平摆线与圆的渐开线练习
1．渐开线6(cos sin )6(sin cos )
x y ϕϕϕϕϕϕ+⎧⎨⎩＝，＝－(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．
2．已知一个圆的参数方程为3cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中与参数π2ϕ=对应的点A 与点B 3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
之间的距离为__________． 3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数π2
ϕ=，则点P 的坐标为________．
4．已知圆的渐开线的参数方程是
cos sin ,sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ
=+⎧⎨=-⎩ (φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数π4
ϕ=时对应的曲线上的点的坐标为________． 5．参数方程3(cos sin ),3(sin cos )
x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)表示的曲线是__________． 6．平摆线2(sin ),2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩
(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是__________． 7．如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是__________．
8．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线
(sin ),(1cos )
x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为__________． 9．已知平摆线的生成圆的直径为80 mm ，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．
10．已知圆的渐开线(cos sin ),(sin cos )
x r y r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．
参考答案
1. 答案：
(0)和
(-，0)
解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐
标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为221362x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理可得22
1144
x y +=，这是一个焦点在x
轴上的椭圆．
c ===坐标为(0)和(-0)．
2. 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为3(sin ),3(1cos )x y ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩
(φ为参数)，把π2ϕ=代入参数方程中可得
π3(1),23,
x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩)即π31,32A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. ∴|AB ==3. 答案：(π，2)
解析：由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为2(cos sin ),2(sin cos )
x y ϕϕϕϕϕϕ=
+⎧⎨
=-
⎩(φ为参数)
． 当π2
ϕ=时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)． 4. 答案：2 ,2828⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭
解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为
1，故直径
为 2.求当π4ϕ=时对应的坐标
，只需把π4
ϕ=代入曲线的参数方程，
得
28x =+
，28y =-，由此可得对应的点的坐标为,2
828⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭. 5. 答案：半径为3的圆的渐开线
解析：由参数方程的形式可直接得出答案．
6. 答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)
解析：由y ＝2得2＝2(1－cos t )，∴cos t ＝0.∵0≤t ≤2π，∴π2t =或3π2
.∴x 1＝ππ2sin 2
2⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π－2，
2332πsin π3π22
2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝＝＋ ∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．
7. 答案：5π
解析：根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的
14圆周长，长度为π2
，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2
；GH 是半径为4的14
圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 8. 答案：(1cos ),(sin )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数) 解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出平摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换．
9. 解：∵平摆线的生成圆的半径r ＝40 mm ，∴此平摆线的参数方程为40(sin ),40(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩
(t 为参数)，它一拱的拱宽为2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r ＝2×40＝80(mm)．
10. 解：把已知点(3,0)代入参数方程
得3(cos sin ),0(sin cos ),r r ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨
=-⎩
解得0,3.r ϕ=⎧⎨=⎩ 所以基圆的面积S ＝πr 2＝π×32＝9π.
