当前位置：文档之家 › 精品-高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用习题课件理

精品-高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用习题课件理

  • 格式：ppt
  • 大小：1.36 MB
  • 文档页数：36

下载文档原格式

  / 36

合集下载

平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习

平面向量的数量积课件-2025届高三数学一轮复习

平面向量数量积的概念及运算,与长度、夹角、平行、垂直有关的问
预测 题以及平面向量数量积的综合应用仍是考查的热点,会以选择题或填
空题的形式出现.
必备知识·逐点夯实
知识梳理·归纳
1.向量的夹角
∠AOB
已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则________叫做a与b的夹角
定义
范围
0≤θ≤π
设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是_______
道夹角和模的不共线向量为基底来表示要求的向量,再结合运算律展开求解;
(2)当已知向量的坐标或可通过建立平面直角坐标系表示向量的坐标时,可利用
坐标法求解;
(3)利用向量数量积的几何意义求解.
对点训练
1.(2022·全国乙卷)已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3,则a·b=(
A.-2
24 1
θ=
=
= ,
|||| 12×8 4
所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos

1 1 3
θ· =12× × b= b.
||
4 8 8
3
b
8
.
2.(2023·衡阳模拟)平面向量a⊥b,已知a=(6,-8), =5,且b与向量(1,0)的夹角是钝
角.则b在向量(1,0)上的投影向量为(
(4)向量a与b夹角为θ,a在b上的投影向量为(|a|cos

θ) .(
||
√
)
2.(必修第二册P36练习T1·
变条件)已知a=(-1,t-1),b=(3,2),且 2 + =3,则t=(
A. 2
B. 3
C.± 2
D.±
2
2

高三数学课件：第四章 第三节 平面向量的数量积

高三数学课件：第四章 第三节 平面向量的数量积
提示：不一定相等，∵a· b,b· c均为实数，∴(a· b)c∥c，
a(b· c)∥a,所以(a· b)c与a(b· c)不一定相等.
(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)²b=0，则a与b的夹
角为_________.
【解析】设a,b的夹角为θ，
∵(2a+b)²b=0，∴2a· b+b2=0，
1 1 ∴ AD AB AC , BE AE AB AC AB， 2 2 1 1 ∴ AD BE (AB AC) ( AC AB) 2 2 1 2 1 2 1 AC AB AB AC 4 2 4 1 1 1 3 1 1 cos60 . 4 2 4 8
1 1 3 3 ( x)( x) ( y)( y) 0 2 2 2 从而有： 2 , ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 ( 1 x) 2 ( 3 y) 2 2 2 2 2
3 3 x x 2 2 . 解得 或 y 1 y 1 2 2
(2)由题设知： OC =(－2,－1)，
AB tOC =(3+2t,5+t). 由( AB tOC )⊥ OC 得( AB tOC )²OC =0，
【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、 B(2,3)、C(－2,－1). (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t满足 AB tOC OC，求t的值.
【解析】(1)由题设知 AB =(3,5), AC =(-1,1),

高考一轮第四章 第三节 平面向量的数量积及向量应用ppt

高考一轮第四章 第三节 平面向量的数量积及向量应用ppt

返回
|a|2 (3)a· a＝ ，|a|＝ a· a.
(4)cos〈a，b〉＝ (5)|a· b|
≤
a· b |a||b| .
|a||b|.
3．数量积的运算律： (1)交换律：a· b· . b＝ a
c (2)分配律：(a＋b)· a· c＝ c＋b· . b a· (3)对λ∈R，λ(a· b)＝ (λa)· ＝ (λb) ．
(
)
解析：|a· b|＝|a|· |b||cos θ|，只有a与b共线时，才有|a· b| ＝|a||b|，可知B是错误的． 答案：B
返回
2．(2011· 辽宁高考)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)， a· (2a－b)＝0，则k＝ ( )
A．－12
C．6
B．－6
D．12
解析：∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a· (2a－b)＝0，得(2,1)· (5,2－k)＝0 ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. 答案： D
即18＋3x＝30，解得：x＝4. [答案] C
返回
[例2]
π (2011· 江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为3，若向
量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝________. b
[自主解答] b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·2＝(e1－2e2)· 1＋ b (3e
第 四 章 平 面 向 量、 数 系 的 扩 充 与 复 数 的 引 入
第三 节
平面 向量 的数 量积
抓 基 础
明 考 向
教 你 一 招 我 来 演 练
及向
量的 应用
提 能 力
返回
[备考方向要明了] 考 什 么

高考数学一轮总复习课件：平面向量的数量积

高考数学一轮总复习课件：平面向量的数量积

(2)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝ 13 ，则
|b|等于( B )
A．5
B．4
C．3
D．1
【解析】 方法一：|a＋b|2＝(a＋b)2 ＝a2＋2a·b＋b2 ＝|a|2＋2|a||b|cos120°＋|b|2 ＝32＋2×3×|b|×－12＋|b|2 ＝9－3|b|＋|b|2＝13， 即|b|2－3|b|－4＝0，解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．
解析 本题考查向量的运算．|a＋2b|＝
（a＋2b）2 ＝
a2＋4b2＋4a·b＝ 22＋4＋4×2×1×cos60°＝2 3.
(2)(2020·课标全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka 2
－b与a垂直，则k＝__2______．
解析 由题意，得a·b＝|a|·|b|cos45°＝ 22.因为向量ka－b与a垂
＝2a－ 5b，则cos〈a，c〉＝____3____．
解析 方法一：因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，所以a·c＝a·(2a－ 5 b)＝2a2－ 5 a·b＝2，|c|＝|2a－ 5 b|＝ （2a－ 5b）2 ＝ 4a2＋5b2－4 5a·b＝3.所以cos〈a，c〉＝|aa|·|cc|＝23.
方法二：如图，建立平面直角坐标系，
则A(3，0)，B(0，0)，C(0，4)． ∴A→B＝(－3，0)，B→C＝(0，4)，C→A＝(3，－4)． ∴A→B·B→C＝－3×0＋0×4＝0，B→C·C→A＝0×3＋4×(－4) ＝－16，C→A·A→B＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9. ∴A→B·B→C＋B→C·C→A＋C→A·A→B＝－25.
思考题2 (1)(2020·衡水中学期中)平面向量a与b的夹角

高考理科第一轮复习课件(4.4平面向量的应用)

高考理科第一轮复习课件(4.4平面向量的应用)
弦，求出三角形的面积化简即可. （2）建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即 可.
【规范解答】（1）选C.设a，b的夹角为θ，由条件得
cos ab , a b ab 2 ) 1 , 2 a b | | a | b |
sin 1 cos 2 1 (
【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所以
|F3|= 2 7, 选D.
2.若不重合的四点P，A，B，C，满足 PA PB PC 0,
AB AC mAP, 则实数m的值为(




【思路点拨】(1)将a·b表示为θ的三角函数，然后求得a·b 的最值，转化为解不等式的问题. (2)①由 | BC BA | 2 得到关于θ的关系式，两边平方可求解； ②用含θ的关系式表示m,n，然后转化为三角函数的最值问题

求解.
【规范解答】(1)选B.由已知得|b|=1，所以|a|= 因此a· b=mcos θ+nsin θ =
3. 在△ABC中，∠C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足 BM＝2MA， 则 CMCB 等于( (A)2 (B)3



) (C)4 (D)6
【解析】选B.由题意可知，
1 CM CB CA＋ AB)CB ＝( 3 1 ＝CACB ABCB ＋ 3 1 ＝0＋ 3 2 3cos 45＝3. 3
(A)等边三角形
(C)等腰非等边三角形
(B)直角三角形
(D)三边均不相等的三角形
【解析】选A.由 ( AB AC )BC 0 知△ABC为等腰三角形，且 AB | AC | AB＝AC.由 AB AC 1 知， 与AC 的夹角为60°，所以 AB 2 AB | AC |

高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)

高考理科第一轮复习课件(4.3平面向量的数量积)

【规范解答】（1）选A.由|a·b|＝|a||b|知，a∥b. 所以sin 2x＝2sin2x,即2sinxcosx＝2sin2x，而x∈(0，π)， 所以sin x＝cos x，即 x＝ ，故tan x＝1.
4
(2)选A.由题意得，BQ AQ AB 1 AC AB，
5．平面向量数量积的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ ，则
数量积
x1x2＋y1y2 a·b＝_________
2 2 x1＋y1 ①|a|＝_______
模
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2 2 （x1－x 2） ＋（y1－y2） 则 | AB| ＝____________________
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ 为a与b(或e)的夹
角．则
(1)e·a=a·e=|a|cos
a·b=0 (2)a⊥b⇔_______.
θ .
(3)当a与b同向时，a·b=|a|·|b|.
当a与b反向时，a·b=-|a|·|b|, |a|2 a a 特别地，a·a＝____或者|a|＝____.
第三节 平面向量的数量积
1.两个向量的夹角 定义 范围 向量夹角θ 的范围是 0°≤θ ≤180° _______________, 0°或180° 当θ = ___________时，两向 量共线； 90° 当θ = _____时，两向量垂直， 记作a⊥b（规定零向量可与任 一向量垂直）
非零 已知两个_____向量a,b， 作 OA a,OB b, ∠AOB=θ 叫作向量a与b的 夹角（如图）.
又∵a,b为两个不共线的单位向量，

2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.3平面向量的数量积及应用举例

2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.3平面向量的数量积及应用举例

【解】 (1)证明：由|a－b|＝ 2得(a－b)2＝2， 即|a|2－2a· b＋|b|2＝2. 又∵|a|2＝|b|2＝1 ∴a· b＝ 0 因此，a⊥b. (2)由 a＋b＝c
cos α＋cos β＝0 得 sin α＋sin β＝1
，
由 cos α＝－cos β，0＜β＜α＜π 得 α＋β＝π. 又 sin α＋sin β＝1， 1 ∴sin α＝sin β＝2. 5π π ∴α＝ 6 ，β＝6.
第3课时
平面向量的数量积及应用举例
• • • • •
(一)考纲点击 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平 面向量的垂直关系．
• •
|x|2 1 当 x≠0 时， 2＝ ； y |b| y2 ＋ 3 ＋1 x x
y ∵x2＋ y 1 3x＋1≥ ， 4
|x|2 ∴|b|2≤4. |x| ∴|b|≤2. 答案：2
易错易混：向量综合运算的问题 → → 【典例】 (2014· 衡阳模拟)已知向量AB＝(2－k，－1)，AC＝(1， k)． (1)若△ABC 为直角三角形，求 k 值； (2)若△ABC 为等腰直角三角形，求 k 值．
1．两个向量的夹角 → 已知两个非零向量 a 和 b(如图)，作OA＝a， → OB＝b，则∠AOB＝θ(0° ≤θ≤180° )叫做向量 a 与 b 的夹角，当 θ＝0° 时，a 与 b 同向；当 θ＝180° 时，a 与 b 反向 ；如果 a 与 b 的夹角是 90° ，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
b＝0 ； (2)a⊥b⇔ a· －|a||b| ， (3)当 a 与 b 同向时， a· b＝|a|· |b|； 当 a 与 b 反向时， a· b＝

高考数学一轮复习平面向量应用举例公开课一等奖课件省赛课获奖课件

高考数学一轮复习平面向量应用举例公开课一等奖课件省赛课获奖课件

【例2】(1)已知向量 a (cos 3x , sin 3x ),b (cos x ,sin x ), x ［0, ］,
2
2
22
2
则函数 gx | a b | 的值域为_______.
(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
p=(1-sinA, 12 ), q=(cos2A,2sinA),且p∥q.
【反思·感悟】平面几何问题的向量解法 (1)坐标法 把几何图形放在适宜的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体 的坐标，这样就能进行对应的代数运算和向量运算，从而使问 题得到解决. (2)基向量法 适宜选用一组基底，沟通向量之间的联系，运用向量共线构造 有关设定未知量的方程来进行求解.
向量在三角函数中的应用 【办法点睛】平面对量与三角函数的综合问题的命题形式与解 题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向 量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求 解. (2)给出用三角函数表达的向量坐标，规定的是向量的模或者 其它向量的体现形式，解题思路是通过向量的运算，运用三角 函数在定义域内的有界性，求得值域等.
1 ( 1) 1 . 32 6
∵0≤x≤
,∴3
≤co1sθ≤1,∴0≤θ≤
2
.
3
∴θ的最大值为 ,此时x=0,
3
∴点P的坐标为(0,± )3.
【反思·感悟】1.向量法解决平面解析几何问题的核心是把点的 坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算. 2.相等向量、共线向量、垂直向量的坐标形式经惯用到，必须 纯熟掌握.
【易错误区】无视对直角位置的讨论致误 【典例】(2012·烟台模拟)已知平面上三点A、B、C， BC =(2-k,3), AC =(2,4). (1)若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件； (2)若△ABC为直角三角形，求k的值.

高三理科数学第一轮复习§4.3：平面向量的数量积及平面向的应用举例

高三理科数学第一轮复习§4.3：平面向量的数量积及平面向的应用举例

第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
解析
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
解析
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
解析
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例
第四章：平面向量与解三角形 §4.3：平面向量的数量积及 平面向量的应用举例

2020版高考数学总复习第四篇平面向量必修4第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课件理

2020版高考数学总复习第四篇平面向量必修4第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课件理

综上可知,实数λ的取值范围为(- 5 ,0)∪(0,+∞).
答案:(- 5 ,0)∪(0,+∞)
3
3
考查角度3:平面向量的垂直
【例4】 (2016·全国Ⅱ卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m等于
()
(A)-8 (B)-6
(C)6
(D)8
解析:a+b=(4,m-2),由(a+b)⊥b得(a+b)·b=(4,m-2)·(3,-2)=122m+4=0,m=8.故选D.
_x_1_x_2_+_y_1_y_2=__0__
|x1x2+y1y2|≤___x_12__y_12__x_22__y_22___
5.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几 何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹角等问题. 6.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加 法和减法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,这是力F与位移s的数量积.即W=F·s=|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角).
②|a±b|= a b2 = a2 2ab b2 .
③若 a=(x,y),则|a|= x2 y2 .
(2)与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想 的应用.
【跟踪训练 2】 (2018·广东广州珠海区一模)已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2, |a-2b|=2,则|b|等于( ) (A)4 (B)2 (C) 2 (D)1
结论
几何表示
坐标表示
模
夹角

平面向量的数量积及其应用课件-2025届高三数学一轮复习

平面向量的数量积及其应用课件-2025届高三数学一轮复习

几何表示
a·b＝|a||b|cos θ
|a|＝________
2
cos
·

θ＝______
a·b＝0
坐标表示
x1x2＋y1y2
a·b＝________
12 + 12
|a|＝________
1 2 +1 2
2
2
2
2
1 +1 2 +2
cos θ＝________
x1________
2|c|，〈a，b〉＝60°，则〈a，c〉＝(
)
A．45°
B．60°
C．120° D．135°
答案：D
解析：∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.
所以|a||b|cos 〈a，b〉＋|a||c|cos 〈a，c〉＝0，又|b|＝ 2|c|，〈a，b〉＝60°，
1
∴ 2|a||c|× ＋|a||c|cos 〈a，c〉＝0，由a，b，c均为非零向量，
所以CA⊥CB，即△ABC为直角三角形．故选C.
题后师说
平面向量的综合应用主要是利用平面向量的知识作为解题工具，解
决平面几何问题、三角函数问题、解三角形问题、解析几何问题、实
际问题等．
巩固训练3
(1)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，a＝b，AB·AC
＝8，则c＝(
)
A．2
B．2 2
)
A．λ＋μ＝1
B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1
D．λμ＝－1
答案：D
解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，
1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得，(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1

高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用课件理

高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用课件理

0<β<α<π. (1)若|a－b|＝ 2，求证：a⊥b； (2)设 c＝(0,1)，若 a＋b＝c，求 α，β 的值．
程．
利用转化法将向量方程转化为三角方
解 (1)证明：由题意得|a－b|2＝2，即(a－b)2＝a2－2a·b ＋b2＝2.
因为 a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以 1－2a·b＋1＝2.所以 a·b ＝0.故 a⊥b.
方法技巧 求向量模及最值(范围)的方法
1．代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用 求最值的方法求解．
2．几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意 义，结合动点表示的图形求解．
3．利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模 的取值范围．
冲关针对训练
1．已知向量 a，b，c，满足|a|＝2，|b|＝a·b＝3，若(c
解法二：同解法一得P→A＋P→C＝2P→O(O 为坐标原点)，又 P→B＝P→O＋O→B，∴|P→A＋P→B＋P→C|＝|3P→O＋O→B|≤3|P→O|＋|O→B| ＝3×2＋1＝7，当且仅当P→O与O→B同向时取等号，此时 B 点 坐标为(－1,0)，故|P→A＋P→B＋P→C|max＝7.故选 B.
(4)cosθ＝|aa|·|bb|. (5)|a·b|≤ |a||b| . 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝ b·a ； (2)(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (λ 为实数)； (3)(a＋b)·c＝ a·c＋b·c .
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ x1x2＋y1y2 ，
∴－2－x＝52－1－x， －y＝25 3－y，

高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用习题课件理

高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及其应用习题课件理

O 为坐标原点，若A→O·A→B＝32，则实数 m＝( )
A．±1
B．±
3 2
C．±
2 2
D．±12
第十三页，共35页。
y＝x＋m， 解析 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立x2＋y2＝1， 消 去 y 得 2x2＋2mx＋m2－1＝0，由 Δ＝4m2－8(m2－1)>0，得 － 2<m< 2，又 xAxB＝m22－1，xA＋xB＝－m，所以 yAyB＝(xA ＋m)(xB＋m)＝m22－1，由A→O·A→B＝A→O·(O→B－O→A)＝－O→A·O→B ＋O→A2＝－xAxB－yAyB＋1＝－m2＋2＝32，解得 m＝± 22.故选 C.
第三十页，共35页。
解 (1)∵m＝n＝23，A→B＝(1,2)，A→C＝(2,1)， ∴O→P＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)， ∴|O→P|＝ 22＋22＝2 2. (2)∵O→P＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)， ∴xy＝＝m2m＋＋2nn，，
第三十一页，共35页。
两式相减，得 m－n＝y－x. 令 y－x＝t，由图知，当直线 y＝x＋t 过点 B(2,3)时，t 取得最大值 1，故 m－n 的最大值为 1.
第三十二页，共35页。
16．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 向量 m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且 m·n ＝－35.
第十页，共35页。
6．(2017·龙岩一模)已知向量O→A与O→B的夹角为 60°，且
|O→A|＝3，|O→B|＝2，若O→C＝mO→A＋nO→B，且O→C⊥A→B，则实
数mn 的值为( )
1 A.6
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

4．已知非零向量A→B与A→C满足|AA→ →BB|＋|AA→ →CC|·B→C＝0 且
|AA→ →BB|·|AA→ →CC|＝12，则△ABC 为(
)
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰非等边三角形
D．等边三角形
解析 因为非零向量A→B与A→C满足|AA→→BB|＋|AA→→CC|·B→C＝0， 所以∠BAC 的平分线垂直于 BC，所以 AB＝AC.又 cos∠BAC ＝|AA→→BB|·|AA→→CC|＝12，所以∠BAC＝π3.
9．已知 a，b 是两个互相垂直的单位向量，且 c·a＝c·b
＝1，则对任意的正实数 t，c＋ta＋1t b的最小值是(
)
A．2 B．2 2 C．4 D．4 2
解析 设 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则由 c·a＝c·b
＝1，得
c
＝
(1,1)
，
c
＋
ta
＋
1 t
b
6．(2017·龙岩一模)已知向量O→A与O→B的夹角为 60°，且
|O→A|＝3，|O→B|＝2，若O→C＝mO→A＋nO→B，且O→C⊥A→B，则实
数mn 的值为( )
1 A.6
1 B.4
C．6
D．4
解析 O→A·O→B＝3×2×cos60°＝3，∵O→C＝mO→A＋nO→B， 且O→C⊥A→B，
O 为坐标原点，若A→O·A→B＝32，则实数 m＝( )
A．±1
B．±
3 2
C．±
2 2
D．±12
y＝x＋m， 解析 设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立x2＋y2＝1， 消 去 y 得 2x2＋2mx＋m2－1＝0，由 Δ＝4m2－8(m2－1)>0，得 － 2<m< 2，又 xAxB＝m22－1，xA＋xB＝－m，所以 yAyB＝(xA ＋m)(xB＋m)＝m22－1，由A→O·A→B＝A→O·(O→B－O→A)＝－O→A·O→B ＋O→A2＝－xAxB－yAyB＋1＝－m2＋2＝32，解得 m＝± 22.故选 C.
所以△ABC 为等边三角形．故选 D.
5．在△ABC 中，|A→B＋A→C|＝ 3|A→B－A→C|，|A→B|＝|A→C| ＝3，则C→B·C→A的值为( )
A．3 B．－3 C．－92 D.92
解析 由|A→B＋A→C|＝ 3|A→B－A→C|两边平方可得，A→B2＋ A→C 2 ＋ 2 A→B ·A→C ＝ 3( A→B 2 ＋ A→C 2 － 2 A→B ·A→C ) ， 即 A→B 2 ＋ A→C 2 ＝ 4A→B·A→C，又|A→B|＝|A→C|＝3，所以A→B·A→C＝92，又因为C→B＝A→B －A→C，所以C→B·C→A＝(A→B－A→C)·(－A→C)＝A→C2－A→B·A→C＝9－92 ＝92，故选 D.
8．对任意两个非零的平面向量 α 和 β，定义 α·β＝αβ··ββ.
若两个非零的平面向量 a，b 满足 a 与 b 的夹角 θ∈π4，π2，

且 a·b 和 b·a 都在集合

n2n∈Z中，则 a·b 等于(
)
5 A.2
3 B.2
C．1
1 D.2
解析 根据新定义，得 a·b＝ab··bb＝|a||b|b|c|2osθ＝||ab||cosθ，b·a ＝ba··aa＝|a||b|a|c|2osθ＝||ba||cosθ.
课后作业夯关 4．3 平面向量的数量积及其应用
[基础送分 提速狂刷练]
一、选择题
1．a，b 为平面向量，已知 a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，
则 a，b 夹角的余弦值等于( )Байду номын сангаас
8 A.65
B．－685
16 C.65
D．－1665
解析 由题可知，设 b＝(x，y)，则 2a＋b＝(8＋x,6＋y) ＝(3,18)，所以可以解得 x＝－5，y＝12，故 b＝(－5,12)．由 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝6156.故选 C.
∴ (m O→A ＋ n O→B )·A→B ＝ (m O→A ＋ n O→B )·( O→B － O→A ) ＝ (m － n)O→A·O→B－mO→A2＋nO→B2＝0，
∴3(m－n)－9m＋4n＝0， ∴mn ＝16.故选 A.
7．已知直线 y＝x＋m 和圆 x2＋y2＝1 交于 A，B 两点，
2．已知向量 a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且 a⊥b，则a|2·aa－＋bb|
等于( )
A．－53
B．1
C．2
5 D.4
解析 ∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则 2a－b＝(0,5)， a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴ a|2·aa－＋bb|＝55＝1.故选 B.
又因为 a·b 和 b·a 都在集合 n2n∈Z中，设 a·b＝n21，b·a ＝n22(n1，n2∈Z)，那么(a·b)·(b·a)＝cos2θ＝n14n2，又 θ∈π4，π2， 所以 0<n1n2<2.
所以 n1，n2 的值均为 1，故 a·b＝n21＝12.故选 D.
3．已知△DEF 的外接圆的圆心为 O，半径 R＝4，如 果O→D＋D→E＋D→F＝0，且|O→D|＝|D→F|，则向量E→F在F→D方向上 的投影为( )
A．6 B．－6 C．2 3 D．－2 3
解析 由O→D＋D→E＋D→F＝0 得，D→O＝D→E＋D→F. ∴DO 经过 EF 的中点，∴DO⊥EF. 连接 OF，∵|O→F|＝|O→D|＝|D→F|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF＝60°. ∴∠DFE＝30°，且 EF＝4×sin60°×2＝4 3. ∴向量E→F在F→D方向上的投影为|E→F|·cos〈E→F，F→D〉＝ 4 3cos150°＝－6，故选 B.
＝
(1,1)
＋
t(1,0)
＋
1 t
(0,1)
＝
t＋1，1＋1t ， c＋ta＋1t b ＝
t＋12＋1＋1t 2 ＝
t2＋t12＋2t＋2t ＋2≥2 2，当且仅当 t＝1 时等号成立．故
选 B.
10．已知 a，b 是单位向量，a·b＝0.若向量 c 满足|c－a －b|＝1，则|c|的取值范围是( )