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高中数学-3.2-均值不等式-教学设计

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1 / 19 高中数学 3．2 均值不等式 教学设计 教学分析 均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”． 本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A、B和习题都是基本题，要求全做． 鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a2＋b2≥2ab的联系． 三维目标 1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展2 / 19

创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德． 3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯． 重点难点 教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a＋b2≥ab的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问

题． 教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a＋b2≥ab等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题． 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.(直接引入)像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然． 思路2.(情境导入)教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题． 推进新课 新知探究 提出问题 3 / 19

1均值定理的内容是什么？怎样进行证明？2你能证明a2＋b2≥2ab吗？3你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？4均值不等式有哪些变形式？ 活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正

实数a、b的a＋b2叫做数a、b的算术平均值，数ab叫做a、b的几何平均值．均值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a、b必须是正数，等号成立当且仅当a＝b，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础． 利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a2＋b2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论： ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2， 当a≠b时，有(a－b)2＞0. 当a＝b时，有(a－b)2＝0，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab. 这个不等式对任意实数a，b恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a、b为实数，等号成立的条件是当且仅当a＝b时成立．“当且仅当”即指充要条件． 下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究． 如图1，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？ 4 / 19

图1 (本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.

所以可得CD＝ab.或由射影定理也可得到CD＝ab.从图中我们可直观地看到

ab表示的是半弦长，a＋b2表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为： a＋b2≥ab.

显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立． 还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a＋b≥2ab或2ab≤a＋b等． 讨论结果： (1)(2)略． (3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长． 5 / 19

(4)若a、b∈R＋，则ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，式中等号成立； 若a、b∈R＋，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立； 若a、b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立． 应用示例 例1(教材本节例1) 活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的

条件，本例中的ba和ab相当于均值不等式中的a、b.因此必须有ba，ab∈R＋. 点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯. 变式训练 已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc. 证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab·2bc·2ac＝8abc， 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.

例2已知(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)，求证：x－ya－b＋a－bx－y≥2.

活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意x－ya－b与a－bx－y

互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x－ya－b与a－bx－y

为正数开始证题． 证明：∵(a＋b)(x＋y)＞2(ay＋bx)， ∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx. ∴ax－ay＋by－bx＞0. ∴(ax－bx)－(ay－by)＞0. 6 / 19

∴(a－b)(x－y)＞0， 即a－b与x－y同号．

∴x－ya－b与a－bx－y均为正数．

∴x－ya－b＋a－bx－y≥2x－ya－b·a－bx－y＝2(当且仅当x－ya－b＝a－bx－y时取“＝”)． ∴x－ya－b＋a－bx－y≥2. 点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x－ya－b与a－bx－y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．

例3若a＞b＞1，P＝lga·lgb，Q＝12(lga＋lgb)，R＝lga＋b2，则( ) A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q 活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P、Q、R三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y＝lgx的单调性． 答案：B 解析：∵a＞b＞1， ∴lga＞lgb＞0.

∴12(lga＋lgb)＞12·2lga·lgb，即Q＞P.

又∵a＋b2＞ab， ∴lga＋b2＞lgab＝12(lga＋lgb)． ∴R＞Q.故P＜Q＜R. 点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式． 例4(教材本节例2) 7 / 19

活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型． 点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号． 知能训练

1．“a＝18”是“对任意的正数x,2x＋ax≥1”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________． 答案：

1．A 解析：一方面，当a＝18时，对任意的正数x，有2x＋ax＝2x＋18x≥1；

另一方面，对任意正数x，都有2x＋ax≥1，只要2x＋ax≥22a≥1，即得a≥18. 2．[9，＋∞) 解法一：令ab＝t(t＞0)， 由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，得t2≥2t＋3， 解得t≥3，即ab≥3，故ab≥9. 解法二：由已知得ab－b＝a＋3，b(a－1)＝a＋3，

∴b＝a＋3a－1(a＞1)．

∴ab＝a·a＋3a－1＝[(a－1)＋1]a＋3a－1＝a＋3＋a＋3a－1＝a－1＋4＋a－1＋4a－1

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3.2均值不等式

3.2均值不等式

3.2均值不等式 学习目标1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征。

学习过程一、新课导学※ 探索新知如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

探究：1、正方形ABCD 的面积S=__________２、四个直角三角形的面积和S ’=______３、S 与S ’有什么样的不等关系？若a,b ∈R ，那么a 2+b 2≥2ab ，（当且仅当a=b 时，取“=”号）思考：（1）该结论成立的条件是什么 ？（2）公式中等号成立的条件是什么？（3）不等式左右两边有何种运算结构？由此公式，我们可以变形为：22,,2a b a b R ab +∈≤若则 以下不等式成立吗？,,a b a b a b 如果用、分别代替，又能得到什么结论呢？此时的需要满足什么条件呢？均值定理：若a>0 b>0，，（当且仅当a=b 时，等号成立）2a b ab 我们习惯上，把上述公式写成+≥ 1.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；（积定和最小）当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值；（和定积最大） 注意：在运用均值不等式求最值时，要注意使用条件，即一正，二定，三相等，而在寻找定值时，有时条件不够明显，常通过恰当的拆项，添项，变形等配凑的技巧，化隐为显，使问题快速解决，常见变形应用：以下不等式中的,,a b c 均是正实数1、2()2a b ab +≤ 2、2222()()a b a b ++≥3、22112a a b a a b ++2+b b 24、33a b c abc ++请熟记以上公式，以后经常用到。

均值不等式学案

均值不等式学案

日照实验高中2014级数学导学案3.2均值不等式学案（1）【编写人】孙丽君 【审核人】张茂花【学习目标】1．通过本节探究，学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义；2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高运算能力和逻辑推理能力；3．通过本节学习，养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．【学习重点和难点】学习重点：均值不等式的推导和理解.学习难点：均值不等式成立的条件和等号成立条件的认识.【定理探究】1.探讨2a b +.2.均值定理：3.文字表述：（1）,,,______;,a b a b a b +∈R 的算数平均值是的几何平均值是_____.（2）结论：两个___数的____平均值_____它们的_______平均值.4.几何解释：____________5.公式变形及推广：（1）a b +≥_______.（2≤________,即ab ≤___________.思考：均值不等式与不等式222a b ab +≥的关系如何?【定理理解和应用】判断正误：1(1)0,2;lg lg (2)0,0,2π9(3)0,sin 6;2s 1,,1,in .4x x x y x x a b a b x y y x x x +≠+≥=+>>≥⎛⎤∈+ ⎥⎝+⎦∈=R 若则若则当时，(4)已知且则的最大值值是为的最小练一练下列函数最小值是2的是（ ）1.A y x x =+ 1.sin (0)sin 2B y x x x π=+<<.C y = 1.tan (0)tan 2D y x x x π=+<< 例1已知0ab >，求证：2b a a b+≥并推导出式中等号成立的条件.练习1已知11,,()() 4.a b a b a b +∈++≥R 求证：【课堂小结】【课后作业】1.课本 练习A 组2、3、42.练习册 均值不等式（1）。

均值不等式说课稿1（五篇模版）

均值不等式说课稿1（五篇模版）

均值不等式说课稿1（五篇模版）第一篇：均值不等式说课稿1一教材分析1、教材地位和作用均值不等式又叫做基本不等式，选自人教B版（必修5）的3章的2节的内容，是在上节不等式性质的基础上对不等式的进一步研究．同时也是为了以后学习中的几种重要不等式，以及不等式的证明作铺垫，起着承上启下的作用。

本节内容具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，所以本节课可以培养学生应用数学知识灵活解决实际问题的能力。

“均值不等式”在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

求最值是高考的热点。

它在科学研究、经济管理、工程设计上都有广泛的作用。

2、教学目标A．知识目标：学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中取等号的条件.B．能力目标：通过对均值不等式的推导过程，提高学生探究问题，分析与解决问题的能力。

参透类比思想，数形结合的思想，优化了学生的思维品质。

C.情感目标:（1）通过探索均值不等式的证明过程，培养探索、研究精神。

（2）通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态，并形成勇于提出问题、分析问题的习惯。

3、教学重点、难点：重点：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力，所以均值不等式的推导是本节课的重点难点：很多同学对均值不等式成立的条件的认识不深刻，在应用时候常常出错误，所以，均值不等式成立的条件是本节课的难点二教法学法分析1.教法本节课主要采用探究归纳，启发诱导，讲练结合的教学方法。

以学生为主体，以均值不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。

2、教学手段为了使抽象变为具体，我使用了多媒体。

为了突出重点我使用了彩色粉笔。

3，学法从实际生活出发，通过创设问题情境，让学生经历由实际问题出发，探求均值不等式，发现均值不等式的实质，利用均值不等式解决实际问题的过程。

使学生从代数证明和几何证明两方面理解并掌握基本不等式。

3.2号均值不等式(第二课时)

3.2号均值不等式(第二课时)

3.2均值不等式（2）一、教材分析：1、内容与地位：本节课选自人教B版高中数学必修五第三章3.2节（第二课时），主要内容是用均值不等式求函数最大、最小值．均值不等式是第三章“不等式”的重要内容，它起着承上启下的作用，学生在初中学习了不等式的概念以及简单的不等式的解法，对不等式有了感性的认识，通过均值定理的学习，学生对不等式的性质产生了理性的认识，并将初步了解证明不等式的方法，为后续学习《选修2-2》中的推理证明、《选修4-5》不等式选讲时得到加强.2、教学目标知识与技能：理解均值不等式；能用均值不等式解决简单的函数最大、最小值问题；理解使用均值不等式求函数最值时应满足的三个条件；过程与方法：通过典型例题的探究增强探索能力及创新精神；通过一题多解与一题多变提高学生发散思维能力；渗透转化化归的数学思想．情感与价值观：培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力；体现数学知识的相关性、严谨性、逻辑性．由均值不等式体会数学知识的简洁美与和诣美．3、重点与难点重点：应用均值不等式求函数最值；难点：理解使用均值不等式求函数最值时应满足的三个条件．二、教法与学法教法：本课采用讲授法与启发式相结合的教学方法，运用变式教学，使学生感受知识的产生和发展过程，体会知识之间的联系与区别．学法：选取合适习题，让学生自主探究，变被动接受知识为主动探索知识．手段：多媒体演示教学．三、教学过程（一）复习回顾在进行习题课教学前首先回顾均值不等式的内容，即： 如果，那么，当且仅当时，式中等号成立．文字表述：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．均值不等式的其它等价形式：重要不等式：ab b a 222≥+(当且仅当b a =时，取""=）变形： (1) ab b a 2≥+ (2)2b a ab +≤(3)2)2(b a ab +≤ 设计意图：通过对公式的复习使学生对习题课做好知识上的准备，能达到对公式的灵活运用．(二)利用均值不等式求最小值、最大值 例1 已知0x >，求1y x x=+的最小值. 师生双边活动： 解：01,0>>x x 2121=∙≥+=xx x x y 当且仅当x x 1=时，取""= 即1=x 时，2min =y .学生在第一堂课会接触到均值不等式的证明以及在实际应用问题中的应用，而通过例1可让学生在上一节课的基础上，进一步感受均值不等式的另一个重要作用，即求函数的值域和最值问题，但由于用均值不等式求最值有严格的条件限制，为了完善学生的思维，设计变式如下：变式1：已知0<x ，求xx y 1+=的最大值. 师生双边活动： 分析：11=∙xx能直接2121=∙≥+=xx x x y 这么做吗？ 解：0<x 01,0>->-∴x x )1(1x x xx y ---=+=2)1()(2)1()(=-∙-≥-+-xx x x 2-≤∴y . 当且仅当xx 1-=-时，取""= 即1-=x 时，2max -=y .设计意图：突出均值不等式成立的等一个要素，即“正”：两项必须为正．为了让学生进一步理解“正”这个条件，进一步设计变式如下：变式2:求函数)0(42>--=x xx y 的最大值，以及此时x 的值. 师生双边活动： 分析：求函数)0(42>--=x xx y 的最大值，先求x x 4--的最大值 为常数4)4()(=-∙-xx 4)4()(2)4()(=-∙-≥-+-xx x x 行吗？ 解：04,0>>x x )4(242x x x x y +-=--= 4424=∙≥+xx x x∴)4(242x x x x y +-=--= 242-=-≤ 当且仅当xx 4=时，取""=，即2=x 时，2max -=y . 设计意图：转化结构使其具备使用均值不等式的条件：两项为“正”.变式3: 当2->x 时，探求函数24++=x x y 的最小值. 师生双边活动：分析：,21常数≠+∙x x 凑配成常数 ∴24++=x x y =224)2(-+++x x 形式 解：2->x024,02>+>+∴x x24++=x x y =224)2(-+++x x 224224)2(2=-=-+∙+≥x x 当且仅当242+=+x x 时，取""=,即0=x 时，2min =y设计意图：转化结构使其具备使用均值不等式的条件：两个正项的积为“常数”.变式4: 若210<<x ，求)21(x x y -=的最大值. 师生双边活动：分析：除了应用配方法求其最大值外，你会用均值不等式求其最大值吗？师生双边活动：常数≠-+)21(x x ，常数=-+)21(2x x)21(221)21(x x x x y -∙=-=∴凑配 解：021,02210>->∴<<x x x)21(221)21(x x x x y -∙=-=∴ 81)2212(212=-+∙≤x x 当且仅当x x 212-=时，取""=,即41=x 时，81max =y .设计意图：让转化结构使其具备使用均值不等式的条件：两个正项的和为“常数”.这一方法蕴含凑配的思想.变式5: b a ,同号，求ba ab y +=的最小值. 师生双边活动：解： b a ,同号，22=∙≥+∴ba ab b a a b 当且仅当b a a b =时，取""=,即b a =时，b a a b y +=的最小值是2.设计意图：上节课学生证过课本70页例1：0>ab ，求证2≥+ba ab ，这道题以变式的方式出现，除了让学生体会利用均值求最值要满足的条件：“正、定、等”外，主要为以下的变式打下基础.变式6：已知+∈R b a ,，1=+b a ，求ba 11+的最小值. 师生双边活动：分析：常数≠∙b a 11，”替换“用“1"b a + 1111+++=+++=+ba ab b b a a b a b a 解：法1：1111+++=+++=+ba ab b b a a b a b a 422=+∙≥ba ab 当且仅当ba ab =时，取""=即21==b a 时，b a a b y +=的最小值为4. 法2：ba 11+ab 12≥ 当且仅当b a 11=时，取""=,即21==b a去求ab 最大值41)2(2=+≤∴b a ab ba 11+ab 12≥=442= 当且仅当21==b a 时，b a a b y +=的最小值为4. 设计意图：解法一通过”替换“用“1"b a +变形“配凑”得出积是定值,为应用均值不等式创造条件.解法二两次应用均值不等式时，等号成立的条件一样.所以解法是正确的.变式7：已知+∈R b a ,，12=+b a ，求ba 11+的最小值. 解：法1:2212211+++=+++=+ba ab b b a a b a ba 322322+=+∙≥ba ab 当且仅当b a a b =2时，取""=,即221,12-=-=b a 时，322min +=y 法2：+∈R b a ,，12=+b a ，ba 11+ab 12≥ 当且仅当b a 11=时，取""=,即b a ==31， 去求ab 最大值41)22(22=+≤∴b a ab81≤∴ab ba 11+ab 12≥=2482= 当且仅当b a 2=时，取""=即41,21==b a ， 此时，这种解法是错误的.设计意图：解法一会继续踢通过”替换“用“1"b a +变形“配凑”得出积是定值,为应用均值不等式创造条解法二两次均值不等式应用时，等号成立的条件不一样.第一个等号成立时要求31==b a ，第二个等号成立时要求41,21==b a ，所以这时解法二是错误的.通过变式6和变式7均值不等式的第三个要素，即“相等”：在多次使用均值不等式时应该注意等号取得的条件是否一致，若不一致也不能求出最值．（三）课堂小结1.利用均值不等式要满足的条件：正（这个条件容易获得）、定（求最值得关键点）、等（这个条件容易确定，但也容易忽略）.2.利用均值不等式求最小值、最大值的关键是要先凑配成和为常数或积为常数的形式.设计意图：在学生探究问题的过程中，一道题是一个点，一类题可以串成一条线，迁移变换则能形成面，在学生解决习题后，不能仅仅停留在完成任务的层面上，引导学生进行总结反思，归纳通性通法，由一道题或几道题掌握一类问题的解决方法，在此基础上进行一题多解与一题多变，在学生已掌握知识的基础上，将学生的知识体系整合成网络，正是力求以点生线，以线成面，真正达到思维上的升华．。