第2课时 矩形的判定

19.3.1矩形第2课时矩形的判定教学目标1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)教学过程一、情境导入小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！二、合作探究探究点一：矩形的判定【类型一】对角线相等的平行四边形是矩形如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AM＝BP＝CN＝DQ，∴OM＝OP＝ON＝OQ.∴四边形MPNQ是平行四边形．又∵OM＋ON＝OQ＋OP，∴MN＝PQ.∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．【类型二】有三个角是直角的四边形是矩形如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD 分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线．求证：四边形ADBC是矩形．解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．证明：∵GE ∥HF ，∴∠GAB ＋∠ABH ＝180°.∵AD 、BD 分别是∠GAB 、∠ABH 的平分线，∴∠1＝12∠GAB ，∠4＝12∠ABH ， ∴∠1＋∠4＝12(∠GAB ＋∠ABH )＝12×180°＝90°， ∴∠ADB ＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.同理可得∠ACB ＝90°.又∵∠ABH ＋∠FBA ＝180°，∠4＝12∠ABH ，∠2＝12∠FBA ， ∴∠2＋∠4＝12(∠ABH ＋∠FBA )＝12×180°＝90°，即∠DBC ＝90°. ∴四边形ADBC 是矩形．方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．【类型三】 有一个角是直角的平行四边形是矩形如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF ＝BD .连接BF .(1)BD 与DC 有什么数量关系？请说明理由；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE ＝∠DCE ，然后利用“AAS ”证明△AEF 和△DEC 全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF ＝CD ，再利用等量代换即可得BD ＝CD ；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD 是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB ＝90°.由等腰三角形“三线合一”的性质可知△ABC 满足的条件必须是AB ＝AC .解：(1)BD ＝CD .理由如下：∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE .∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE .在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS )．∴AF ＝CD .∵AF＝BD，∴BD＝DC；(2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有“一个角是直角的平行四边形是矩形”是解本题的关键．探究点二：矩形的性质和判定的综合运用如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．解析：(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分；(2)根据题设求出矩形的边长CD 和BC，然后根据矩形面积公式求得．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO －AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC.∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°.又∵DG ＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD.∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm.∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝DB2－DC2＝43cm，∴S矩形ABCD＝4×43＝163(cm2)．方法总结：首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．三、板书设计教学反思通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.。

第 1 页第2课时矩形的判定知识要点分类练夯实基础知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1．如图18－2－16，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是() A．∠A ＋∠B＝180°B．∠B＋∠C＝180°C．∠A＝∠B D．∠B＝∠D图18－2－16图18－2－172．如图18－2－17是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线的长度也在发生改变．当∠α是______度时，两条对角线的长度相等．3．如图18－2－18所示，E是?ABCD的边AB的中点，且EC＝ED.求证：四边形ABCD 是矩形．图18－2－18知识点2有三个角是直角的四边形是矩形4．如图18－2－19，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是________．．(写出一个条件即可)．图18－2－195．如图18－2－20，?ABCD的四个内角的平分线分别交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．图18－2－20知识点3对角线相等的平行四边形是矩形6．?ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出?ABCD是矩形，那么这个条件可以是()A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD7．用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等，然后测量两条对角线是否相等，这样做的依据是__________________________________________．．8．如图18－2－21，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．图18－2－21规律方法综合练提升能力9．下列关于矩形的说法中正确的是() A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分10．[2019·上海]已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC11．如图18－2－22，?ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________(只添一个即可)，使?ABCD是矩形．图18－2－2212．[2019·宁波模拟]如图18－2－23，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE.求证：(1)△ABF≌△DCE；第 2 页(2)四边形ABCD是矩形．图18－2－2313．[2019·通辽]如图18－2－24，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连接CF.(1)求证：△AEF≌△DEB；(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．图18－2－24拓广探究创新练冲刺满分14．如图18－2－25，在△ABC中，点O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图18－2－25．第 3 页教师详解详析1．C2．90[解析] ∵平行四边形活动框架的两条对角线的长度相等，∴该平行四边形是矩形．∵矩形的每个内角都等于90°，∴∠α＝90°.3．[解析] 利用平行四边形的性质和已知条件证明△AED与△BEC全等，从而得到∠A＝∠B＝90°.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵E是边AB的中点，∴AE＝BE. 又∵EC＝ED，∴△AED≌△BEC，∴∠A＝∠B.又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形．4．∠A＝90°或∠B＝90°或AB∥CD(答案不唯一) 5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°.又∵?ABCD的四个内角的平分线分别交于点E，F，G，H，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，∠GBC＋∠GCB＝90°，∴∠GFE＝∠AFB＝90°，∠G＝90°，同理可证∠GHE＝∠DHC＝90°，∴四边形EFGH是矩形．6．B7．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形[解析] 先测量两组对边是否分别相等，若相等，则四边形为平行四边形，其根据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．然后测量两条对角线是否相等，若对角线相等，则该平行四边形是矩形，其根据是对角线相等的平行四边形是矩形．8．证明：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA＝OB＝OC＝OD.又∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是平行四边形，EG＝HF，∴?EFGH是矩形．9．B10．B[解析] ∵∠A＝∠B，AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，故A选项能判定平行四边形ABCD是矩形；∵∠A＝∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有这一性质，故B 选项不能判定平行四边形ABCD是矩形；∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项能判定平行四边形ABCD是矩形；∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，故D选项能判定平行四边形ABCD是矩形．11．答案不唯一，如∠ABC＝90°或AC＝BD等第 4 页12．证明：(1)∵BE＝CF，BF＝BE＋EF，CE＝CF＋EF，∴BF＝CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.在△ABF和△DCE中，???AB＝DC，BF＝CE，AF＝DE，∴△ABF≌△DCE(SSS)．(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形．13．解：(1)证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE. 又∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，∴△AEF≌△DEB.(2)四边形ADCF是矩形．证明：∵AF∥CD，且AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵△AEF≌△DEB，∴AF＝BD，∴BD＝CD，即AD是△ABC的中线．∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．14．解：(1)证明：∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO，∴OF＝OC. 同理可证OC＝OE，∴OE＝OF.(2)由(1)知∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC，∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF＝CE2＋CF2＝122＋52＝13，∴OC＝12EF＝132.(3)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：由(1)知OE＝OF，当点O运动到AC的中点时，有OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．。

问题（1）：随着 的变化，两条对角线的长
度将发生怎样的变化？
问题（2）：当两条对角线的长度相等时， 平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎 样的猜想？
猜想：
对角线相等的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知： 四边形ABCD是平行四边形，AC，
DB是它的两条对角线，AC=BD。
矩形的性质与判定
第二课时
知识回顾
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
平行四边形
一个角是直角
矩形
矩 边 矩形的对边平行且相等。
形
的
角
矩形的四个角都是直角。
性 质
对角线 矩形的两条对角线相等
且互相平分。
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根 橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不 相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变 化？
∠A已=∠知B：=如∠C图=，90在°四。边形ABCDA，
D
求证：四边形ABCD是矩形。 B
C
证明：∵∠A=∠B=∠C=90 °，
∴∠A+∠B=180 °，∠B+∠C=180 °。
∴AD∥BC，AB∥CD。
∴四边形ABCD是平行四边形。 ∴四边形ABCD是矩形。
矩形判定方法二：
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
A
D
B
ABCD AC = BD
C
四边形ABCD是矩形。
想一想 我们知道，矩形的四个角都是直角，反 过来，一个四边形至少有几个角是直角时， 这个四边形就是矩形吗？能证明你的结论 吗？与同伴交流。
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 你能证明上述结论吗？

第2课时矩形的判定教学目标：【知识与技能】理解并掌握矩形的判定方法，能用判定定理判断一个四边形是否是矩形. 【过程与方法】在观察、探究的过程中，逐步感受矩形的判定定理，增强学生分析问题、解决问题的能力.【情感态度】进一步锻炼学生的数学应用能力，增强合作交流，探究创新意识.【教学重点】矩形的判定定理.【教学难点】对角线相等的平行四边形是矩形及对角线相等且互相平分的四边形是矩形的理解.教学过程：一、情境导入，初步认识问题在前面，我们己探讨出判别一个四边形是平行四边形还是矩形？也可以说，用什么方法来判别一个四边形是矩形呢？想想看，与同伴交流.二、思考探究，获取新知由定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形.这是判别一个平行四边形是矩形的最基本的方法.思考我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？如果是，请证明；如果不是，请举一反例。

【归纳结论】对角线相等的平行四边形是矩形.也可以说：对角线相等且互相平分的四边形是矩形.想一想工人师傅在做门框或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它的对角线是否相等，以确保图形是矩形.请你说说其中的道理，不妨试试看.猜想:有三个角是直角的四边形是矩形求证：有三个角是直角的四边形是矩形.【教学说明】这一结论的证明不难，可由学生自己完成.教师应关注学生是否能规范地画图，写已知，求证，并给予证明.【归纳结论】有三个角是直角的四边形是矩形.三、典例精析，掌握新知例1 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC=8cm，若AOB是等边三角形，求此平行四边形的面积.解：在 ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∴OA=OC，OB=OD.又∵△AOB 是等边三角形，∴OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，∴ ABCD是矩形.又∵AC=8cm,∴OA=OB=AB=4cm.在Rt△ABC中,AC=8cm,AB=4cm，∴∴S ABCD=AB×BC=4×2.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习你有哪些收获？与同伴交流.【教学说明】学生在反思学习的过程中，巩固矩形的判定定理的理解，系统地掌握本节知识.课后作业：1.布置作业：从教材“习题18.2”中1、2、4题。