气轨上的弹簧振子的简谐振动

1 XX大学实验报告 课程名称 基础物理实验 实验项目名称 气轨上的弹簧振子的简谐振动指导教师 学生姓名 学号 系 同组姓名 实验日期 年 月 日 成绩评定

【实验目的】 1.观察简谐振动现象，测定简谐振动的周期。 2.求弹簧的劲度系数k和有效质量m0 3.观察简谐振动的运动学特征 4.验证机械能守恒定律

【实验原理】 1.弹簧振子的简谐运动 在水平的气垫导轨上，两个相同的弹簧中间系一滑块，滑块做往返振动，如图1所示。如果不考虑滑块运动的阻力，那么，滑块的振动可以看成是简谐振动。

设质量为m1的滑块处于平衡位置，每个弹簧的伸长量为x0，当m1距平衡点x时，m1只受弹性力-k1(x+x0)与-k1(x-x0)的作用，其中k1是弹簧的倔强系数。根据牛顿第二定律，其运动方程为 （1） ，01mmm （2） 式中：m—振动系统的有效质量；m0—弹簧的有效质量；m1—滑块和砝码的质量。

方程（1）的解为

00sin()xAt （3）

说明滑块是做简谐振动。式中：A—振幅；0—初相位。

0/km （4）

0叫做振动系统的固有频率，由振动系统本身的性质所决定。振动周期T与0有下列关系：

图1简谐运动原理图 2

0102/2/2()/Tmkmmk （5）

（5）式两边平方即可得到 22104()/Tmmk

（6）

在实验中，我们改变m1，测出相应的T，采用作图法获得T2-m的曲线，该曲线应该为一条直线，直线的斜率为24/k，采用最小二乘法可以计算出该斜率值，并得到k的值。同时，可以从该条直线的截距获取m0的值。也可采用逐差法求解k和m0的值。 2.简谐运动的运动学特征描述 对（2）式在时间上进行求导即可得到

000cos()dxvAtdt （7）

由（7）式可见，速度v与时间有关，且随时间的变化关系为简谐振动，角频率为0，振幅为0A，而且速度v的相位比x超前π/2。 综合（2）和（7），消去时间t，即可得到： 2222

0vAx （8）

即当x=A时，v=0；当x=0时，0vA，这时v取最大值。 本实验可以观察x和v随时间的变化规律以及x和v之间的相位关系。 3.简谐振动的机械能 在实验中，任何时刻系统的振动动能为： 22

101122kEmvmmv （9）

系统的弹性势能为（以m1位于平衡位置时系统的势能为零） 212pEkx （10）

系统的机械能 2221122pkEEEmAkA （11）

式中k和A均不随时间变化。 通过测量滑块m1在不同位置x的速度v，从而计算弹性势能和振动势能，并验证他们之间的相互转换关系和机械能守恒定律。 3

【实验仪器和材料】 气垫导轨、滑块、附加砝码、弹簧、U型挡光片、平板挡光片、数字毫秒计、天平等。

【实验步骤和实验结果】 1. 助教首先为我们放了一个动画片用于强调实验室的安全意识，虽然没有看完但是还是留下了深刻的印象。随后助教开始为我们介绍了实验中所涉及的实验装置和他们的原理，如气垫导轨结构及基本主件，并为我们演示了如何调节使得气垫水平；光电计数器的使用方法和原理；挡光片的类型和作用原理，条形挡光片用于测量周期而u形挡光片用于测量速度。使得我们对于该实验有了一个初步的感性认识。 2. 接下来就开始了正式的实验，首先就是气垫装置的调平。我认为这是实验的基础，也是实验成败的关键所在，只有这一步做成功了，后面的实验数据测量才会精确，不然只会做很多的无用功。也正是由于这一步如此关键，因此要求的误差仅有0.5％，而我也调了大概30分钟才得到了满意的结果。下面是测量的数据 V1 V2 误差％

17.21cm/s 17.25 cm/s 0.232％

19.44 cm/s 19.50 cm/s 0.308％

19.91 cm/s 19.96 cm/s 0.251％

原理十分简单，就是通过测量滑块通过两个光电门的速度，来判断气垫导轨是否处于水平状态。原理虽然简单，但是具体操作并不是如此。调节的准则就是先粗调，再精调。所谓粗调，是指将滑块放在气垫上，旋转旋钮调节高度使得滑块保持静止。不过这并不精确，因为还要考虑到静摩擦力的作用，因此我们还需要精调，也就是比较任意两点滑块的速度，若滑块速度误差＜0.5％，则可认为气垫已水平。 事后分析，这一步骤浪费太多的时间，主要有以下原因 1) 两个旋钮没有同时调节或调节幅度不一样，导致气垫出现倾斜情况。 2) 使用了错误的计数信号1，发现之后换成了信号2，很快的得出了结果。 3) 经常使滑块来回移动，造成判断失误。因为如果保持滑块沿一个方向运动，在进行高低 判断时，也只需要考虑一个方向，可以减少判断出错导致旋转旋钮方向相反的概率。 在经过千辛万苦的调节之后，当然也在助教的帮助下，终于成功的得到了理想的数据，得以开始正式实验操作。 3. 首先是测量弹簧振子的振动周期并考察振动周期和振幅的关系。当滑块的振幅A分别取10.0, 20.0, 30.0, 40.0cm时，测量其相应振动周期。并记录实验数据并绘图如下： 10cm 20cm 30cm 40cm

T1 (ms) 1632.03 1631.56 1631.43 1631.61 T2 (ms) 1631.06 1631.80 1631.50 1631.52 T3 (ms) 1631.44 1632.00 1631.64 1631.52 T4 (ms) 1632.63 1632.44 1631.53 1631.73 T5 (ms) 1631.52 1632.72 1631.44 1631.52 T (ms) 1631.74 1632.10 1631.51 1631.58 4

通过数据和图像我们可以发现，振幅的变化并没有改变振动周期，也就是说振动周期和振幅无关。这个结果也和前面公式（5）一致，振动周期由振动系统本身的性质所决

定，只和振动系统的有效质量和弹簧的劲度系数有关，即 4. 研究振动周期和振子质量之间的关系。在滑块上加骑码（铁片）。对一个确定的振幅（取A=40.0cm）每增加一个骑码测量一组T。(骑码不能加太多，以阻尼不明显为限。)

作T2-m的图，如果T与m的关系式如公式（6）22104()/Tmmk所示，则T2-m

的图应为一条直线，其斜率为24/k，截距为204/mk。用最小二乘法做直线拟合，求出k和m0。 本实验记录的数据如下：研究振动周期和振子质量之间的关系（滑块振幅A取 40.0 cm） m （g） 245.97g 270.83g 295.82g 320.77g 345.63g T1（ms） 1730.00 1814.06 1894.78 1971.56 2045.42 T2（ms） 1730.19 1814.34 1894.87 1971.82 2045.94 T3（ms） 1730.53 1814.52 1894.77 1971.71 2046.21 T4（ms） 1730.85 1814.56 1894.52 1971.58 2045.80 T5（ms） 1730.77 1814.32 1894.40 1971.84 2045.74 T6（ms） 1730.70 1814.52 1894.27 1971.70 2045.16 T7（ms） 1730.46 1814.26 1894.72 1971.75 2045.43 T8（ms） 1730.75 1814.40 1894.78 1971.74 2045.80 T9（ms） 1730.14 1814.19 1894.38 1971.91 2045.41 T10（ms） 1730.27 1814.15 1894.70 1971.25 2045.36 T (ms) 1730.47 1814.33 1894.61 1971.78 2045.63 5

通过matlab进行曲线拟合，得到回归方程为y=11.9393x+0.0583 通过斜率和截距的可计算出弹簧的劲度系数为k=3.31 m0=4.88×10-3 误差分析：振子质量测量时存在误差。 1) 存在摩擦力，影响振子的振动周期，导致曲线拟合时出现误差。 2) 另外曲线拟合本身也会出现一定的误差。 5. 研究滑块速度和位移的关系。在滑块上装上U型挡光片，可测量速度。在这个实验中，一开始我忘记了换挡光片，还是用平板挡光片测得，测出来的速度特别小，等到做完了才想起来，通过这个事情我真的是感受到实验确实是什么情况都可能发生，有时并不是你知道了就可以做好了。 以下是用U型挡光片记录的实验数据，并且绘制了v2-x2图像。 10cm 15cm 20cm 25cm 30cm V1 (cm/s) 147.06 140.24 131.75 117.78 96.25 V2 (cm/s) 147.28 140.25 131.06 117.10 95.78 V3 (cm/s) 146.20 140.84 131.72 117.78 94.97 V 146.85 140.78 131.18 117.55 95.67