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离散型随机变量的数学期望

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1
2.3.1 离散型随机变量的数学期望
【使用说明及学法指导】
1．先通览课本P59—P61页，用红色笔进行勾画，并认真研读课本例题
2．限时完成导学案典型例题部分，书写规范
3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【学习目标】
1、 理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值。
2、 掌握离散型随机变量均值的性质，掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值。
3、会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题。
【自学引导】
1、离散型随机变量的均值或数学期望
设一个离散型随机变量X所有可能取值的值是nxxx21,，这些值对应的概率是

nppp,,21
，则(x)E 叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称
期望），它刻画了这个离散型随机变量的
2、二点分布、超几何分布与二项分布
若随机变量X服从参数P的二点分布，则 (x)E 。
若随机变量X服从参数nMN.,的超几何分布，则 (x)E 。
若随机变量X服从参数pn,.的二项分布，则 (x)E
注：若YX,是两个随机变量，且baXY，则(Y)E
【预习检测】
盒中装有5节同牌号的5号电池，其中混有2节废电池.现在无放回的每次取一节电池检验，
直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及期望.
2

【典型例题】
例1 求离散型随机变量的期望
某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的
概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min.
（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.

例2 两点分布与二项分布的数学期望
某运动员投篮命中率为6.0p.
（1）求投篮1次时命中次数X的数学期望.
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望。

例3 超几何分布的数学期望
袋中有4只红球，3只黑球，金从袋中随机取出4只球，设取到一只红球的2分，取得一只黑
球得1分，试求得分X的数学期望。
3

【当堂检测】
1、已知某一随机变量的分布列如下，且)(E=6.3，则a的值为（ ）

4 a 9

p 0.5 0.1 b
A.5 B.6 C.7 D.8
2、两台生产统同一零件的车床，设一天生产中次品的分布列分别为
甲
0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
乙
0 1 2 3
P 0.3 0.5 0.2 0
如果两台车床在一天的产量相同，试问哪台车床期望的次品少？

3、某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为54，第二、第三
门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（qp），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。
记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

0 1 2 3

p
6125 a d 24
125

（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；
4

（Ⅱ）求p，q的值；
（Ⅲ）求数学期望E。

4、A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每
队三名队员，A队队员是321,,AAA，B队
队员是321,,BBB，按以往多次比赛的统
计，对阵队员之间的胜负概率如图：
现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队
的0分，设A队，B队最后所得总分分别为
X，Y。
（1）求X，Y的分布列（2）求E（X），E（Y）

【我的收获】
1.知识方面
2.数学思想方法方面

3.我的感悟

对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率
11
BA和
32 3

1

22
BA和
52 5

3

33
BA和
52 5

3

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离散型随机变量的期望值和方差

离散型随机变量的期望值和方差


说明：（1）离散型随机变量的期望表征了
随机变量取值的平均值 （2）本题中D 有什么实际意义？
例4：把4个球随机地投入4个盒子中去，设
表示空盒子的个数，求E 、D
剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相 等的，总的投球方法数为
4 ，空盒子的个数 4 可能为0个，此时投球方法数为 4! 6 4 A4 4!, P( 0) 4 ；空盒子的个数 64 4 3 为1时，此时投球方法数为 C1C 2 A ， 4 4 3 36 。 P( 1) ,同样可分析 P( 2), P( 3) 64
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.
3、特别注意：在计算离散型随机变量的期 望和方差时，首先要搞清其分布特征及分 布列，然后要准确应用公式，特别是充分 利用性质解题，能避免繁琐的运算过程， 提高运算速度和准确度。
二、例题：
例1、（1）下面说法中正确的是 (
C)
A．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取 值的概率的平均值。
2 2
1－2 q
练习：已知ξ的分布列为
ξ P -1
1 2
0
1 3
1
1 6
(1) 求Eξ,
Dξ,
δξ，
(2) 若η=2ξ+3,求Eη,Dη
例3、人寿保险中（某一年龄段），在一年 的保险期内，每个被保险人需交纳保险费 a 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付3 万元，出现非意外死亡则赔付1万元，经统 计此年龄段一年内意外死亡的概率是 p1， 非意外死亡的概率为p 2，则 a 需满足什么 条件，保险公司才可能盈利？ 剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数 期望值大于0，故需求E 。 的
B．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取 值的平均水平。 C．离散型随机变量ξ的期望Eξ反映了ξ取 值的平均水平。 D．离散型随机变量ξ的方差Dξ反映了ξ取 值的概率的平均值。
离散型随机变量的期望及方差课件

离散型随机变量的期望及方差课件


02
离散型随机变量的期望
期望的定义与性质
定义
离散型随机变量的期望定义为所 有可能取值的概率加权和，即 $E(X) = sum x_i times P(X=x_i)$。
性质
期望具有线性性质，即$E(aX+b) = aE(X)+b$，其中$a$和$b$为 常数。
期望的运算性质
01
交换律
$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$
离散型随机变量具有可数性、确定性和随机性等性质，其取值范围称 为样本空间，记为Ω。
离散型随机变量的分类
03
伯努利试验
在n次独立重复的伯努利试验中，每次试 验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p 。例如，抛硬币、摸彩等。
二项分布
泊松分布
在n次独立重复的伯努利试验中，成功的 次数X服从参数为n和p的二项分布，记为 B(n,p)。例如，抛n次硬币，出现正面的 次数。
方差的定义与性质
方差的定义
方差是用来度量随机变量取值分散程 度的量，计算公式为$D(X) = E[(X E(X))^2]$，其中$E(X)$表示随机变 量$X$的期望值。
方差的基本性质
方差具有非负性，即对于任意随机变 量$X$，有$D(X) geq 0$；当随机变 量$X$取常数$c$时，方差$D(X) = 0$ 。
益。
投资决策
在保险公司的投资决策中，离散 型随机变量的期望和方差可以用 来评估不同投资组合的风险和回 报，帮助保险公司做出更明智的
投资决策。
在决策理论中的应用
风险偏好
离散型随机变量的期望和方差可以用来描述个人的风险偏好，通过比较不同决策方案的期望和方差， 个人可以做出更明智的决策。
离散型随机变量的数学期望(均值)

离散型随机变量的数学期望(均值)


1
0 2
t 2et
1
dt
1
2
t 31etdt
0
1
1
2
2
2 (3) 2 (2 1) 2 (2) 2
x1exdx [( 1) ( ), (n) (n 1)!] 0
第九讲 均值与矩
四. 二维随机变量条件下的单变量数学期
1望.已知离散变量（X ,Y）的P( xi , y j ) :
k2 e E( X ) 2ee 2
k2 (k 2)!
例9-3-3 设X ~ e(),试求E( X 2 )
解
：
由
已
知
：f
x
e
x
,
0,
x 0;，Y g( X ) X 2 其 它.
E(Y )
yf ( y)dy
g( x) f ( x)dx
＋ x2exdx
0
令t x, dx 1 dt,则E( X 2 )
第九讲 均值与矩
解
3
3
3
E(Y ) yi p( yi ) g( xi ) p( xi ) xi2 p( xi )
i 2
i 2
i 2
(2)2 0.10 (1)2 0.20 02 0.25 12 0.20 22 0.15 32 0.10
2.30
例9-3-2 已知X ~ P(),试求E( X 2 )
PX ( xi ) P( xi , y j ),由 均 值 定 义 ：
j
E( X ) xi PX ( xi )
xi P( xi , y j )
i
ji
类似地，E(Y ) y j PY ( y j )
y j P( xi , y j ).
离散型随机变量的期望值和方差

离散型随机变量的期望值和方差


(3)一次英语测验由50道选择题构成，每道
有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，
每个选对得3分，选错或不选均不得分，满
分 150 分，某学生选对每一道题的概率为
0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望与
方差。 说明：可根据离散型随机变量的期望和方 差的概念、公式及性质解答。
三、课堂小结：
1 、利用离散型随机变量的方差与期望的知 识，可以解决实际问题。利用所学知识分析 和解决实际问题的题型，越来越成为高考的 热点，应予重视。 2、常生产生活中的一些问题，我们可以转 化为数学问题，借助于函数、方程、不等 式、概率、统计等知识解决。同时，要提 高分析问题和解决问题的能力，必须关注 生产和生活。
例2、设 是一个离散型随机变量，其分布 列如下表，试求E 、D

P
－1
1 2
0
1
2
q 剖析：应先按分布列的性质，求出 q 的值 后，再计算出E 、D 。
说明：解答本题时，应防止机械地套用期望 和方差的计算公式，出现以下误解： 1 1 2 2 E ＝ (1) 0 (1 2q) 1 q q 。
说明：（1）离散型随机变量的期望表征了
随机变量取值的平均值 （2）本题中D 有什么实际意义？
例4：把4个球随机地投入4个盒子中去，设
表示空盒子的个数，求E 、D
剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相 等的，总的投球方法数为
4 ，空盒子的个数 4 可能为0个，此时投球方法数为 4! 6 4 A4 4!, P( 0) 4 ；空盒子的个数 64 4 3 为1时，此时投球方法数为 C1C 2 A ， 4 4 3 36 。 P( 1) ,同样可分析 P( 2), P( 3) 64