人教A版文科数学课时试题及解析(25)平面向量的数量积B
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1 高考数学 课时作业(二十五)B [第25讲 平面向量的数量积]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．已知向量a，b满足a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0 B．22
C．4 D．8
2．已知a＝(1,0)，b＝(x,1)，若a·b＝3，则x的值为( )
A.2 B．22
C.3－1 D.3
3． 已知|a|＝2，b是单位向量，且a与b夹角为60°，则a·(a－b)等于( )
A．1 B．2－3
C．3 D．4－3
4． 已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
能力提升
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
6．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin2x)，其中x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tanx的值等于( )
A．1 B．－1 C.3
D.22
7．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A.π6 B.π3
C.2π3 D.5π6
8．若非零向量a，b满足|a＋b|＝|b|，则( )
A．|2a|>|2a＋b| B．|2a|<|2a＋b|
C．|2b|>|a＋2b| D．|2b|<|a＋2b|
9． 已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．
10． 在边长为1的正三角形ABC中，设BC→＝2BD→，CA→＝3CE→，则AD→·BE→＝________.
11． 在△ABC中，已知AB→|AB→|＋AC→|AC→|⊥BC→，且AB→·AC→＝12|AB→|·|AC→|，则△ABC的形状是________．
12．(13分)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求|PA→＋3PB→|的最小值．
难点突破
13．(12分)如图K25－1，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1，BC＝2，AB＝3，P是BC上的一个动点，当PD→·PA→取最小值时，求tan∠DPA的值．
图K25－1
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2 课时作业(二十五)B
【基础热身】
1．B [解析] ∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝22.
2．D [解析] 依题意得a·b＝x＝3.
3．C [解析] a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cos60°＝3.
4.π3 [解析] 设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝12.因为0≤θ≤π，故θ＝π3.
【能力提升】
5．D [解析] 因为∠C＝90°，所以AC→·CB→＝0，所以AB→·AC→＝(AC→＋CB→)·AC→＝|AC→|2＋AC→·CB→＝AC→2＝16.
6．A [解析] 由|a·b|＝|a||b|知a∥b.所以sin2x＝2sin2x，即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)，所以sinx＝cosx，即x＝π4，故tanx＝1.故选A.
7．C [解析] 依题意，由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|得a⊥b，b2＝3a2，cos〈a＋b，a－b〉＝a2－b2|a＋b||a－b|＝－12，所以向量a＋b与a－b的夹角是2π3.
8．C [解析] 因为|a＋b|＝|b|，所以a·(a＋2b)＝0，即a⊥(a＋2b)，因此|a|、|a＋2b|、|2b|构成直角三角形的三边，|2b|为斜边，所以|2b|>|a＋2b|.
9.π3 [解析] 设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)·(a－b)＝－2得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cosθ－2×4＝－2，
解得cosθ＝12，∴θ＝π3.
10．－14 [解析] 由题知，D为BC中点，E为CE三等分点，以BC所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得A0，32，D(0,0)，B－12，0，E13，36，故AD→＝0，－32，BE→＝56，36，
所以AD→·BE→＝－32×36＝－14.
11．等边三角形 [解析] 非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，即∠BAC的平分线垂直于BC，∴AB＝AC，又cosA＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝12，∠A＝π3，所以△ABC为等边三角形．
12．[解答] 建立如图所示的坐标系，设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)．设P(0，y)(0≤y≤h)，
则PA→＝(2，－y)，PB→＝(1，h－y)，∴|PA→＋3PB→|＝25＋3h－4y2≥25＝5.
【难点突破】
13．[解答] 如图，以A为原点，AB→为x轴，AD→为y轴建立平面直角坐标系xAy，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,2)，D(0,1)，设∠CPD＝α，∠BPA＝β，P(3，y)(0≤y≤2)．
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∴PD→＝(－3,1－y)，PA→＝(－3，－y)，
∴PD→·PA→＝y2－y＋9＝y－122＋354，
∴当y＝12时，PD→·PA→取最小值，此时P3，12.
易知|DP→|＝|AP→|，α＝β.
在△ABP中，tanβ＝312＝6，
所以tan∠DPA＝－tan(α＋β)＝2tanβtan2β－1＝1235.
