善用数学归纳法 巧证数列综合题

中学数学数列与数学归纳法解题技巧数学归纳法是中学数学中一种常用的解题方法，尤其在数列题中，常常能得到很好的运用。

它基于数学归纳原理：若一个命题在满足起始条件时成立，并且在某个条件成立时也能推出下一个条件成立，那么该命题对所有满足条件的情况皆成立。

在解决数列问题时，我们经常会遇到求某一项的值、求前n项和、证明等问题。

下面将介绍几种常见的数列问题解题技巧。

首先，对于等差数列。

等差数列是一种常见且简单的数列。

当我们面对等差数列的问题时，可以考虑使用数学归纳法。

首先，我们可以观察前几项来寻找规律。

假设等差数列的公差为d，第一项为a1，那么第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。

我们可以通过求解该等式来确定任意一项的值。

然后，我们可以通过归纳法来证明一些性质，例如前n 项和Sn = (a1 + an)n/2等。

其次，对于等比数列。

等比数列是一种以等比数相乘的数列。

在解决等比数列问题时，常常需要注意首项、公比以及项数的关系。

我们可以根据题目中给出的条件，通过数学归纳法来推导出等比数列的通项公式。

同时，我们还可以通过数学归纳法来证明等比数列的一些性质，例如前n项和Sn = a(1-r^n)/(1-r)等。

除此之外，对于斐波那契数列。

斐波那契数列是一种特殊的数列，以递推形式定义。

即f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(1) = 1，f(2) = 1。

在解决斐波那契数列问题时，可以通过归纳法来推导数列的通项公式f(n) = [(1+√5)/2^n - (1-√5)/2^n]/√5。

同时，我们还可以利用数学归纳法来证明斐波那契数列的一些性质，例如任意相邻三项的比值接近黄金分割值。

总而言之，数学归纳法是解决数学问题的一种有效方法，尤其在数列问题中具有广泛的应用。

通过观察数列的规律，利用数学归纳法可以推导出数列的通项公式，并对数列的性质进行证明。

在解决数列题时，我们可以充分利用数学归纳法的思维方式，来提高解题的效率和准确性。

专题6.数列与数学归纳法数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合. 预测2021年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合.1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ． D ．【答案】D 【解析】对于A ，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，，A 正确； 对于B ，由题意可知，，1212b S a a ==+， ∴，，，． ∴，．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得，B 正确； 对于C ，， 当时，，C 正确；对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，，．当时，，∴即24280b b b ->；当时，，∴即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列 的前3项和是________． 【答案】 【解析】 因为，所以． 即． 故答案为：.3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差，证明：．【答案】（I ）1142,.23n n q a -+==；（II ）证明见解析.【解析】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即，由于，所以解得，所以.所以，故，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以12142144.3n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=（II ）依题意设，由于， 所以， 故1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ . 所以 .由于10,1d b >=，所以，所以. 即，.4．（2020·天津高考真题）已知为等差数列，为等比数列，． （Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N；（Ⅲ）对任意的正整数，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列的前项和．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）. 【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q . 由，()5435a a a =-，可得d =1. 从而的通项公式为. 由，又q ≠0，可得，解得q =2， 从而的通项公式为. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<， 所以221n n n S S S ++<.(Ⅲ)当n 为奇数时，， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有， 和 ① 由①得 ②由①②得， 由于， 从而得：. 因此，.所以，数列的前2n 项和为.5．（2020·山东省高考真题）已知公比大于的等比数列满足24320,8a a a +==． （1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）100480S =. 【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为. （2）由于，所以 对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；4567,,,b b b b 对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个； 对应的区间分别为：，则1617314b b b ====，即有个； 对应的区间分别为：，则3233635b b b ====，即有个； 对应的区间分别为：，则64651006b b b ====，即有个.所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.一、单选题1．（2020·浙江省桐庐分水高级中学高三期中）数列满足，则该数列从第5项到第15项的和为（ ） A ．2016 B ．1528 C ．1504 D ．992【答案】C 【解析】因为， 所以，，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为 故选：C2．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．4【答案】A 【解析】已知为等比数列，，且， 满足，则S 3＝8． 故选：A ．3．（2020·浙江高三期中）在数列中，，对任意的，，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】因为对任意的，都有，所以令，则112+=⋅=n n n a a a a ， 因为，所以，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，解得n =5， 故选：C4．（2020·浙江杭州市·高一期末）设公差为d 的等差数列的前n 项和，若4228S S =+，则（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】因为4228S S =+， 所以， 所以， 即， 解得， 故选：B.5．（2019·浙江高二学业考试）已知数列是是正项等比数列，且，则的值不可能是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】数列是是正项等比数列，且，根据题意，数列是正项等比数列，设其公比为，则， 则且，求得，故的值不可能是， 故选．6．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知等差数列的公差为正数，为常数，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A 【解析】 ，, 令，则，解得令，则，即，若，则，与已知矛盾，故解得 等差数列，，即()2111t t -=++，解得 则公差，所以. 故选：A7．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知数列满足，()11i i a a i +=+∈N ，则的值不可能是（ ） A ．2 B ．4 C ．10 D ．14【答案】B 【解析】由得()2221121i i i i a a a a +=+=++， 则21221i i i a a a +-=+， 所以2221121a a a -=+， 2232221a a a -=+，……，2202022121a a a -=+，以上各式相加可得：()2112022102212 (20202)kk a a a a a a=-=+++++=∑，所以，又，所以21200211a a a =++=，则，因为()11i i a a i +=+∈N ，，则，所以，则或，所以或；则或，所以或；则或或，所以或或；则或或，所以或或；……， 以此类推，可得：或或或或或或或或或或，因此所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21， 所以所有可能取的值为，，，，，，，，，，； 则所有可能取的值为，，，，，，，，，，， 即ACD 都有可能，B 不可能. 故选：B.8．（2020·浙江宁波市·高三期中）公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即，，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。

数学归纳法典例精讲1.已知等比数列a n 的首项a 1=2，公比q =3，设S n 是它的前n 项和，求证：S n +1S n≤3n +1n 思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：3n ≥2n +1，n =k 时，不等式为3k ≥2k +1；当n =k +1时，所证不等式为3k +1≥2k +3，可明显看到n =k 与n =k +1中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：S n =a 1q n -1 q -1=3n-1，所证不等式为：3n +1-13n -1≤3n +1n ∴n 3n +1-1 ≤3n +1 3n -1 ⇔n ⋅3n +1-n ≤n ⋅3n +1+3n -3n -1⇔3n ≥2n +1，下面用数学归纳法证明：(1)验证：n =1时，左边=右边，不等式成立(2)假设n =k k ≥1,k ∈N 时，不等式成立，则n =k +1时，3k +1=3⋅3k ≥32k +1 =6k +3>2k +1 +1所以n =k +1时，不等式成立∴∀n ∈N ∗，均有S n +1S n≤3n +1n 2.已知数列a n 满足a n >0，其前n 项和S n >1，且S n =16a n +1 a n +2 ,n ∈N ∗(1)求数列a n 的通项公式(2)设b n =log 21+1a n ，并记T n 为数列b n 的前n 项和，求证：3T n >log 2a n +32 ,n ∈N ∗解：(1)6S n =a 2n +3a n +2①6S n -1=a 2n -1+3a n -1+2n ≥2,n ∈N ∗②①-②可得：6a n =a 2n -a 2n -1+3a n -3a n -1⇒3a n +a n -1 =a 2n -a 2n -1∵a n >0所以两边同除以a n +a n -1可得：a n -a n -1=3∴a n 是公差为3的等差数列∴a n =a 1+3n -1 ，在6S n =a 2n +3a n +2中令n =1可得：6S 1=a 21+3a 1+2⇒a 1=1(舍)或a 1=2∴a n =3n -1(2)思路：利用(1)可求出b n 和T n ，从而简化不等式可得：32⋅65⋅⋯⋅3n 3n -13>3n +22，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。

高考数学中的数列与数学归纳法题解技巧数列和数学归纳法是高考数学中的重要考点，掌握相关解题技巧对于提高数学成绩至关重要。

本文将介绍高考数学中的数列和数学归纳法题解技巧，帮助考生更好地应对考试。

一、数列的基本概念和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

在高考数学中，常见的数列有等差数列、等比数列和等差中项数列。

掌握数列的基本概念和性质是解题的基础。

以等差数列为例，设数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则有公式：aₙ = a₁ + (n - 1)d通过这一公式，我们可以求得数列的任意一项的值。

同时，还需了解等差数列的前n项和公式：Sₙ = (a₁ + aₙ) × n/2此外，还需掌握等比数列的通项公式和前n项和公式，以及等差中项的计算方法等相关性质。

二、数学归纳法的基本原理数学归纳法是解决数列相关问题常用的数学推理方法，也是高考数学中常见的一种解题技巧。

掌握数学归纳法的基本原理对于解题至关重要。

数学归纳法的基本原理分为三步：1. 验证基本情况：证明当n取某个特定值时命题成立。

2. 假设成立：假设当n=k时命题成立，即前k项满足题设条件。

3. 推理步骤：利用假设成立和题设条件推导出n=k+1时，命题也成立。

通过以上步骤，我们可以得出命题对于一切自然数n都成立的结论。

三、数列与数学归纳法的综合应用在高考数学中，数列和数学归纳法常常结合使用，解决一些复杂的问题。

以下是一个综合应用的示例题目：【例】设数列{an}满足an = 2^n - 1，证明aₙ > n，其中n为自然数。

解析：我们通过数学归纳法来解决这道题目。

（1）验证基本情况：当n=1时，a₁ = 2¹ - 1 = 1 > 1，基本条件成立。

（2）假设成立：假设当n=k时命题成立，即aₙ > k。

（3）推理步骤：当n=k+1时，aₙ₊₁ = 2^(k+1) - 1 = 2 × 2^k - 1 = 2 × (2^k - 1) + 1根据假设成立的条件，aₙ > k，我们可以得到aₙ₊₁ > 2k + 1 > k + 1所以，通过数学归纳法可知，数列{an}满足an = 2^n - 1时，aₙ > n，命题成立。