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(整理)微分方程练习题

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. '. 第７章 微分方程练习题 习题７.1 1．选择题 （1）（ ）是微分方程

（（A））dxxdy)14(． (（B）) 12xy．

(（C）) 0232yy． (（D）)0sinxdx． （2）( )不是微分方程 （（A））03yy． (（B）) xxdxydsin322． (（C）) 0232yxy． (（D）) 0)()(2222dyyxdxyx． （3）微分方程xxyysin43)(2的阶数为（ ） (（A）) 2． (（B）) 3． (（C）) 1． (（D）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,2xyyyx． （ ） (2) Cyxxyxyyx22,2)2(. ( ) (3) Cxyydydxarccos,0sin. ( ) (4) xyyxy1,22. ( ) 习题7.2 1．解微分方程

(1) xdxdy1． (2) 2211xydxdy． .

'. (3) yxey2． (4)0)1()1(22dxyxdyxy．

(5) 4,212xyyxyyx．

2．解微分方程 (1) 0)()(yxyyx． (2) dxdyxydxdyxy22．

(3) xyxyytan． .

'. 3．解微分方程 (1) xeyy． (2) 1sincosxyxy．

1．选择题 （1）（ ）是微分方程

（（A））dxxdy)14(． (（B）) 12xy．

(（C）) 0232yy． (（D）)0sinxdx． （2）( )不是微分方程 （（A））03yy． (（B）) xxdxydsin322． (（C）) 0232yxy． (（D）) 0)()(2222dyyxdxyx． （3）微分方程xxyysin43)(2的阶数为（ ） (（A）) 2． (（B）) 3． (（C）) 1． (（D）) 0． 2．判断函数是否为所给微分方程的解（填“是”或“否”） （1）25,2xyyyx． （ ） (2) Cyxxyxyyx22,2)2(. ( ) (3) Cxyydydxarccos,0sin. ( ) (4) xyyxy1,22. ( ) 习题7.2 1．解微分方程

(1) xdxdy1． (2) 2211xydxdy． .

'. (3) yxey2． (4)0)1()1(22dxyxdyxy．

(5) 4,212xyyxyyx．

2．解微分方程 (1) 0)()(yxyyx． (2) dxdyxydxdyxy22．

(3) xyxyytan． .

'. 3．解微分方程 (1) xeyy． (2) 1sincosxyxy．

(3) 3,12xyxxxydxdy． (4) 2yxydxdy． (5) yyxy2sincos1． 习题7.3 1．解下列微分方程 (1) 2xy． (2) 2,1,300xxyyyy． .

'. (3) xyy． (4) 0yyx．

(5) 0)(2yyyy． (6) 1,1,00xxyyyyy．

2．解下列微分方程 （1）02yyy． (2) 09yy．

(3) 044yyy． (4) 0,2,03400xxyyyyy． .

'. (5) 0,2,04400xxyyyyy．

3．解下列微分方程 (1) 1332xyyy． (2) xeyyy232．

(3) 733,76,910002xxxyyeyyy． .

'. (4) xyyy2sin82． (5) xyysin．

(6) 1,1,02sinxxyyxyy．

习题7.4 1．一条曲线通过点)1,0(P,且该曲线上任一点),(yxM处的切线斜率为23x，求这曲线的方程． .

'. 2．生物活体含有少量固定比的放射性C14，其死亡时存在的C14量按与瞬时存量成比例的速率减少，其半衰期约为5730年，在1972年初长沙马王堆一号墓发掘时，若测得墓中木炭C14含量为原来的77.2％，试断定马王堆一号墓主人辛追的死亡时间．

3．作直线运动物体的速度与物体到原点的距离成正比，已知物体在10s时与原点相距100m，在20s时与原点相距200m，求物体的运动规律．

4．设Q是体积为V的某湖泊在t时的污染物总量，若污染源已排除．当采取某治污措施后，污染物的减少率以与污染总量成正比与湖泊体积成反比化，设k为比例系数，且0)0(QQ，求

该湖泊的污染物的化规律，当38.0Vk时，求99％污染物被清除的时间． .

'. 5．一质量为m的质点从水面由静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比，求质点下降深度与时间t的函数关系．

6．一弹簧挂有质量为2kg的物体时，弹簧伸长了0.098m，阻力与速度成正比，阻力系数24N/(m/s)．当弹簧受到强迫力tf10sin100（N）的作用后，物体产生了振动．求振动

规律，设物体的初始位置在它的平衡位置，初速度为零．

复习题七 一、选择题 1．微分方程0432xyyyy阶数是（ ） （A）1； （B）2； （C）3； （D）4． 2．下列函数中，可以是微分方程0yy的解的函数是（ ）

（A）xycos； （B）xy； （C）xysin； （D）xey． 3．下列方程中是一阶线性方程的是（ ）

（A）0ln)3(xdyxdxy； （B）xyydxdy212； . '. （C）xxyyxsin22； （D）02yyy． 4．方程034yyy满足初始条件10,600xxyy特解是（ ） （A）xxeey33； （B）xxeey332； （C）xxeey324；（D）xxeCeCy321． 5．在下列微分方程中，其通解为xCxCysincos21的是（ ） （A）0yy； （B）0yy； （C）0yy； （D）0yy． 6．求微分方程223xyyy的一个特解时，应设特解的形式为（ ） （A）2ax； （B）cbxax2； （C）)(2cbxaxx； （D）)(22cbxaxx． 7．求微分方程 xyyysin23的一个特解时，应设特解的形式为（ ） （A）xbsin； （B）xacos； （C）xbxasincos； （D）)sincos(xbxax． 二、填空题 9．微分方程xxydxdyxsin2的通解是 ．

10．微分方程03yy的通解是 ． 11．微分方程054yyy的通解是 ． 12．以 xxeCxeCy21为通解的二阶常数线性齐次分方程为 ． 13．微分方程044yyy满足初始条件0,200xxyy的特解是 ． 14．微分方程054yyy的特征根是 ．

15．求微分方程1222xyy的一个特解时，应设特解的形式为 ． 16．已知21xey及22xxey都是微分方程0)24(42yxyxy的解，则此方程的通解为 ． 三、计算题 17．求下列微分方程的通解

(1) 21xxydxdy． (2) xyycos． . '. (3) 0tansectansec22xdyyydxx． (4) xyysin．

(5) 02yyy． (6) xyyy2345． 18．求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1)4,0sincossincos0xyydyxxdxy．

(2) 2,1,06500xxyyyyy． .

'. (3) 211,3,4151640023xxxyyeyyy．

(4) 1,0,cos295200xxyyxyy． 19．求一曲线方程，这曲线通过原点，并且它在点),(yx处的切线斜率等于yx2． 20．当一人被杀害后，尸体的温度从原来的C37按牛顿冷却律开始变凉，设3小时后尸体温度为C31 ，且周围气温保持C20不变． （1）求尸体温度H与时间t(h)的函数关系，并作函数草图． （2）最终尸体温度将如何？ （3）若发现尸体时其温度是C25，时间为下午4时，死者是何时被害的？

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微分方程单元测试题(含答案)

微分方程单元测试题(含答案)

微分方程单元测试题(含答案)题目一已知微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$，求出这个微分方程的通解。

答案：根据微分方程的定义，我们可以利用变量分离法来求解这个微分方程。

首先我们将 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 两边同时乘以 $dx$ 和$\frac{1}{2x}$，得到 $\frac{dy}{2x} = dx$。

然后我们进行积分，得到 $\int \frac{dy}{2x} = \int dx$。

将积分限写入，得到 $\int\frac{dy}{2x} = \int_{y_0}^y dx$（这里 $y$ 是变量 $x$ 的函数）。

对于左边的积分，我们可以用换元法来进行计算，令 $u = 2x$，则$du = 2dx$。

将其代入积分式中，得到 $\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \ln|u|^{1/2} + C_1$ （其中 $C_1$ 是常数）。

对于右边的积分，我们可以直接计算得到 $x + C_2$（其中$C_2$ 是常数）。

将左右两边的积分结果合并，得到 $\ln|u|^{1/2} + C_1 = x + C_2$，进一步化简得到 $\ln|2x|^{1/2} = x + C_3$，其中$C_3 = C_2 - C_1$ 是常数。

对等式两边同时取指数函数，得到$|2x|^{1/2} = e^{x + C_3}$，再进一步化简得到 $|2x|^{1/2} = e^{x}e^{C_3}$。

最后取绝对值，得到 $2x = \pm e^{x} e^{C_3}$，进一步化简得到 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$。

因此，微分方程的通解为 $x = \pm \frac{e^{x} e^{C_3}}{2}$，其中 $C_3$ 是常数。

题目二已知微分方程 $\frac{dy}{dx} + y = 3x$，求出这个微分方程的特解。

常微分方程练习题

常微分方程练习题

常微分方程练习题§1 一阶常微分方程1．求下列微分方程的通解：（1）)(22y y y x y '+='-；（2）0)4(2=-+dy x x ydx ；（3）0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x ；（4）xy x y y x tan =-'； （5）2122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++='y x y y ； （6）0)2(=-+dy y xe dx e y y ；（7）0)cos sin 3()1cos (222=-+-dy y y x y dx y x ；（8）0)(4223=+++dy y x y ydy xdx ；（9）0)()(2=++-dy x y dx xy x ；（10）22x xe xy y -=+'；（11）x x e x y y x 122-=-'；（12）02)6(2=+'-y y x y ；（13）xy y y y y -+='ln 2； （14）0)(24=-+dy x y xydx ；（15）x y x x y y =-+'1412； （16）0]1)[ln(=--'xy y y x ；（17）0cos 232=+-'x x y y xy ；（18）21222sin 22sin 1x e y x y y x ++='+； （19）02)1(322=+'-xy y y x ；（20）y y x y x ++='22)(。

2．求下列微分方程的特解：（1）ydy x xdx y ln ln =，11==x y ；（2）x y x y y tan +='，61π==x y ； （3）022=---'x y y y x ，11==x y ；（4）0)()2(2=+++y x ydy dx y x ，10==x y ； （5）0)1(2=---dx x ydx xdy ，01==x y ；（6）x x y x y 2cos sin cos =+'，10==x y ；（7）0tan )sin (=+-ydx dy y x ，61π==x y ；（8）0)cos 1(cos sin ln =-+'y x y y x y x ，π==1x y 。

微分方程习题

微分方程习题


θ
Vs x a x 解：设所求曲线上一点M(x, y) M(x, y)
VS = {V x , V y } = {−VS cos θ, VS sin θ)
实际速效：
{−VS cos θ,V R − VS sin θ}
dx dy ⇒ = −VS cos θ, = VR − VS sin θ dt dt V R − V S sin θ dy ⇒ = dx − V S cos θ
b b
①
y ′ − 2 xy = 2 x → y
∫ p ( x ) dx [ Q ( x ) e ∫ p ( x ) dx dx + C ] =e ∫
−
= ce
x2
−1
（2）
② 由（1）分离变量后可得
dy 2 = 2 xdx → ln 1 + y = x + c 1 1+ y
⇒ y = ±e e
c1
x2
x f ′( x ) + f ( x ) = f ( x ) + 3 .
3 即 f ′( x ) = x
且
x =1 时
由
f (1) = 3
C =3
f ( x ) = ln x 3 + c
f (1) = 3 得
f ( x ) = 3 ln x 3 + 3 = 3 (ln x + 1) 故
2.设 f ( x ) = sin x −
微分方程习题课
一、解 问题1. 所有微分方程都有通解吗？
( y ′ ) 2 + 1 = 0,
( y ′) 2 + y 2 = 0
无(通)解. 只有0解（无通解）
问题2. 通解是否包含方程的所有解？ ′) 2 − 4 y = 0 (y 有通解 y = ( x + c ) 2 , 但不含解
常微分方程典型例题

常微分方程典型例题

1
第2页/共20页
dx x 1 2ln y dy y 这是以 x 为未知函数的一阶线性方程.
对应齐次方程dx x 的通解为x C ，
dy y
y
令 x C( y)，代入原方程，得 y
C( y) y 2 y ln y ,积分得C( y) C y2 ln y.
于是通积分为x C y ln y. y
x
x
6. (xye y y2 )dx x2e y dy 0
15
第16页/共20页
三.将方程从微商形式改为微分形式,或从微分形式改 为微商形式,有时可以把方程变为可解类型.
例 11
解方程dy dx
x y2 x y2 4
解 把方程改写为微分形式
(x y 2)dx (x y2 4)dy 0
4
第5页/共20页
例 3 求方程dy x y 1的通解. dx
解 令 z x y 1,则 dz 1 dy , dx dx
原方程化为 dz 1 z ,通解为z 1 Cex, dx
原方程通解为 y 2 x Cex.
5
第6页/共20页
例4 求解方程 dy 2x 3y 4 dx 4x 6 y 5
通解为z C
ln x
第13页/共20页
12
设 z C(x)代入线性方程(1),得C(x) 1 ln x
两边积分得C(x) x C 所以，上述线性方程(1)的通解为z 1 (C x)
ln x
代回原变量，得原方程的通解cos y ln x ， Cx
此外u 0，即 y n （为整数）也是原方程的解
ln
x 2
x2
xy y
2
或 dy 2 dx
1 x
y2