在（0，a）上有解．

令m（x）=ex﹣12﹣ln（﹣x+a），

则m（x）=ex﹣12﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，

且x→a时，m（x）→+∞，

当x→0时，m（x）→12﹣lna，∴12﹣lna＜0，∴lna＞12，∴a＞e，

综上所述，a∈（e，+∞）．

三、解答题: 本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.证明：（Ⅰ）sin3a（，）与=（1，-cosθ）互相垂直 sin3cos0

------------2

tan3 ---------------3

又02（，）31sin,cos22----------6

（Ⅱ）3

fxsin2xsin2x3（）（）=（）---------7

22T

----------9

222232kxk是单调递增的.

51212kxk,kZ ---------11

3222232kxk是单调递减的.

71212kxk,kZ

------- 13

增区间为5[,]1212kk，减区间7[,]1212kk，kZ -----14

19.【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，连结OE，

∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，

∴ACEF是矩形，M线段EF中点，

∴EMAO，----------2分

∴EMAO是平行四边形，

∴EO∥AM， -----------3分

∵AM⊄平面BDE，EO⊂平面BCE，

∴AM∥平面BDE．

----------------5分

（2）方法一：连接OF

,MO都是中点，MO=AFMOAF且

AF=1AO=1， AFMO四边形是正方形

AMOF -----------7分 A正方形BCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，并交于AC，BDAC

BDACEF平面AMACEF又平面

AMBD ------------9分

又BDBDFOFBDFOFBD=O平面，平面，

BDFAM平面 ------------------10分

方法二∵正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，∴EC⊥平面ABCD，

以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，

（3）方法一：BDACEF平面（已证） O为垂心，E是BE为平面ACEF斜足

EO是BE在平面ACEF的射影

OEB是BE与平面ACEF所成的角 --------------12分

2,1EOAF

3BE --------------14分

3sin3OEB ----------------15分

方法二：BDEFAC平面

BD(2,2,0)是平面EFAC的一个法向量 -----12分

(0.2,1)BE