弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨(精)
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第26卷第5期
V01.26No.5
周口师范学院学报
JournalofZhoukouNormalUniversity
2009年9月
Sep.2009
弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨
周俊敏,王玉梅
(周口师范学院物理系,河南周口466001)
摘要:从能量的观点出发,分别讨论了弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程,并通过解微分方程,得出结论.这些结论对指导实验和生产实践有一定的参考价值.
关键词:弹簧振子;振动周期;机械能守恒;运动方程中图分类号:0326文献标识码:A
文章编号:1671—9476(2009)05—0058—03
弹簧振子在生产实践中有着十分广泛的应用,而振动的周期是描述振动系统运动的一个非常重要的基本物理量,因此探讨弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响就显得十分必要.在实验教学中笔者发现,大部分实验教材直接给出弹簧振子的振动周
r‘‘—?———=7
的正方向,建立坐标系如图1(b)所示.设质点的位置坐标为X,引即为质点相对于坐标原点的位移.
取物体为研究对象,作用在物体上的力有两个:重力大小为mg,方向竖直向下;弹簧对物体的拉力F=一k(x+z。),方向竖直向上.由此可知物体的合力F台一一点(z+X。)+mg=一妇.由简谐
图1
期公式为T一2,r^/m+cM,学生通过实验测出f
V
K
值的范围为0.32~0.34,但未从理论上分析c值在这一范围的原因[1-3].另外,教材中分析弹簧振子振动周期时,大都从力的观点[4_51出发得出运动方程.笔者从能量的观点出发,分别讨论弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程,并通过解运动方程得出弹簧振子的振动周期以及
1
振动的定义“质点在线性
回复力的作用下,围绕平衡位置的运动是简谐振动”可知,竖直放置的弹簧振子将作简谐振动.对于作简谐振动的振子来说,只有保守力作功,可以用机械能守恒定律来求运动方程.
选取平衡位置为重力势能零点,振动物体重力势能为E,=一mgx,弹簧的弹性势能为E如=
弹簧质量对振动周期的修正系数c=÷,从理论上
O
证明了学生的实验结果在误差范围内是正确的.
1
1.1
忽略弹簧质量时弹簧振子的振动周期
弹簧与地面垂直
弹簧的原长为L0,劲度系数为k,上端固定,下
-}k(x+z。)2,振动物体动能为E,=告,聊2,由机
械能守恒定律可得
端悬挂一质量为优的物体,在平衡位置时弹簧长度为L,平衡时弹簧的拉伸量为z。,如图1(a)所示,此时由于受力平衡,则一妇。+mg=0,即如。=mg.将振动物体自平衡位置O向下移动一小位移至
0
E=告脚2一mgx+寺是(z+z1)2=C1.
考虑到kx。一mg,则
7(如图1(b)所示),然后释放,物体将以0点为中
心作往复运动.忽略各种阻力的影响,把物体视为质点,以平衡位置O为坐标原点,设竖直向下为z
丢舢2+昙妇2+百1肛21:C1.
对振动系统来说妻如;为常量,则
收稿日期:2009一03—12;修回日期:2009一07—25
基金项目:周口师范学院青年科研基金资助项目(No.ZKNUQN200832)
作者简介:周俊敏(1965一),女,河南太康人,讲师,主要从事基础物理教学与研究.
万方数据
第26卷第5期周俊敏,等:弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨
59
专栅2+丢b2=cz.
两边同时对£求-9,考虑到口=Idx,整理得n£
磐+岛:0.’出2。m“
‘
取∥=生,得此微分方程的解为
z亨Acos(cc|t+庐).
若用T表示完成一次全振动所用时间,则
r=警=2耳√詈.
叫
、『宠
1.2
弹簧与地面平行
与竖直情况作类似分析,得F台=一如,弹簧弹
性势能为E,,=专缸2,振动物体动能为Ek,=
妻脚2.对振动系统,由机械能守恒定律可得
E=丢脚2+i1妇2=Cs.
两边同时对£求导,考虑到口=譬,整理得
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磐+匕:o.“
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取∥:鱼,得此微分方程的解为
z—Acos(a*+乒).
若用T表示完成一次全振动所用时间,则
丁一等=2丌√詈.
∞
’、『定
2
考虑弹簧质量时弹簧振子的振动周期
2.1
弹簧与地面垂直
设弹簧质量为M,劲度系数为忌,振动物体质
量为优,在平衡位置时弹簧长度为L,平衡时弹簧的拉伸量为z:.此时,由于受力平衡,则一k2+rag
+Mg一0,则妇2=mg+Mg.假定弹簧各截面的位移按线性规律变化,从弹簧的固定点P向下取一点y(取尸y=y,Y≤L+z),并在
此处截取一小位移元dy,则警=
1万。——x’即y辨:生,即d:L+
2
Y
oL,如图2所示.
振动物体重力势能为
图2
E^=一mgx;
万方数据
振动物体动能为
E。=i1
mI面&c)2.
令A=f笔,y到y+dy处的动能为
慨:=虿1叫w\面dy)2=虿1№(煮害)2,
整个弹簧的动能为
E。=r;tdy(南d-一7)一
r面b(警)2y2dy=
——l面J—』生一(警)2_L-l-x2(L-+-x)。
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yZ‘dy一警(害)2.一百(面)‘因弹簧质心下移虿1z,则弹簧的重力势能为
E:一一号Mgz,弹簧的弹性势能为
%一丢志(z+z:)2.
将振动系统和地球作为一个整体且不考虑各种阻力影响,由机械能守恒定律得i1
mI面dx)2一嘲z+百MI面dz)2一
Mgz+
丢志(z+列2
C4.
对上式整理并对t求导,得
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