绝密★启用前2020届江苏省镇江市高三上学期第一次调研考试（期末）数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、填空题1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}1,1,2B =-，则AB =______.答案：{}1,2先求出集合A ，然后根据交集的计算，即可求出A B .解：∵集合{}220A x x x =-≤ ∴集合{}02A x x =≤≤ ∵集合{}1,1,2B =- ∴{}1,2AB =故答案为：{}1,2.点评：本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，考查了交集的运算，属于基础题．2．设复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z =______.根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数的模长公式即可求出结果． 解：∵21iz =+ ∴2112i iiz i =+=-⋅∴z ==点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 3．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是______.答案：25模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出013579S =+++++的值，从而得解． 解：模拟执行伪代码，可得：01357925S =+++++=． 故答案为：25．点评：本题考查了伪代码的应用问题，解答本题的关键是应根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是基础题目．4．顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物线方程是______.答案：216y x =求得双曲线的右焦点，可设抛物线的方程为2,0y mx m =>，由抛物线的焦点坐标，可得m ，即可得到所求方程．解：由题意得，双曲线221124x y -=的右焦点为()4,0.抛物线方程设为2,0y mx m =>.∵抛物线的顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点∴44m=，即16m = ∴抛物线方程为216y x = 故答案为：216y x =.点评：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：20x my m -+-=，2l ：()210mx m y +--=，若直线12l l //，则m =______. 答案：2-根据题意，由直线平行的条件可得()220m m -+=，可得m 的值，验证直线是否重合即可得答案．解：根据题意，直线1l ：20x my m -+-=，2l ：()210mx m y +--=. 若直线12l l //，必有()220m m -+=，解得：1m =或2-.当1m =时，直线1l ：10x y --=，2l ：10x y --=，两直线重合，不符合题意； 当2m =-时，直线1l ：240x y +-=，2l ：2410x y ---=，两直线平行，符合题意； ∴2m =-. 故答案为：2-.点评：已知直线1l ，2l 的方程分别是：1l ：1110A x B y C ++=（1A ，1B 不同时为0），2l ：2220A x B y C ++=（2A ，2B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①2112210A A l B B l +⇔=⊥； ②121221//0l l A B A B ⇔-=，12210AC A C -≠.6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是______. 答案：25基本事件总数2510n C ==，利用列举法求出剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出剩余三个数能构成等差数列的概率．解：从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数为2510n C ==.∴剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（3，4，5），共4个.∴剩余三个数能构成等差数列的概率是42105p == 故答案为：25. 点评：本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y =+的最大值为______.答案：13画出约束条件对应的可行域，再求出对应的交点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解．解：实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，对应的可行域如下图所示：由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得3x =，2y =时，目标函数经过()3,2A 时，目标函数取得最大值，即3213z x y =+=.∴32z x y =+的最大值为13. 故答案为：13.点评：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 8．将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 答案：3由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再根据()g x 的解析式，求得4g π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 解：将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，可得cos 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()2cos 23y g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象.∴2cos 22sin 34433g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：3-.点评：本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.9．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1.点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点，则三棱锥B ECF -的体积为______. 答案：16由题意画出图形，再由等积法求三棱锥B ECF -的体积． 解：根据题意画出图形，如下图所示：∵正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点. ∴11111111132326B ECF F BCE V V BC AB B B --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 故答案为：16. 点评：本题考查多面体体积的求法，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法，等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q =______.答案：2或12由等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，解方程组可得所求公比q 的值． 解：∵等比数列{}n a 的前三项和342S =，1a ，23a +，3a 成等差数列∴()211121114223a a q a q a q a a q ⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩，解得2q 或12故答案为：2或12. 点评：本题考查等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．记集合[],A a b =，当,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则b a -的最小值是______. 答案：3利用倍角公式、和差公式化简()fθ，利用三角函数的单调性可得B ，根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，可得B A ⊆，即可得出结论．解：根据题意可得：()2cos 2cos 2sin 216f πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.∵,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ ∴()[]0,3fθ∈，即[]0,3B =“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆ ∴03a b ≤⎧⎨≥⎩∴303b a -≥-=，即()min 3b a -=. 故答案为：3.点评：本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．己知函数()331,0,22,0,xx x x f x x x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的取值范围是______.答案：11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦由题意可得()f x 为偶函数，求得()f x 在0x ≥上连续，且为减函数，可得1x x m -≥+，即有即()22210m x m ++-≤在[],1x m m ∈+恒成立，由一次函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围．解：∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数且在[)0,+∞单调递减 ∵()()1f x f x m -≤+在[],1x m m ∈+恒成立∴1x x m -≥+在[],1x m m ∈+恒成立，则222212x x x mx m -+≥++在[],1x m m ∈+恒成立 ∴()22210m x m ++-≤在[],1x m m ∈+恒成立∴()()()22221022110m m m m m m ⎧++-≤⎪⎨+++-≤⎪⎩，解得113m -≤≤-. 故答案为：11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.点评：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，解答本题的关键是判断出函数()f x 的奇偶性与单调性，属于中档题．13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定()00,B x y ，使得PA PB =恒成立，则00x y -=______.答案：2设(),P x y ，根据圆C 及切点A ，结合PA PB =，可推出221PO PB -=，再根据两点之间距离公式化简可得220000012x x y y x y y ++=-+，结合点P 在2y x =-上，可列出方程组，即可解出0y ，进而可得答案. 解：设(),P x y ∵PA PB =∴22PA PB = ∴221PO PB -=∴()()2222001x y x x y y +-=-+-，即220000012x x y y x y y ++=-+ ∵P 在2y x =-上任取∴0022001122x y x y y ⎧-=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，解得022y -±= ∵01x y -= ∴00x y =-∴00022x y y -=-=故答案为：2±点评：本题考查直线与圆的关系，涉及了两点之间的距离公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14．在平面直角坐标系xOy 中已知三个点()2,1A ，()1,2B -，()3,1C -，点(),P x y 满足()()1OP OA OP OB ⋅⨯⋅=-，则2OP OC OP⋅的最大值为______.依题意可得()()221x y x y +-=-，通过换元令22x y mx y n +=⎧⎨-=⎩，将所求式子化简，再利用基本不等式得解．解：∵点(),P x y 满足()()1OP OA OP OB ⋅⨯⋅=- ∴()()221x y x y +-=-令22x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，解得2525m n x m n y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴1mn =- ∴2222222344442525OP OC x y m n m mn n m mn n x y OP⋅-+==++-+++()()()()()222255522m n m n m n m n m n mn m n +++===++-++要求出2OP OC OP⋅的最大值，不妨设0m n +>，则25522422OP OCOPm n m n⋅=≤=+++，当且仅当2m n m n +=+，即2m n +=，即262262m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或262262m n ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，取“=”.故答案为：524. 点评：本题考查平面向量与基本不等式的综合运用，考查换元思想及化简运算能力，属于中档题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 二、解答题15．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 是AP 的中点，AB BD ⊥，PB PD ⊥，平面PBD ⊥底面ABCD .（1）求证：//PC 平面BDE ； （2）求证：PD ⊥平面PAB .答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结EO ，则点O 为AC 中点，由点E 为AP 的中点，得//EO PC ，由此能证明//PC 平面BDE ；（2）根据题设条件推导出PB ⊥平面ABCD ，PB AB ⊥，AB BD ⊥，从而AB ⊥平面PBD ，进而可得AB PD ⊥，结合PD PB ⊥，由此能证明PD ⊥平面PAB . 解：（1）证明：连接AC 交BD 于点O ，并连接EO∵平行四边形ABCD ，且AC 交BD 于点O ∴点O 为AC 中点在PAC ∆中，点E 为AP 的中点 ∴//EO PC∵EO ⊂平面BDE ，PC ⊄平面BDE ∴//PC 平面BDE（2）∵平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面ABCD BD =，PB BD ⊥，PB ⊂平面PBD∴PB ⊥平面ABCD ∵AB平面ABCD∴PB AB ⊥ 又∵AB BD ⊥，BD PB B =，PB ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD∴AB ⊥平面PBD ∵PD ⊂平面PBD ∴AB PD ⊥又∵PD PB ⊥，PB AB B ⋂=，PB ⊂平面PAB ，AB 平面PAB∴PD ⊥平面PAB .点评：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，14AB =，6BD =，66BA BD ⋅=.（1）若C B >，且()13cos 14C B -=，求角C ； （2）若ACD ∆的面积为S ，且12S CA CD =⋅，求AC 的长度.答案：（1）3C π=；（2）6AC =（1）利用平面向量数量积的运算可求cos B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，由已知利用两角和的余弦函数公式可求cos C 的值，结合C 的范围可求C 的值；（2）由已知利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求tan 1C =，可得4Cπ，在ABC ∆中，由正弦定理可得AC 的值．解：（1）∵14AB =，6BD =，66BA BD ⋅= ∴cos 146cos 66BA BD AB BD B B ⋅=⋅=⨯= ∴11cos 14B =∵在ABC ∆中，C B >，且B C ABC π++∠= ∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴221153sin 1cos 11414B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∵在ABC 中，C B >，且B C ABC π++∠=， ∴()0,C B π-∈ ∵()13cos 14C B -=且()0,C B π-∈ ∴()()2sin 1cos C B C B -=--2133311414⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴()cos cos C C B B =-+⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin C B B C B B =---131133531141414142=⨯-= 在ABC ∆中，∵()0,C π∈ ∴3C π=.（2）∵ACD ∆的面积12S CA CD =⋅ ∴11sin cos 22CD CA C AC CD C ⋅⋅=⋅⋅ ∴sin cos C C =∵在ACD ∆中，()0,C π∈ ∴sin 0C ≠，则cos 0C ≠ ∴sin tan 1cos CC C==，则4C π在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC ABB C= 又∵53sin B =，14AB =，2sin sin 4C π== ∴532=，则56AC =.点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长为4，左准线l 的方程为4x =-.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线1l 过椭圆E 的左焦点1F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点. ①若247AB =，求直线1l 的方程； ②过A 作左准线l 的垂线，垂足为1A ，点5,02G ⎛⎫-⎪⎝⎭，求证：1A ，B ，G 三点共线.答案：（1）2214x y y+=（2）①1y x =+或1y x =--，②证明见解析 （1）根据长轴的值和准线的方程，可求得a ，c 的值，结合222b a c =-，从而可求出椭圆的标准方程；（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，作11AA l ⊥，根据椭圆的第二定义可得11AF e AA =，结合211a AA x c=+，可推出11AF a ex =+，从而推出12BF a ex =+，根据247AB =，可得1287x x +=-，分别对直线1l 的斜率存在与不存在进行讨论，结合韦达定理即可求得直线1l 的方程；②当直线1l 的斜率不存在时，分别求出1A G k ，1A B k ，即可得证；当直线1l 的斜率存在时，分别求出1A G k ，BG k ，结合韦达定理即可求证.解：（1）由题，24a =，24a c =，∴2a =，1c =∴2223b a c =-=，椭圆方程2214x y y+=. （2）①设()11,A x y ，()22,B x y作11AA l ⊥，由第二定义，11AF e AA =，而211a AA x c=+ ∴21101c a AF eAA x a ex a c ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，同理12BF a ex =+∴()11122427AB AF BF a e x x =+=++=，即1287x x +=-，②证明见解析 设AB 的斜率为k1°若k 不存在，即122x x +=-（舍） 2°若k 存在，AB ：()1y k x =+联立()3234121x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y ，()22223484120kxk x k +++-=（），>0∆恒成立∴212288347k x x k +=-=-+，即1k =±，∴AB ：1y x =+或1y x =-- ②证明1°若AB 的斜率不存在，31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，134,2A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11A G k =-，11A B k =-，11A G A B k k =-∴1A ，B ，G 三点共线.2°若AB 的斜率存在，()114,A y -，1132A G y k =-，2252BG y k x =+要证1A ，B ，G 共线.即证1A G BG k k =，即1225322y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即()122253y x y +=- 即()()()121212531k x x k x ++=-+，即()12122580kx x k x x k +++=由（）2122834k x x k+=-+，212241234k x x k -=+ 代入上式：2222412825803434k k k k k k k -⋅-⋅+=++，即3332824402432034k k k k k k--++=+显然成立。
2019－2020学年上学期高三期末考试数学卷（考试时间：120分钟 满分：150分）参考公式：1、三角函数的积化和差公式：)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=2、三角函数和差化积公式：2cos2sin2sin sin ϕφϕφϕφ-+=+2sin2cos 2sin sin ϕφϕφϕφ-+=- 2cos2cos 2cos cos ϕφϕφϕφ-+=+ 2sin2sin 2cos cos ϕφϕφϕφ-+-=- 第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案填在第II 卷指定的位置上）1．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，2，4}，B={0，1，3}，则（ ） （A ）A ∪C U B=U （B ）CUA ∩B=∅ （C ）C U A ∩C U B=U （D ）C U A ∩C U B=∅2．已知函数y=f(x)的反函数为f －1(x)=2x+1，则f(1)等于（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）43．在等比数列{a n }中，a 1+a 2=1，a 3+a 4=9，那么a 4+a 5等于（ ） （A ）27 （B ）－27 （C ）81或－36 （D ）27或－274．在△ABC 中，∠A=60°，b=1，这个三角形的面积为3，则ABC 外接圆的直径是（ ）（A ）3392 （B ）3326 （C ）33 （D ）2295．[x]表示不超过x 的最大整数，（例如[5.5]=5，[－5.5]=－6），则不等式[x]2－5[x]+6≤0的解集是（ ） （A ）（2，3） （B ）[)4,2 （C ）[2，3] （D ）[2，4]6．抛物线y 2=4x 按向量e 平移后的焦点坐标为（3，2），则平移后的抛物线的顶点坐标为（ ）（A ）（4，2） （B ）（2，2） （C ）（－2，－2） （D ）（2，3） 7．线段AB 的端点A 、B 到面a 的距离分别是30cm 和50cm ，则线段AB 中点M 到平面a 的距离为（ ） （A ）40cm （B ）10cm （C ）80cm （D ）40cm 或10cm8．已知映射f ：A →B ，其中A=B=R ，对应法则f ：y=－22x +2x+1，对于实数K ∈B ，在集中A 中不存在原象，则k 的取值范围是（ ）（A ）k>1 （B ）k ≥1 （C ）k<1 （D ）k ≤19．圆x 2+y 2－2x －6y+9=0关于直线x －y －1=0对称的曲线方程为（ ） （A ）x 2+y 2+2x+6y+9=0 （B ）x 2+y 2－8x+15=0 （C ）x 2+y 2－6x －2y+9=0 （D ）x 2+y 2－8x －15=0 2x (x ≤1)10．已知函数f(x)= ，则函数y=f(1－x)的图象是（ ） 21log x (x>1)11．设数列{a n }的通项公式为an=n 2－an ，若数列{a n }为单调递增数列，则实数a 的取值范围为（ ） （A ）a<2 （B ）a ≤2 （C ）a<3 （D ）a ≤312．一个人以匀速6m/s 的速度去追停在交通灯前的公共汽车，当他离汽车25m 时，交通灯由红变绿，汽车正以1m/s 2的加速度开走，则（ ）（A ）人可在7s 内追上汽车 （B ）人会在7s 后追上汽车（C ）人追不上汽车，其间最近距离为5m （D ）人追不上汽车，其间最近距离为7m 。
2020届江苏省镇江市高三上学期第一次调研考试（期末）数学试题及答案解析版一、填空题 1．已知集合{}220A x x x =-≤，{}1,1,2B =-，则AB =______.【答案】{}1,2【解析】先求出集合A ，然后根据交集的计算，即可求出A B .【详解】∵集合{}220A x x x =-≤ ∴集合{}02A x x =≤≤ ∵集合{}1,1,2B =- ∴{}1,2AB =故答案为：{}1,2. 【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，考查了交集的运算，属于基础题． 2．设复数21iz =+（其中i 为虚数单位），则z =______.【解析】根据复数的基本运算法则进行化简，再利用复数的模长公式即可求出结果． 【详解】∵21i z =+ ∴2112i iiz i =+=-⋅ ∴()22125z=+-=故答案为：5.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．如图是一个算法的伪代码，则输出的结果是______.【答案】25【解析】模拟执行伪代码，可得伪代码的功能是计算并输出013579S =+++++的值，从而得解． 【详解】模拟执行伪代码，可得：01357925S =+++++=． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了伪代码的应用问题，解答本题的关键是应根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是基础题目．4．顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点的抛物线方程是______. 【答案】216y x =【解析】求得双曲线的右焦点，可设抛物线的方程为2,0y mx m =>，由抛物线的焦点坐标，可得m ，即可得到所求方程． 【详解】由题意得，双曲线221124x y -=的右焦点为()4,0.抛物线方程设为2,0y mx m =>.∵抛物线的顶点在原点且以双曲线221124x y -=的右焦点为焦点∴44m=，即16m =∴抛物线方程为216y x = 故答案为：216y x =. 【点睛】本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：20x my m -+-=，2l ：()210mx m y +--=，若直线12l l //，则m =______.【答案】2-【解析】根据题意，由直线平行的条件可得()220m m -+=，可得m 的值，验证直线是否重合即可得答案． 【详解】根据题意，直线1l ：20x my m -+-=，2l ：()210mx m y +--=.若直线12l l //，必有()220m m-+=，解得：1m =或2-.当1m =时，直线1l ：10x y --=，2l ：10x y --=，两直线重合，不符合题意；当2m =-时，直线1l ：240x y +-=，2l ：2410x y ---=，两直线平行，符合题意； ∴2m =-. 故答案为：2-. 【点睛】已知直线1l ，2l 的方程分别是：1l ：1110A x B y C++=（1A ，1B 不同时为0），2l ：2220A x B y C++=（2A ，2B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①2112210A A l B B l +⇔=⊥；②121221//0l l A B A B ⇔-=，12210AC A C -≠.6．从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，则剩余三个数能构成等差数列的概率是______.【答案】25【解析】基本事件总数2510n C ==，利用列举法求出剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出剩余三个数能构成等差数列的概率． 【详解】从“1，2，3，4，5”这组数据中随机去掉两个不同的数，基本事件总数为2510n C ==.∴剩余三个数能构成等差数列包含的基本事件有：（1，2，3），（1，3，5），（2，3，4），（3，4，5），共4个.∴剩余三个数能构成等差数列的概率是42105p==故答案为：25.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．若实数x，y满足条件10,10,330,x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y=+的最大值为______.【答案】13【解析】画出约束条件对应的可行域，再求出对应的交点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解．【详解】实数x，y满足条件10,10,330,x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，对应的可行域如下图所示：由10330x yx y--=⎧⎨-+=⎩，解得3x=，2y=时，目标函数经过()3,2A时，目标函数取得最大值，即3213z x y=+=. ∴32z x y=+的最大值为13.故答案为：13.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8．将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 【答案】【解析】由题意利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再根据()g x 的解析式，求得4g π⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【详解】 将函数()cos2f x x =的图象向左平移6π个单位长度后，可得cos 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到函数()2cos 23y g x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭的图象.∴2cos 22sin 4433g ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：.【点睛】本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.9．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1.点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点，则三棱锥B ECF -的体积为______.【答案】16【解析】由题意画出图形，再由等积法求三棱锥B ECF -的体积． 【详解】根据题意画出图形，如下图所示：∵正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，点E 是棱AD 上的任意一点，点F 是棱11B C 上的任意一点.∴11111111132326B ECF F BCE V V BC AB B B --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 故答案为：16.【点睛】本题考查多面体体积的求法，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法，等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．10．等比数列{}n a 的前三项和342S =，若1a ，23a +，3a 成等差数列，则公比q =______. 【答案】2或12【解析】由等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，解方程组可得所求公比q 的值． 【详解】∵等比数列{}n a 的前三项和342S =，1a ，23a +，3a 成等差数列∴()211121114223a a q a q a q a a q ⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩，解得2q或12故答案为：2或12. 【点睛】本题考查等差数列的等差中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11．记集合[],A a b =，当,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()2cos 2cos f θθθθ=+的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则b a -的最小值是______. 【答案】3【解析】利用倍角公式、和差公式化简()f θ，利用三角函数的单调性可得B ，根据“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，可得B A ⊆，即可得出结论．【详解】 根据题意可得：()2cos 2cos 2sin 216f πθθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭.∵,64ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴()[]0,3f θ∈，即[]0,3B =“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆∴03a b ≤⎧⎨≥⎩∴303b a -≥-=，即()min 3b a -=. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．己知函数()331,0,22,0,xx x x f x x x ⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】由题意可得()f x 为偶函数，求得()f x 在0x ≥上连续，且为减函数，可得1x x m -≥+，即有即()22210m x m ++-≤在[],1x m m ∈+恒成立，由一次函数的单调性，解不等式组，即可得到所求范围．【详解】 ∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数且在[)0,+∞单调递减 ∵()()1f x f x m -≤+在[],1x m m ∈+恒成立 ∴1x x m -≥+在[],1x m m ∈+恒成立，则222212x x x mx m -+≥++在[],1x m m ∈+恒成立∴()22210m x m ++-≤在[],1x m m ∈+恒成立∴()()()22221022110m m m m m m ⎧++-≤⎪⎨+++-≤⎪⎩，解得113m -≤≤-. 故答案为：11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，解答本题的关键是判断出函数()f x 的奇偶性与单调性，属于中档题． 13．过直线l ：2y x =-上任意一点P 作圆C ：221x y +=的一条切线，切点为A ，若存在定()00,B x y ，使得PA PB =恒成立，则00x y -=______.【答案】2【解析】设(),P x y ，根据圆C 及切点A ，结合PA PB =，可推出221PO PB -=，再根据两点之间距离公式化简可得220000012x x y y x y y ++=-+，结合点P 在2y x =-上，可列出方程组，即可解出0y ，进而可得答案. 【详解】设(),P x y ∵PA PB = ∴22PA PB = ∴221PO PB -= ∴()()2222001xy x x y y +-=-+-，即220000012x x y y x y y ++=-+ ∵P 在2y x =-上任取∴00220001122x y x y y ⎧-=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，解得0y =∵01x y -= ∴00x y =-∴00022x y y -=-=故答案为：2【点睛】本题考查直线与圆的关系，涉及了两点之间的距离公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14．在平面直角坐标系xOy 中已知三个点()2,1A ，()1,2B -，()3,1C -，点(),P x y 满足()()1OP OA OP OB ⋅⨯⋅=-，则2OP OC OP⋅的最大值为______.【解析】依题意可得()()221x y x y +-=-，通过换元令22x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，将所求式子化简，再利用基本不等式得解． 【详解】∵点(),P x y 满足()()1OP OA OP OB ⋅⨯⋅=- ∴()()221x y x y +-=-令22x y m x y n +=⎧⎨-=⎩，解得2525m n x m ny +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∴1mn =- ∴2222222344442525OP OC x y m n m mn n m mn n x y OP⋅-+==++-+++()()()()()222255522m n m n m n m n m n mn mn +++===++-++要求出2OP OC OP⋅的最大值，不妨设0m n +>，则2524OP OC OPm n m n⋅=≤=+++，当且仅当2m n m n +=+，即m n +=2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取“=”.故答案为：4.【点睛】本题考查平面向量与基本不等式的综合运用，考查换元思想及化简运算能力，属于中档题．利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.二、解答题15．在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是平行四边形，E是AP 的中点，AB BD⊥，平面PBD⊥底面ABCD.⊥，PB PD（1）求证：//PC平面BDE；（2）求证：PD⊥平面PAB.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）连结AC，交BD于点O，连结EO，则点O为AC 中点，由点E为AP的中点，得//PC平EO PC，由此能证明//面BDE；（2）根据题设条件推导出PB⊥平面ABCD，PB AB⊥，⊥，结合PD PB ⊥，从而AB⊥平面PBD，进而可得AB PDAB BD⊥，由此能证明PD⊥平面PAB.【详解】（1）证明：连接AC交BD于点O，并连接EO∵平行四边形ABCD，且AC交BD于点O∴点O为AC中点在PAC∆中，点E为AP的中点∴//EO PC∵EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE∴//PC平面BDE（2）∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD平面ABCD BD=，PB BD⊥，PB⊂平面PBD∴PB⊥平面ABCD∵AB平面ABCD∴PB AB⊥又∵AB BD=，PB⊂平面PBD，BD⊂平面PBD ⊥，BD PB B∴AB⊥平面PBD∵PD⊂平面PBD∴AB PD⊥又∵PD PB⋂=，PB⊂平面PAB，AB平面PAB ⊥，PB AB B∴PD⊥平面PAB.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，14AB =，6BD =，66BA BD ⋅=.（1）若C B >，且()13cos 14C B -=，求角C ； （2）若ACD ∆的面积为S ，且12S CA CD =⋅，求AC 的长度.【答案】（1）3C π=；（2）56AC =【解析】（1）利用平面向量数量积的运算可求cos B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，由已知利用两角和的余弦函数公式可求cos C 的值，结合C 的范围可求C 的值；（2）由已知利用三角形的面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式可求tan 1C =，可得4C π，在ABC ∆中，由正弦定理可得AC 的值． 【详解】（1）∵14AB =，6BD =，66BA BD ⋅= ∴cos 146cos 66BA BD AB BD B B ⋅=⋅=⨯= ∴11cos 14B =∵在ABC ∆中，C B >，且B C ABC π++∠= ∴0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴221153sin 1cos 11414B B ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭∵在ABC 中，C B >，且B C ABC π++∠=，∴()0,C B π-∈ ∵()13cos 14C B -=且()0,C B π-∈ ∴()sin C B -=14== ∴()cos cos C C B B =-+⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin C B B C B B=---1311114142=⨯= 在ABC ∆中，∵()0,C π∈ ∴3C π=.（2）∵ACD ∆的面积12S CA CD =⋅∴11sin cos 22CD CA C AC CD C ⋅⋅=⋅⋅ ∴sin cos C C =∵在ACD ∆中，()0,C π∈ ∴sin 0C ≠，则cos 0C ≠ ∴sin tan 1cos CC C ==，则4Cπ在ABC ∆中，由正弦定理得：sin sin AC ABB C=又∵sin B =14AB =，sin sin 42C π==2=，则AC =【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长为4，左准线l 的方程为4x =-.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线1l 过椭圆E 的左焦点1F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点. ①若247AB =，求直线1l 的方程； ②过A 作左准线l的垂线，垂足为1A ，点5,02G ⎛⎫-⎪⎝⎭，求证：1A ，B ，G三点共线.【答案】（1）2214x y y +=（2）①1y x =+或1y x =--，②证明见解析【解析】（1）根据长轴的值和准线的方程，可求得a ，c 的值，结合222b a c =-，从而可求出椭圆的标准方程； （2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，作11AA l ⊥，根据椭圆的第二定义可得11AF e AA =，结合211a AA x c=+，可推出11AF a ex =+，从而推出12BF a ex =+，根据247AB =，可得1287x x +=-，分别对直线1l 的斜率存在与不存在进行讨论，结合韦达定理即可求得直线1l 的方程；②当直线1l 的斜率不存在时，分别求出1A G k ，1A B k ，即可得证；当直线1l 的斜率存在时，分别求出1A G k ，BG k ，结合韦达定理即可求证. 【详解】（1）由题，24a =，24a c =，∴2a =，1c = ∴2223b a c =-=，椭圆方程2214x y y +=.（2）①设()11,A x y ，()22,B x y 作11AA l ⊥，由第二定义，11AF e AA =，而211a AA x c=+∴21101c a AF eAA x a ex a c ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，同理12BF a ex =+∴()11122427AB AF BF a e x x =+=++=，即1287x x +=-，②证明见解析设AB 的斜率为k1°若k 不存在，即122x x +=-（舍） 2°若k 存在，AB ：()1y k x =+联立()3234121x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去y ，()22223484120k x k x k +++-=（），>0∆恒成立∴212288347k x x k +=-=-+，即1k =±，∴AB ：1y x =+或1y x =-- ②证明1°若AB 的斜率不存在，31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，134,2A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11A G k =-，11A B k =-，11A G A B k k =-∴1A ，B ，G 三点共线. 2°若AB 的斜率存在，()114,A y -，1132A G y k =-，2252BG y k x =+要证1A ，B ，G共线.即证1A G BG k k =，即1225322y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即()122253y x y +=-即()()()121212531k x x k x ++=-+，即()12122580kx x k x x k +++=由（）2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+ 代入上式：2222412825803434k k k k k k k -⋅-⋅+=++，即3332824402432034k k k k k k --++=+显然成立。
2019-2020学年高三（上）数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣1）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[1，3]B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，1]∪[3，+∞）2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．（5分）已知||=1，||=2，•（﹣）=0，则向量与的夹角为（）A． B． C．D．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2 B．4 C．8 D．165．（5分）求sin16°cos134°+sin74°sin46°=（）A．B．C．D．6．（5分）设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．137．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如表2×2列联表：偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表K2=P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A．90% B．95% C．99% D．99.9%8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（）A．4 B．2 C．0 D．149．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（）A．B．C． D．10．（5分）若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（）A．B．﹣ C．D．﹣11．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π12．（5分）设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2xf（x）+x2f′（x）＞0，则不等式（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0的解集为（）A．（2012，+∞）B．（0，2012）C．（0，2016）D．（2016，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，那么的最大值是．14．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）S n为数列的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n﹣1．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，如图茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．20．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）过E做⊙O的切线，交AC与点D，证明：D是AC的中点；（2）若CE=3AO，求∠ACB的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l1：（t为参数），圆C1：（x﹣）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求圆C1的极坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+；（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣1）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[1，3]B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，1]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤1或x≥3，即S=（﹣∞，1]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，1]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．3．（5分）已知||=1，||=2，•（﹣）=0，则向量与的夹角为（）A． B． C．D．【分析】由•（﹣）=0，得到，展开数量积公式，代入已知条件得答案．【解答】解：∵||=1，||=2，且•（﹣）=0，∴，即＜＞﹣1=0，∴1×2×cos＜＞=1，cos＜＞=，则向量与的夹角为．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，是基础的计算题．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则=（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由于a3=2，a4a6=16，可得=2，=16，解得q2．可得=q4．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=2，a4a6=16，∴=2，=16，解得q2=2．则==q4=4．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）求sin16°cos134°+sin74°sin46°=（）A．B．C．D．【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算求值．【解答】解：sin16°cos134°+sin74°sin46°=﹣sin16°cos46°+cos16°sin46°=sin30°=，故选：A【点评】本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6．（5分）设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．13【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312，∴f（﹣7）+f（log312）=1+log39+=1+2+4=7，故选：A．【点评】本题考查了分段函数的应用及对数运算的应用．7．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如表2×2列联表：偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表K2=P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828A．90% B．95% C．99% D．99.9%【分析】计算观测值，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：设H0：饮食习惯与年龄无关．因为K2==10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选：C．【点评】本题考查独立性检验，考查学生利用数学知识解决实际问题，利用公式计算观测值是关键．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（）A．4 B．2 C．0 D．14【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=8，b=12，不满足a＞b，则b变为12﹣8=4，由b＜a，则a变为8﹣4=4，由a=b=4，则输出的a=4．故选：A．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=4bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【分析】依题意，抛物线y2=2bx 的焦点F（b，0），由（b+c）：（c﹣b）=5：3可求得b，c关系，结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2=4bx的焦点F（b，0），线段F1F2被抛物线y2=4bx 的焦点分成5：3的两段，∴（b+c）：（c﹣b）=5：3，∴c=4b，∴c2=a2+b2=a2+，∴．∴此双曲线的离心率e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质，求得c=4b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则=（）A．B．﹣ C．D．﹣【分析】运用二项式展开式的通项公式，化简整理，令x的次数为0，求出m，再由定积分的运算法则，即可求得．=，【解答】解：二项式（）6的展开式的通项公式为：T r+1令12﹣3r=0，则r=4．即有m==3．则=（x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）=．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用：求特定项，同时考查定积分的运算，属于基础题．11．（5分）已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（）A．4πB．8πC．12πD．16π【分析】由已知中三棱锥的三视图，我们可以求出三棱棱的高，即顶点到底面的距离，及底面外接圆的半径，进而求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式，即可求出外接球的表面积．【解答】解：由已知中三棱锥的高为1底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面的外接圆半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上，由于顶点到底面的距离，与底面外接圆的半径相等，所以底面直角三角形斜边中点就是外接球的球心；则三棱锥的外接球半径R为1，则三棱锥的外接球表面积S=4πR2=4π故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据三视图出判断出三棱锥的几何特征，进而求出其外接球的半径是解答本题的关键．12．（5分）设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2xf（x）+x2f′（x）＞0，则不等式（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0的解集为（）A．（2012，+∞）B．（0，2012）C．（0，2016）D．（2016，+∞）【分析】先构造函数g（x）=x2f（x），再根据导数和函数的单调性的关系得到g （x）在（0，+∞）为增函数，由（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0得到g （x﹣2014）＞g（2）根据函数的单调性即可求出答案【解答】解：令g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x），∵2f（x）+x2f′（x）＞0，∴g′（x）＞0，在（0，+∞）恒成立，∴g（x）在（0，+∞）为增函数，∵（x﹣2014）2f（x﹣2014）﹣4f（2）＞0，∴（x﹣2014）2f（x﹣2014）＞4f（2），∵g（2）=4f（2），∴g（x﹣2014）＞g（2）∴，解得x＞2016，故选D．【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，两个函数乘积的导数的求法，而构造函数是解本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，那么的最大值是2．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，那么z=的几何意义是区域内的点到定点（0，0）的斜率由图象知OB的斜率最大，由可得B（2，4），∴z的最大值为z==2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．14．（5分）已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≤0的解集是{x|x≥3或x≤1} ．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，f（1）=0，∴不等式f（x﹣2）≤0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），即|x﹣2|≥1，即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，即x≥3或x≤1，故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，故答案为：{x|x≥3或x≤1}．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=sin（x+α）（其中，cosα=，sinα=），由题意可得θ+α=2kπ+，k∈z，即θ=2kπ+﹣α，k∈z，再利用诱导公式求得cosθ 的值．【解答】解：当x=θ时，函数f（x）=2sinx﹣cosx=（sinx﹣cosx）=sin （x+α）取得最大值，（其中，cosα=，sinα=﹣），∴θ+α=2kπ+，k∈z，即θ=2kπ+﹣α，k∈z，∴cosθ=cos（2kπ+﹣α）=cos（﹣α）=sinα=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于基础题．16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+1的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b=ln2．【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+1和y=ln（x+2）的切点分别为（x1，lnx1+1）、（x2，ln（x2+2））；∵y=lnx+1，y=ln（x+2）∴y′=，y′=，∴k==，∴x1﹣x2=2，切线方程分别为y﹣（lnx1+1）=（x﹣x1），即为y=+lnx1，或y﹣ln（x2+2）=（x﹣x2），即为y=++lnx1，∴=0，解得x1=2，∴b=ln2故答案为：ln2【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）S n为数列的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n﹣1．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用递推关系可得，又a n＞0，即可求出．（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）依题意有①，当n=1时，（a1﹣1）2=0，解得a1=1，+1）2=4S n﹣1，②，当n≥2是，（a n﹣1①﹣②得（a n+a n﹣1）（a n+a n﹣1﹣2）=0，∵a n＞0，∴a n+a n﹣1＞0，∴a n﹣a n﹣1﹣2=0（n≥2），∴{a n}成等差数列，得a n=2n﹣1．（2），【点评】本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，如图茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（3）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）直接利用茎叶图，写出这组数据的众数和中位数；（2）设A1表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，然后求概率；（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出概率，写出分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）众数：87；中位数：88.5（2）设A1表示所取3人中有i个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A，则；（3）ξ的可能取值为0，1，2，3，；；；；分布列为ξ0123P．注：用二项分布直接求解也可以．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，茎叶图的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=BC1=2，∠AA1C1=60°，平面ABC1⊥平面AA1C1C，AC1与A1C相交于点D．（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．【分析】（1）由平行四边形AA1C1C中AC=A1C1，结合题意证出△AA1C1为等边三角形，同理得△ABC1是等边三角形，从而得到中线BD⊥AC1，利用面面垂直判定定理即可证出BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC1与平面ABC的法向量，从而可算出二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，同理△ABC1是等边三角形，∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，∴BD⊥平面AA1C1C．（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为，设平面ABC的法向量为，由题意可得，，则，所以平面ABC的一个法向量为=（，1，1），∴cosθ=．即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于．【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．20．（12分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．（Ⅰ）若，求直线AB的斜率；（Ⅱ）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB 面积的最小值．【分析】（Ⅰ）依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得y2﹣4my﹣4=0．由此能够求出直线AB的斜率．（Ⅱ）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．由此能求出四边形OACB的面积最小值．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意F（1，0），设直线AB方程为x=my+1．…（1分）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2﹣4my﹣4=0．…（3分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2=4m，y1y2=﹣4．①…（4分）因为，所以y1=﹣2y2．②…（5分）联立①和②，消去y1，y2，得．…（6分）所以直线AB的斜率是．…（7分）（Ⅱ）解：由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S．…（9分）△AOB因为…（10分）=，…（12分）所以m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．…（13分）【点评】本题考查直线斜率的求法，考查四边形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．【分析】（1）首先求导得，再对a进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间；（2）将条件对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2）转化为g（x2）≤f（x）min在x2∈[1，3]有解，再参变量分离，即2b在x2∈[1，3]有解，利用基本不等式可知，故b．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，当a=0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当a＜0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当时，f'（x）＞0得，∴f（x）的递增区间为f'（x）＜0得0＜x＜1或，∴f（x）的递减区间为（0，1）和．（2）当时，由（1）知，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，∴，依题意有在x2∈[1，3]有解在x2∈[1，3]有解，又当且仅当时等号成立，∴．【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是利用导数性质将条件进行合理转化．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（1）过E做⊙O的切线，交AC与点D，证明：D是AC的中点；（2）若CE=3AO，求∠ACB的大小．【分析】（1）利用圆的切线的性质、弦切角与等腰三角形的性质、直角三角形的性质即可证明．（2）；△ABE中，，BE=2AOsin ∠ACB，代入化简基础即可得出．【解答】（1）证明：连接OE，AE，∵AC是⊙O的切线，DE也是⊙O的切线，∴弦切角∠CAE=∠DEA，∴△ADE是等腰三角形，AD=DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°=∠CEA．∴D是△AEC的外心，即是AC的中点．（2）解：；△ABE中，，BE=2AOsin∠ACB；∴；解方程的，∴锐角∠ACB=30°．【点评】本题考查了圆与切线的性质、直角三角形的边角关系及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l1：（t为参数），圆C1：（x﹣）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系．（1）求圆C1的极坐标方程，直线l1的极坐标方程；（2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积．【分析】（1）根据，求出极坐标方程即可；（2）求出，从而求出三角形的面积即可．【解答】解：（1）因为，将其代入C1展开整理得：，∴圆C1的极坐标方程为：，l1消参得（ρ∈R），∴直线l1的极坐标方程为：（ρ∈R）．（2）⇒⇒，∴．【点评】本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的转化，考查求三角形的面积，是一道中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|2x﹣3|，g（x）=3x2﹣2（m+1）x+；（1）求不等式f（x）≤6的解集；（2）若对任意的x∈[﹣1，1]，g（x）≥f（x），求m的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围求出不等式组的解集，取并集即可；（2）通过讨论x的范围，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）原不等式等价于或或，解得或或﹣1≤x＜0．即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）①当x=0时，易知成立：当0＜x≤1时，，即在0≤x≤1时恒成立．因为0≤x≤1，所以当且仅当时，取到最小值3，故3≥2m+1，即m≤1．②当﹣1≤x＜0时，即在﹣1≤x＜0时恒成立；因为﹣1≤x＜0，所以当且仅当时取到最小值3，故3≥﹣2m+1，即m≥﹣1，综上可知，m的取值范围为[﹣1，1]．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．。
