(全国通用)中考数学专题拔高系列：矩形存在性问题解决方法汇总

中考数学复习⑦ 平行四边形及矩形、菱形、正方形存在性问题探究在平行四边形的存在性问题中，常会遇到两类探究性的问题。

第一类问题是已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（简称“三定一动”）。

第二类问题是已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（简称“两定两动”）。

平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序。

在解决这些问题时，容易出现遗漏或方法不当或错解的情况。

因此，需要分清题型并分类讨论且作图，利用几何特征计算，并灵活运用平移坐标法等解题技巧。

可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。

对于“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点。

这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点。

对于“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。

如果平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则可以直接利用坐标系中平行四边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解。

如果平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则可以利用列方程组解图形交点的方法解决。

此外，还可以灵活运用平行四边形的中心对称的性质，或者使用平移坐标法。

平移坐标法的具体步骤是先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设一个动点的坐标），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标。

最后根据题目的要求（动点在什么曲线上），判断平行四边形的存在性。

除了平行四边形，矩形、菱形和正方形也有存在性问题。

对于矩形，增加对角线相等和邻边垂直的性质，还可以转化为直角三角形的存在性问题。

对于菱形，增加四边相等和对角线垂直的性质，还可以转化为直角三角形或等腰（等边）三角形的存在性问题。

中考数学存在性问题的经典方法总结存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。

函数综合题中，存在性问题是各地中考的热点。

这类题目中图形复杂，不确定因素较多，对学生的知识运用分析能力要求较高，且有一定的难度。

本节介绍几种存在性问题的经典方法，为以后二次函数中的存在性问题的解决提供帮助。

一、等腰三角形存在性问题解决等腰三角形存在性问题一般有几何法和代数法两种方法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。

1、代数法（盲解盲算法）如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．代数法的一般步骤：罗列三边长（的平方），分类列方程，解方程并检验．2、几何法（“两圆一线”法）如图，已知线段AB，在平面内找一点C，使得△ABC为等腰三角形，满足条件的点C的集合如下图所示（在以点A，B为圆心，AB长为半径的圆和线段AB的垂直平分线上，除了与AB在同一直线上的点外的所有点）二、直角三角形存在性问题解决直角三角形存在性问题一般有几何法和代数法两种方法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。

1、代数法（盲解盲算法）如果△ABC是直角三角形，那么存在①∠A为直角，②∠B为直角，③∠C为直角三种情况．代数法的一般步骤：罗列三边长（的平方），分类列方程，解方程并检验．2、几何法（“两线一圆”法）如果已知两个定点A、B，在平面内求找一点C，使得△ABC为直角三角形：分别过已知线段AB的两个端点作线段AB的垂线，再以已知线段AB为直径作圆，这两条直线和这个圆上（除了和A、B在同一直线上）的所有点均满足条件，如下图所示：。

专题05 二次函数中的矩形存在性问题【例题讲解】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E，点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0）∴设交点式y＝a（x+1）（x+3）∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴∴C（0，﹣3）把点C代入抛物线解析式得：3a＝﹣3∴a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x2﹣4x﹣3（2）如图，∵D、F关于点E对称，∴DE＝EF∵四边形MDNF是矩形∴MN＝DF，且MN与DF互相平分∴DE＝MN，E为MN中点∴x D＝x E＝＝m+2由①得当d＝m+2时，DE＝4∴MN＝2DE＝8∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82解得：m1＝﹣4﹣，m2＝﹣4+∴m的值为﹣4﹣或﹣4+时，四边形MDNF为矩形．【模型解读】矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：（AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在平面中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】点C 满足以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C 有、、、在点C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D 的坐标．【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．A CB D AC B Dx x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=14,03C ⎛⎫⎪⎝⎭214,03C ⎛⎫⎪⎝⎭()32,0C ()43,0C思路2：先平行，再矩形当AC 为对角线时，A 、B 、C 、D 满足以下3个等式，则为矩形：其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在坐标系中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】设C 点坐标为（a ，0），D 点坐标为（b ，c ），又A （1，1）、B （4，2）．先考虑平行四边形存在性：（1）AB 为对角线时，，满足此条件的C 、D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD综合以上可解：或．故C （3，0）、D （2，3）或C （2，0）、D （3，3）．（2）AC 为对角线时，，另外AC=BD ，得．故C 、D ．（3）AD 为对角线时，，另外AD=BC综合以上可解得：．故C 、D ．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算．A CB D AC BD x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=14120a bc +=+⎧⎨+=+⎩=323a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩233a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩14102a bc+=+⎧⎨+=+⎩=143531a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩14,03⎛⎫ ⎪⎝⎭5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭14120b ac +=+⎧⎨+=+⎩=431331a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩14,03⎛⎫ ⎪⎝⎭13,13⎛⎫⎪⎝⎭【模型实例】1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），设直线PB的表达式为y＝kx+t，则，解得，∵CQ∥BP，故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p，该直线过点C（0，﹣4），即p＝﹣4，故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（，0），则BQ＝4﹣＝，设△PBQ面积为S，则S＝×BQ×（﹣y P）＝﹣××（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，∵﹣2＜0，故S有最大值，当m＝2时，△PBQ面积为8，此时点P的坐标为（2，﹣6）；（3）存在，理由：将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，即点A过该点，即抛物线向右平移了+1＝个单位，则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝+＝3，故设点E的坐标为（3，m），设点F（s，t），①当AP是边时，则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），则或，解得或，故点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）；②当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝EF得：，解得或，故点F的坐标为（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）；综上，点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）或（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）．2．如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，﹣3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，则：C（6，0）；（2）存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n＝m2﹣m﹣3…③，P′C所在直线的k1＝，P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，③、④联立得：＝0，解得：m＝0或6，这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，联立①⑤解得点P（﹣4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；（2）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∵OC＝2OA，∴OC＝2，∴C的坐标为（0，2），将点C代入抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0），得＝2，即m＝4，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在，理由如下：∵直线y＝x+b与抛物线交于B（m，0），∴直线BG的解析式为y＝x﹣m①，∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+•x+②，联立①②解得，或，∴G的坐标为（﹣2，﹣m﹣1），∵抛物线y＝﹣x2+•x+的对称轴为直线x＝，∴点F的横坐标为，①若BG为边，不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，设E的坐标为（t，﹣t2+•t+），∵∠GBE＝90°，∴∠OBG＝∠BEH，∴tan∠OBG＝tan∠BEH＝＝，∴＝，解得：t＝3或m（舍），∴E的坐标为（3，2m﹣6），由平移性质，得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，∵EF∥BG且EF＝BG，∴E横坐标向左平移m+2个单位，得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1，∴＝﹣m+1，解得m＝1，∴E（3，﹣4），F（0，﹣），这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；②若BG为对角线，设BG的中点为M，由中点坐标公式得，，∴M的坐标为（，），∵矩形对角线BG、EF互相平分，∴M也是EF的中点，∴E的横坐标为，∴E的坐标为（，），∵∠BEG＝90°，∴EM＝，∴＝，整理得：16+（m2+4m+1）2＝20（m+2）2，变形得：16+[（m+2）2﹣3]2＝20（m+2）2，换元，令t＝（m+2）2，得：t2﹣26t+25＝0，解得：t＝1或25，∴（m+2）2＝1或25，∵m＞0，∴m＝3，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4），综上，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，﹣）．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）∵OA＝1，∴A（﹣1，0），又∵对称轴为x＝2，∴B（5，0），将A，B代入解析式得：，解得，∴，自变量x为全体实数；（2）设P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC为矩形的对角线，由中点坐标公式得：，解得：，又∵∠BPC＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，即：，解得y＝4或y＝﹣，∴n＝或n＝4，∴Q（3，）或Q（3，4），若BP为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，又∵∠BCP＝90°，BC2+CP2＝BP2，即：，解得y＝，∴Q（7，4），若BQ为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，即：，解得n＝，∴Q（﹣3，﹣），综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，∴b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3，（2）存在，∵A（﹣3，0），B（0，3），设N（n，﹣n2﹣2n+3），则AB2＝18，AN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，BN2＝n2+（n2+2n）2，∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，∴△ABN是直角三角形，若AB是斜边，则AB2＝AN2+BN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，解得：n1＝，，∴N的横坐标为或，若AN是斜边，则AN2＝AB2+BN2，即（n2+2n﹣3）2+（n+3）2＝18+n2+（n2+2n）2，解得n＝0（与点B重合，舍去）或n＝﹣1，∴N的横坐标是﹣1，若BN是斜边，则BN2＝AB2+AN2，即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，解得n＝﹣3（与点A重合，舍去）或n＝2，∴N的横坐标为2，综上N的横坐标为，，﹣1，2．6．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线的解析式；（2）E在抛物线对称轴上，在平面内是否存在点F，使得以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+1；（2）设点E（1，m）、点F（s，t），当BC为边时，点C向右平移3 个单位向下平移1个单位得到点B，同样E（F）向右平移3 个单位向下平移1个单位得到点F（E），且BE＝CF（CE＝BF），∴或，解得或，当BC为对角线时，由中点公式和BC＝EF得：，解得或，故点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，3）或（2，﹣1）或（2，2）；7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交坐标轴于B，C两点，抛物线y＝ax2+bx+3经过B，C两点，且交x 轴于另一点A（﹣1，0）．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DQ∥CO，交BC于点P，交x轴于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点E，在坐标系内取点F，问是否存在以C，B，E，F为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3交坐标轴于B，C两点，∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）．将C（0，3）代入y＝a（x﹣3）（x+1）．得a＝﹣1，11∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+3．（2）存在，点E 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．若CE ⊥BC ，直线CE 的解析式为：y ＝x+3，∴，∴（舍去），，∴点E 的坐标为：（1，4）．若BE ⊥BC ，直线BE 解析式为：y ＝x ﹣3，∴，∴，，∴点E 的坐标为：（﹣2，﹣5），综上所述，当点E （1，4）或（﹣2，﹣5）时，存在以C ，B ，E ，F 为顶点且以CB为边的矩形．。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律 专题09 二次函数与矩形正方形存在型问题【典例分析】【例1】我们约定,在平面直角坐标系中两条抛物线有且只有一个交点时,我们称这两条抛物线为“共点抛物线”,这个交点为“共点”．（1）判断抛物线y ＝x 2与y ＝﹣x 2是“共点抛物线”吗？如果是,直接写出“共点”坐标；如果不是,说明理由； （2）抛物线y ＝x 2﹣2x 与y ＝x 2﹣2mx ﹣3是“共点抛物线”,且“共点”在x 轴上,求抛物线y ＝x 2﹣2mx ﹣3的函数关系式；（3）抛物线L 1：y ＝﹣x 2+2x+1的图象如图所示,L 1与L 2：y ＝﹣2x 2+mx 是“共点抛物线”； ①求m 的值；②点P 是x 轴负半轴上一点,设抛物线L 1、L 2的“共点”为Q,作点P 关于点Q 的对称点P′,以PP′为对角线作正方形PMP′N ,当点M 或点N 落在抛物线L 1上时,直接写出点P 的坐标．【例2】如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线223y ax ax a =--（0a <）与x 轴交于A,B 两点（点A在点B 的左侧）,经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC ．（1）直接写出点A 的坐标,并求直线l 的函数表达式（其中k,b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点,若△ACE 的面积的最大值为54,求a 的值； （3）设P 是抛物线的对称轴上的一点,点Q 在抛物线上,以点A,D,P,Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能,求出点P 的坐标；若不能,请说明理由．【例3】如图1,抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A,B,C,已知点A 和C 的坐标分别是（﹣4,0）和（0,4）,点P 在抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 上．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图2,当点P 在线段AC 的上方,点P 的横坐标记为t,过点P 作PM ⊥AC 于点M,当PM ＝2时,求点P 的坐标；（3）若点E 是抛物线对称轴上与点D 不重合的一点,F 是平面内的一点,当四边形CPEF 是正方形时,求点P 的坐标．【例4】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点(4,0)B 、(8,0)C 、(8,8)D .抛物线的解析式为2y ax bx =+.（1）如图一,若抛物线经过A ,D 两点,直接写出A 点的坐标 ；抛物线的对称轴为直线 ； （2）如图二：若抛物线经过A 、C 两点, ①求抛物线的表达式.②若点P 为线段AB 上一动点,过点P 作PE AB ⊥交AC 于点E ,过点E 作EF AD ⊥于点F 交抛物线于点G .当线段EG 最长时,求点E 的坐标；（3）若1a =-,且抛物线与矩形ABCD 没有公共点,直接写出b 的取值范围.【例5】在平面直角坐标系中,抛物线y ＝x 2﹣4x +n （x ＞0）的图象记为G 1,将G 1绕坐标原点旋转180°得到图象G 2,图象G 1和G 2合起来记为图象G ． （1）若点P （﹣1,2）在图象G 上,求n 的值． （2）当n ＝﹣1时．①若Q （t ,1）在图象G 上,求t 的值．②当k ≤x ≤3（k ＜3）时,图象G 对应函数的最大值为5,最小值为﹣5,直接写出k 的取值范围．（3）当以A （﹣3,3）、B （﹣3,﹣1）、C （2,﹣1）、D （2,3）为顶点的矩形ABCD 的边与图象G 有且只有三个公共点时,直接写出n 的取值范围．【例6】如图,在平面直角坐标系中,已知直线1:6l y x =-+与直线2l 相交于点A,与x 轴相交于点B,与y 轴相交于点C,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点O 、点A 和点B,已知点A 到x 轴的距离等于2.（1）求抛物线的解析式；（2）点H 为直线2l 上方抛物线上一动点,当点H 到2l 的距离最大时,求点H 的坐标；（3）如图,P 为射线OA 的一个动点,点P 从点O 出发,沿着OA 5,以OP 为边在OA 的上方作正方形OPMN,设正方形POMN 与△OAC 重叠的面积为S,设移动时间为t 秒,直接写出S 与t 之间的函数关系式.【变式训练】1．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点1A ,2A ,3A ,L ,n A 在y 轴的负半轴上,点1B ,2B ,3B ,L ,n B 在二次函数2y x =-位于第三象限的图象上,若四边形111OB AC ,四边形1222A B A C ,四边形2333A B A C ,L ,四边形1n n n n A B A C -都是正方形,则正方形1n n n n A B A C -的面积为（ ）．A ．2nB ．2nC ．22nD ．212n2．如图,P 是抛物线24y x x =--在第四象限的一点,过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线,垂足分别为A 、B ,则四边形OAPB 周长的最大值为（ ）A．10B．8C．7.5D．533．如图,边长为1的正方形ABCD顶点A（0,1）,B（1,1）；一抛物线y=ax2+bx+c过点M（﹣1,0）且顶点在正方形ABCD内部（包括在正方形的边上）,则a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤﹣1 B．﹣2≤a≤﹣14C．﹣1≤a≤﹣12D．﹣1≤a≤﹣144．如图,OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2的图象上,则a的值为（)A．23-B．2-C．6-D．12-6．如下图,正方形ABCD的边AB在x轴上,A（﹣4,0）,B（﹣2,0）,定义：若某个抛物线上存在一点P,使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等,则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x2﹣nx﹣n2﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”,则n的值为_____．7．如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+4x与x轴交于点A,点M是x轴上方抛物线上一点,过点M作MP ⊥x 轴于点P,以MP 为对角线作矩形MNPQ,连结NQ,则对角线NQ 的最大值为_________．8．如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数y= 13x 2与y=﹣ 13x 2的图象,则阴影部分的面积是________．9．如图,抛物线2y ax c =+的顶点为B ,O 为坐标原点,四边形ABCO 为正方形,则ac =______.10．如图,已知二次函数22y x a =-+的图象经过点()0,10,矩形ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上,B 、C 恰好在二次函数的图象上,矩形长和宽的比为2∶1,则图中阴影部分的面积之和为________．11．如图,C ,D 是抛物线y ＝56（x +1）2﹣5上两点,抛物线的顶点为E ,CD ∥x 轴,四边形ABCD 为正方形,AB 边经过点E ,则正方形ABCD 的边长为_____．12．如图,在平面直角坐标系中,过点P（m,0）作x轴的垂线,分别交抛物线y＝12x2+2与直线y＝﹣12x于A、B,以线段AB为对角线作正方形ACBD,则正方形ACBD的面积的最小值为_____．13．如图,在平面直角坐标系中,点O是边长为2的正方形ABCD的中心．函数y＝（x﹣h）2的图象与正方形ABCD有公共点,则h的取值范围是_____．14如图1,抛物线y = ax2+bx-3经过A、B、C三点,己知点A(-3,0)、C (1, 0).（1）求此抛物线的解析式.（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A、B重合),①过点F作x轴的垂线,垂足为D,交直线AB于点E,动点P在什么位置时,PE最大,求出此时P点的坐标.②如图2,连接AP.以AP为边作图示一侧的正方形APMN,当它恰好有一个顶点落在抛物线对称轴上时,求出对应的P点的坐标.15．如图,抛物线l：y=﹣x2+bx+c（b,c为常数）,其顶点E在正方形ABCD内或边上,已知点A（1,2）,B（1,1）,C （2,1）．（1）直接写出点D的坐标_____________；（2）若l经过点B,C,求l的解析式；（3）设l与x轴交于点M,N,当l的顶点E与点D重合时,求线段MN的值；当顶点E在正方形ABCD内或边上时,直接写出线段MN的取值范围；（4）若l经过正方形ABCD的两个顶点,直接写出所有符合条件的c的值．16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A,B两点（点A在原点左侧,点B在原点右侧）,与y轴交于点C,已知OA＝1,OC＝OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若D（2,m）在该抛物线上,连接CD,DB,求四边形OCDB的面积；（3）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过点E作EH⊥x轴于点H,再过点F作FG⊥x轴于点G,得到矩形EFGH.在点E运动的过程中,当矩形EFGH为正方形时,求出该正方形的边长．17.如图,已知抛物线经过A（1,0）,B（0,3）两点,对称轴是x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发,以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动,过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒．①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形；②△AON能否为等腰三角形？若能,求出t的值；若不能,请说明理由．18.如图：在平面直角坐标系中,直线l：y=13x﹣43与x轴交于点A,经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=32．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O,得到直线m,点P是直线m上任意一点,PB⊥x轴于点B,PC⊥y轴于点C,若点E在线段OB上,点F在线段OC的延长线上,连接PE,PF,且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6,2）,点E是x轴上的点,点F是y轴上的点,当PE⊥PF时,抛物线上是否存在点Q,使四边形PEQF是矩形？如果存在,请求出点Q的坐标,如果不存在,请说明理由．19.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2,0）,B（8,0）两点,与y轴交于点C,且OC＝2OA,抛物线的对称轴x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,设点P点的横坐标为m,且S△CDP＝1120S△ABC,求m的值；（3）K是抛物线上一个动点,在平面直角坐标系中是否存在点H,使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在,直接写出点H的坐标；若不存在,说明理由．20.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣3,0）,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,抛物线的对称轴是x＝﹣1,且与x轴交于E点．（1）请直接写出抛物线的解析式及顶点D的坐标；压轴解答题·直面高考（2）如图2,连接AD,设点P是线段AD上的一个动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点G,交x轴于点H,连接AG、GD,当△ADG的面积为1时,①求点P的坐标；②连接PC、PE,探究PC、PE的数量关系和位置关系,并说明理由;（3）设M为抛物线上一动点,N为抛物线的对称轴上一动点,Q为x轴上一动点,当以Q、M、N、E为顶点的四边形为正方形时,请直接写出点Q的坐标．精品资源·战胜高考。