2016广东高考理数大二轮 专项训练【专题4】(3)推理与证明(含答案)

复数1.已知复数i z 210+=在复平面上对应点为0P ，则0P 关于直线z i z l =--22:的对称点的复数表示是…… ……………（ ）．A .i - .B iC .i -1D .i +1【答案】B 如图，直线l 即是线段OA 的垂直平分线，P 0的对称点即是(0,1)，其对应的复数为i .选B.2.若复数ii z -=1 (i 为虚数单位) ，则=z .因为1111i z i i i -==-=--，则z =3.若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为23-a ，且a S n n =∞→lim ， (n ∈*N )，则复数ia z +=1在复平面上对应的点位于 ………（ ）)(A 第一象限． )(B 第二象限． )(C 第三象限． )(D 第四象限．【答案】D 因为11lim 311()2n n a S a q a →∞===---，且3012a <-<，即3522a <<。

所以解得2a =或12a =（舍去）。

所以2a =。

所以1121255z i a i i ===-++，即对应坐标为21(,)55-，所以点在第四象限，所以选D. 4.已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．【答案】1a =-因为222()22a i a ai i i -=-+=，所以2122a ai i --=，即210a -=，且22a -=，解得1a =-。

5.已知复数z 满足(1)4i z i +=(i 为虚数单位)，则z =_________________.【答案】22i +由(1)4i z i +=得244(1)4444221(1)(1)22i i i i i i z i i i i --+=====+++-。

6.关于z 的方程20131012210iz ii i iz +-=+-（其中i 为虚数单位），则方程的解z =_______. 【答案】i 21- 由行列式得2013(1)(1)2222z z i i zi i i +--==+=+，即212i z i i +==-。

衡水万卷作业（二十二） 推理与证明 考试时间：45分钟 姓名：__________班级：__________考号：__________

题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.用数学归纳法证明等式1+3+5+…+（2n﹣1）=n2（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ） A． 1+3+5+…+（2k+1）=k2 B． 1+3+5+…+（2k+1）=（k+1）2 C． 1+3+5+…+（2k+1）=（k+2）2 D． 1+3+5+…+（2k+1）=（k+3）2

2.用反证法证明命题“设,,Rba则方程30xaxb至少有一个实根”时要做的假设是

(A)方程02baxx没有实根 (B)方程02baxx至多有一个实根 (C)方程02baxx至多有两个实根 (D)方程02baxx恰好有两个实根 3.下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由圆的性质类比出球的有关性质； （2）由直角三角形.等腰三角形.等边三角形的内角和是1800，归纳出所有三角形的内角和都是1800； （3）张军某次考试成绩是100分，由些推出全班同学的成绩都是100分；

（4）三角形内角和是1800，四边形内角和是3600，五边形内角和是5400，由此得凸多边形内角和是0(1)180n. A.（1）（2） B.（1）（3） C.（1）（2）（4） D.（2）（4） 4.已知“整数对”按如下规律排成一列：1,1，1,2，2,1，1,3，2,2，3,1，1,4，2,3，3,2，4,1，……，则第60个数对是（ ）

(A) 7,5 (B) 5,7 (C) 2,10 (D) 10,1

5.设()fx是定义在正整数集上的函数，且()fx满足：“当2()fkk成立时，总可推出2(1)(1)fkk成立”。那么，下列命题总成立的是（ ） A.若(1)1f成立，则(10)100f成立 B.若(2)4f成立，则(1)1f成立

专题九推理与证明(见学生用书P59)(见学生用书P59)一、推理1．合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物全部对象都是具有这些特征的推理．分类：完全归纳和不完全归纳．特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理定义：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理模式：三段论(1)大前提——已知的一般原理．(2)小前提——所研究的特殊情况．(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理二、证明1．直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示条件，Q表示要证结论)(2)分析法定义：要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．框图表示：P⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个显然成立的条件2．间接证明反证法：假设原命题结论的反面成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．3．数学归纳法(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．(见学生用书P60)考点一合情推理考点精析1．由某类事物的部分对象具有的某些性质，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个体到一般的推理．2．由两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．例 1－1(2014·上海模拟)有下列各式：1＋12＋13>1，1＋12＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：__________________________________________________.考点：归纳推理．分析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n 个式子的项数，不等式右侧式子分别写成22，32，42，故猜想第n 个式子，由此可写出一般的式子．解析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n 个式子中应有2n ＋1－1项，不等式右侧分别写成22，32，42，故猜想第n 个式子应为n ＋12，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)． 答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *) 点评：本题考查归纳推理，考查观察、分析、解决问题的能力，关键是猜想第n 个式子与n 的关系．规律总结尽管合情推理得到的结果不一定正确，但它是科学发现和创造的基础，因而是近几年高考重点考查对象．高考对合情推理的考查，题型较为灵活，以填空和选择题为主，难度中等，区分度较大，因而是我们二轮复习中需要重点突破的地方，其中归纳推理问题是热点问题．变式训练【1－1】 (2014·广州模拟)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1时，你能得到的结论为______________． 解析：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，由对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，得a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .答案：a 1＋a 2＋…＋a n ≤n【1－2】 (2014·师大附中模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t ＝6at (a ，t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a ＋t ＝________．解析：观察下列等式：2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，照此规律，第5个等式中：a ＝6，t ＝a 2－1＝35，a ＋t ＝41.答案：41考点二反证法考点精析1．反证法证明数学命题的一般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立．(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾．(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论的成立．运用反证法的关键是导出矛盾．2．宜用反证法证明的题型：(1)一些基本命题、基本定理．(2)易导出与已知矛盾的命题．(3)“否定性”命题．(4)“唯一性”命题．(5)“必然性”命题．(6)“至多”、“至少”类命题．(7)涉及“无限”结论的命题等等．例2－1(2013·陕西卷)设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．考点：等比数列的概念、通项公式及反证法．分析：利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式，利用反证法证明要证的结论．解析：(1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋…＋a1q n，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q， ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．点评：本题考查了等比数列的概念，通项公式与反证法，考查了利用反证法证明有关命题的能力，一般对于唯一命题，否定性命题，存在性问题或直接证明比较困难等命题的证明，都可考虑用反证法证明．规律总结反证法可应用于数学证明的各个方面，只要是直接证明有困难的，且有可能从结论的否定推出矛盾的都可以．尽管在高考中较少要求用反证法证明，但有时命题者为了考查反证法掌握的程度，有意设置成宜用反证法证明的问题．因此，我们必须熟练掌握这一方法．变式训练【2－1】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(q ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，则(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．考点三 数学归纳法考点精析1．当n 取第一个值n 0(例如n ＝1)时，证明命题成立．2．假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥n 0)时命题成立，并证明当n ＝k ＋1时，命题也成立，于是对一切n ∈N *，n ≥n 0，命题都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．运用数学归纳法证明命题要分为两步．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，这两步是缺一不可的．例3－1(2014·广州模拟)已知数列11×4，14×7，17×10，…，1（3n－2）（3n＋1），…，计算S1，S2，S3，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明．考点：数学归纳法．分析：由题意得S1＝a1，由S2＝a1＋a2求得S2，同理求得S3，S4.猜想S n＝n3n＋1，n∈N＋，用数学归纳法证明．检验n＝1时，猜想成立；假设当n＝k时，S k＝k3k＋1成立，则当n＝k＋1时，由条件可得S k＋1＝k＋13（k＋1）＋1也成立，从而猜想成立．解析：S1＝11×4＝14，S2＝11×4＋14×7＝27，S3＝11×4＋14×7＋17×10＝310，猜想：S n＝n3n＋1.证明：(1)当n＝1时，由上面计算知猜想正确．(2)假设n＝k时等式成立，即S k ＝k 3k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝k 3k ＋1＋1（3k ＋1）（3k ＋4）＝k （3k ＋4）＋1（3k ＋1）（3k ＋4）＝（k ＋1）（3k ＋1）（3k ＋1）（3k ＋4）＝k ＋13（k ＋1）＋1， ∴当n ＝k ＋1时结论成立，由(1)、(2)知，等式对任意正整数都成立．点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用数学归纳法证明数学命题时的基本步骤：(1)检验n ＝1时成立，(2)假设n ＝k 时成立，由n ＝k 时成立推导n ＝k ＋1时成立，要注意由归纳假设到检验n ＝k ＋1的递推．规律总结数学归纳法是数学证明的一个重要方法，而且在《课程标准》和《考试大纲》都明确地提出了要求．因而它也是高考重点考查的对象．在高考中，除偶尔明确了要用数学归纳法证明外，一般没有明确要求，这就需要考生灵活选用它来进行证明，因此我们必须熟练掌握这一方法．变式训练【3－1】 (2014·长沙市一中模拟)已知如下等式：12＝1×2×36，12＋22＝2×3×56，12＋22＋32＝3×4×76，…，当n ∈N *时，试猜想12＋22＋32＋…＋n 2的值，并用数学归纳法给予证明．解析：由已知，猜想12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6，下面用数学归纳法给予证明：(1)当n ＝1时，由已知得原式成立；(2)假设当n ＝k 时，原式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＝k （k ＋1）（2k ＋1）6， 那么，当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋(k ＋1)2＝k （k ＋1）（2k ＋1）6＋(k ＋1)2 ＝（k ＋1）（k ＋2）（2k ＋3）6＝（k ＋1）[（k ＋1）＋1][2（k ＋1）＋1]6. 故n ＝k ＋1时，原式也成立．由(1)(2)知，12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6成立.(见学生用书P 62)例1已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．考场错解：假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，(*)即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．专家把脉：上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，“方程没有两个相异实根时Δ≤0”．对症下药：假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．专家会诊：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．例 2已知数列{a n }中，a 1＝3，前n 项和S n 满足条件S n ＝6－2a n ＋1.计算a 2、a 3、a 4，然后猜想a n 的表达式，并证明你的结论．考场错解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6－2a n ＋1－(6－2a n )＝2a n －2a n ＋1，即a n ＋1＝12a n .因为a 1＝3，所以a 2＝12a 1＝32，a 3＝12a 2＝34，a 4＝12a 3＝38，由此猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)． ①当n ＝1时，a 1＝321－1＝3，结论成立； ②假设当n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k ＝32k －1成立， 则当n ＝k ＋1时，因为a k ＋1＝12a k ，所以a k ＋1a k＝12， 又a 1＝3，所以{a n }是首项为3公比为12的等比数列．由此得a k ＋1＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－1＝32k ＋1－1， 这表明，当n ＝k ＋1时结论也成立．由①、②可知，猜想对任意n ∈N *都成立．专家把脉：①应由a 1＝S 1＝6－2a 2，求得a 2＝32，再由a n ＋1＝ 12a n (n ≥2)，求得a 3＝34，a 4＝38，进而由此猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)． ②用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设a k ＝32k －1，而是根据等比数列的通项公式求得a k ＋1＝32k ＋1－1.这种证明不属于数学归纳法． 对症下药：由a 1＝S 1＝6－2a 2，a 1＝3，得a 2＝32.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6－2a n ＋1－(6－2a n )＝2a n －2a n ＋1，即a n ＋1＝12a n . 将a 2＝32代入，得a 3＝12a 2＝34，a 4＝12a 3＝38，由此猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明猜想成立．①当n ＝1时，a 1＝3a1－1＝3，猜想成立； ②假设当n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k ＝32k －1成立，则当n ＝k ＋1时，因为a k ＋1＝12a k ，所以a k ＋1＝12·32k －1＝32k ＝32k ＋1－1，这表明，当n ＝k ＋1时结论也成立．由①、②可知，猜想对n ∈N *都成立．专家会诊：1.一般与自然数相关的命题、或有关代数恒等式的证明、三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法．2．运用数学归纳法证明时，第二步是关键，必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法的证明.(见学生用书P 165)一、选择题1．(2014·广州质检)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′ ＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，从而g (x )是奇函数．∴g (－x )＝－g (x )．答案：D2．(2014·黄冈模拟)面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1，2，3，4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离为h i (i ＝1，2，3，4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k .根据以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1，2，3，4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( )A.V kB.3V kC.4V kD.8V 5解析：根据三棱锥的体积公式V ＝13Sh ，得：13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ，即kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4＝3V ，∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k ，即i ＝14(iH i )＝3V k . 答案：B3．(2014·长沙模拟)已知函数y ＝f(x)的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2，则称y ＝f(x)为D 上的凹函数．由此可得下列函数中为凹函数的是( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3解析：结合函数图象，直观观测C 满足．事实上f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222， f （x 1）＋f （x 2）2＝x 21＋x 222.∵2x 1x 2＜x 21＋x 22(x 1≠x 2)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＝x 21＋x 22＋2x 1x 24＜x 21＋x 222， 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2， y ＝f(x)＝x 2在D 上为凹函数．答案：C4．(2015·武汉质检)给出下列三个类比结论：①(ab)n ＝a n b n 与(a ＋b)n 类比，则有(a ＋b)n ＝a n ＋b n ；②log a (xy)＝log a x ＋log a y 与sin (α＋β)类比，则有sin (α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①不妨取n ＝2，则(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2≠a 2＋b 2，故①类比结论错误；②∵ sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β≠sin αsin β，故②类比结论错误；③根据向量的运算法则知：(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2，故③正确．答案：B5．(2014·长沙市一中模拟)用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为()A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0D．a，b，c，d中至多有一个负数解析：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d 全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”．答案：C6．(2015·福建质检)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，依此类推，则标签为2 0132的格点的坐标为()A．(1 006，1 005) B．(1 007，1 006)C．(1 008，1 007) D．(1 009，1 008)解析：因为点(1，0)处标1＝12，点(2，1)处标9＝32，点(3，2)处标25＝52，点(4，3)处标49＝72，依此类推得点(n＋1，n)处标(2n＋1)2，故点(1 007，1 006)处标2 0132.故选B.答案：B7．(2014·北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：将(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入p ＝at 2＋bt ＋c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2，对称轴为t ＝－ 1.52×（－0.2）＝3.75. 答案：B8．(2015·江西模拟)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[π]＝3.S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，…， 依此规律，那么S 10＝( )A ．210B ．230C ．220D ．240解析：因为S 1＝3＝2×32，S 2＝10＝4×52，S 3＝21＝6×72，所以S 10＝20×212＝210，故选A.答案：A9．(2015·西安模拟)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( )A ．(7，5)B ．(5，7)C ．(2，10)D ．(10，1)解析：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”．这样前n 组一共有n （n ＋1）2个“整数对”，注意到10×（10＋1）2＜60＜11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各数对依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)，选B.答案：B二、填空题10．(2015·陕西卷)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为________．解析：观察可知，等式每一行的左边分数的个数是行数的2倍且正负交替出现，分母为自然数；等式的右边分数的个数等于行数，且分母的第一个数会比行数多1.这样就可归纳出第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n .答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n 11．(2015·山东卷)观察下列各式：C 01＝40；C 03＋C 13＝41；C 05＋C 15＋C 25＝42；C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n∈N*时，＝______．C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1＝4n－1.解析：由归纳推理可得，C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1答案：4n－112．(2014·雅礼模拟)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，…，若按此规律继续下去，则(1)a5＝________；(2)若a n＝117，则n＝________．解析：(1)观察得知：a1＝1＝3×1－2，a2＝5＝a1＋3×2－2，a3＝12＝a2＋3×3－2，a4＝22＝a3＋3×4－2，…a n＝a n－1＋3n－2，(n≥2，n∈N*)．叠加得到：a n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )－2n ＝3n 2－n 2(n ≥2，n ∈N *)．令n ＝5，则a 5＝a 4＋3×5－2＝22＋15－2＝35.(2)令a n ＝117，则3n 2－n 2＝117，∴n ＝9.答案：(1)35 (2)9三、解答题13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32·sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.14．(2014·广州模拟)出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼－闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如(x，y)的有序实数对，直线还是满足ax＋by＋c＝0的所有(x，y)组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)定义它们之间的一种“距离”：|AB|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，请解决以下问题：(1)求点A(1，3)、B(6，9)的“距离”|AB|；(2)求线段x＋y＝2(x≥0，y≥0)上一点M(x，y)到原点O(0，0)的“距离”；(3)定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，点A(1，3)、B(6，9)，C(1，9)，求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象．(所给图形小正方形的单位是1)解析：(1)根据出租车几何学中“距离”的定义，得 |AB |＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|＝|6－1|＋|9－3|＝5＋6＝11.(2)点M (x ，y )到原点的距离为：|MO |＝|x －0|＋|y －0|＝|x |＋|y |.∵线段x ＋y ＝2上的点M (x ，y )满足x ≥0，y ≥0， ∴|x |＝x ，|y |＝y ，∴|MO |＝|x |＋|y |＝x ＋y ＝2.(3)设“圆心”坐标为N (m ，n )，则由|NA |＝|NC |，得|m －1|＋|n －3|＝|m －1|＋|n －9|，所以点N 在y ＝6上．又因为|NB |＝|NC |，即|m －1|＋|n －9|＝|m －6|＋|n －9|，所以点N 在x ＝72上．∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，6， R ＝|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72－1＋|6－3|＝112. “圆N ”的图象如图所示．15．(2015·长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝2a n ＋λa n(a ，λ∈R )．(1)若λ＝－2，数列{a n }单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若a ＝2，试写出a n ≥2对任意的n ∈N *成立的充要条件，并证明你的结论．解析：(1)当λ＝－2时，a n ＋1＝2a n －2a n， 由题意知a n ＋1＞a n ，所以a n ＋1－a n ＝a n －2a n＞0， 解得a n ＞2或－2＜a n ＜0，所以a 1＞2或－2＜a 1＜0， 所以实数a 的取值范围为(－2，0)∪(2，＋∞)．(2)a n ≥2对任意的n ∈N *成立的充要条件为λ≥－4.证明如下：(必要性)假设a n ＋1＝2a n ＋λa n ≥2，得λ≥－2a 2n ＋2a n ，令f (n )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －122＋12， 由a n ≥2，可得f (n )max ＝－4，即λ≥－4.(充分性)用数学归纳法证明：显然当n ＝1时，a 1≥2成立． 假设当n ＝k (k ≥2)时，a k ≥2成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2a k ＋λa k .令函数f (x )＝2x ＋λx ，x ∈[2，＋∞)．①当－4≤λ≤0时，由f ′(x )＝2－λx 2＞0，知f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，所以a k ＋1＝2a k ＋λa k ≥4＋λ2≥2.②当λ＞0时，对x ∈[2，＋∞)总有f (x )＝2x ＋λx ＞4＞2，所以a k ＋1＝2a k ＋λa k ＞2.所以当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥2成立．综上可知，当λ≥－4时，对任意的n ∈N *，a n ≥2成立． 故a n ≥2对任意的n ∈N *成立的充要条件是λ≥－4.。

绝密 ★ 启用前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试题卷共5页，24题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则=B A（A ）)23,3(--（B ）)23,3(-（C ）)23,1(（D ）)3,23(（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97（4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 （5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的 表面积是（A ）π17 （B ）π18 （C ）π20 （D ）π28 （7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（A（B（C（D（8）若1>>b a ，10<<c ，则（A ）ccb a <（B ）cc ba ab < （C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2=（B ）x y 3=（C ）x y 4=（D ）x y 5=（10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ， α平面ABCDm =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23 （B ）22 （C ）33 （D ）31（12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（A ）11（B ）9（C ）7（D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。