【数学】贵州省遵义市2018届高三上学期第二次联考试题(理)(解析版)
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贵州省遵义市2018届高三上学期第二次联考数学试题（理）
第Ⅰ卷
一、选择题
1. 设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. -6 B. -2 C. D. 6
3. 已知向量的夹角为60°，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A. -1 B. 1 C. 2 D. 3
4. 在一组样本数据（，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A. -1 B. 0 C. D. 1
5. 下列有关命题的说法正确的是（ ）
A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题
6. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角的对边分别为，已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的一部分图象如下图所示，则（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
9. 已知是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
10. 定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
11. 下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的分别为16、18，输出的结果为，则二项式的展开式中常数项是（ ）
A. -20 B. 52 C. -192 D. -160
12. 设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数（）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷 二、填空题
13. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是__________．
14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若，则，现有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为__________．
15. 已知四棱锥的顶点都在半径的球面上，底面是正方形，且底面经过球心，是的中点，底面，则该四棱锥的体积等于__________．
16. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为__________．
三、解答题
17. 设为数列的前项和，已知，对任意，都有.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和为，求证：.
18. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列及数学期望；
（2）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，以利润角度看，你认为应购进16枝好还是17枝好？请说明理由.
19. 如图，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是的菱形，为棱上的动点，且.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.
20. 设抛物线的准线与轴交于，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.
（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程； （Ⅱ）若，求的取值范围.
21. 已知函数.
（Ⅰ）若时，，求的最小值；
（Ⅱ）设数列的通项，证明：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22. 已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，且，求直线的倾斜角的值.
23. 已知函数.
（Ⅰ）若，解不等式；
（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围.
【参考答案】
第Ⅰ卷
一、选择题
1. 【答案】D ∴．选D．
2. 【答案】A
【解析】由题意得，
∵ 复数是纯虚数，
∴，解得．选A．
3. 【答案】B
【解析】设向量与向量的夹角为，
则向量在向量方向上的投影为
．选B．
4. 【答案】D
5. 【答案】D
【解析】对于选项A，原命题的否命题为“若，则”，故A不正确．
对于选项B，当时，成立；反之，当时，或，故“”是“”的充分不必要条件．故B不正确．
对于选项C，命题的否定是“，”，故C不正确．
对于选项D，原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题．故D正确．
选D．
6. 【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴．选A．
7. 【答案】B
【解析】∵，即，
又为锐角， ∴
由条件及正弦定理得，即，
∴．选B．
8. 【答案】C
【解析】由图形得，解得．
又函数的周期，所以．
∴．
由题意得，点在函数的图象上，
∴，即．
∴，
∴
∴，
∴．选C．
9. 【答案】B
【解析】由题意得，解得或．
当时，曲线方程为，故离心率为；
当时，曲线方程为，故离心率为．
所以曲线的离心率为或．选B．
10. 【答案】C
【解析】∵函数为奇函数，
∴，
即,
整理得在上恒成立， ∴,
∴，
∵
,
∴函数的零点在区间内。选C。
11. 【答案】D
【解析】由题意知，框图的功能是求两数的最大公约数，故输入16、18后输出的结果为，所以二项式为，其展开式的通项为
，令可得展开式中的常数项为
．选D．
12. 【答案】A
【解析】由可得函数的图象关于对称，即
又函数是偶函数，则，
∴，即函数的周期是4．
当时，，此时，
由得，令．
∵函数（）在区间内恰有三个不同零点，
∴函数和的图象在区间内有三个不同的公共点．
作出函数的图象如图所示．
①当时，函数为增函数，
结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足在点A处的函数值小于2，在点B处的函数值大于2， 即，解得；
②当时，函数为减函数，
结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足在点C处的函数值小于，在点B处的函数值大于，
即，解得．
综上可得实数的取值范围是．选A．
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】
【解析】,在直角坐标系内作出可行域如下图所示，由图可知，当目标函数经过点可行域内点时有最大值，即，当目标函数经过点可行域内点时有最小值，即，，所以的取值范围为.
14.【答案】
【解析】∵，
∴，
又的周长为，
∴，
∴．即的面积为．
答案： 15.【答案】
【解析】画出如下图形，
连接，则，
∴，
又，
∴．
答案：
16.【答案】
【解析】由，可得，
故为直角三角形，且，
∴．
由双曲线定义可得．
∵，
∴，可得．
又，
整理得．
∴． ∴，
又，
∴，即双曲线的离心率的取值范围为．
答案：
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）因为，
当时，，
两式相减，得，
即，
所以当时，．
所以．
因为，所以．
（Ⅱ）因为，，，所以
所以
因为，所以．
因为在上是单调递减函数，所以在上是单调递增函数．
所以当时，取最小值．
所以．
18.解：（Ⅰ）当日需求量时，可得利润；
当日需求量时，可得利润，
综上可得关于的解析式为；
（Ⅱ）（1）由题意得的所有可能取值为55,65,75,85，
，，
