2-6 分式方程
知识考点：
会用化整法，换元法解分式方程，了解分式方程产生增根的原因并会验根，会用分式方程解决简单的应用问题。
精典例题：
【例1】解下列分式方程：
1、x x x x --=-+222；
2、41)1(31122=+++++x x x x
3、1131222=??? ??+-??? ?
?+x x x x 分析：（1）题用化整法；（2）（3）题用换元法；分别设112++=x x y ，x
x y 1+=，解后勿忘检验。
答案：（1）1-=x （2=x 舍去）； （2）1x ＝0，2x ＝1，21733+=x ，21734-=x （3）2
11=x 22=x 【例2】解方程组：???????==-9
2
113111y x y x 分析：此题不宜去分母，可设x 1＝A ，y 1-＝B 得：???
????-==+92
31AB B A ，用根与系数的关系可解出A 、B ，再求x 、y ，解出后仍需要检验。 答案：?????==3231
1y x ，?????-=-=23322y x 【例3】解方程：31
24122=---x x x x 分析：此题初看似乎应先去分母，但去分母会使方程两边次数太高，仔细观察可发现x x x x 12122-=-，所以应设x
x y 122-=，用换元法解。
答案：2611+
=x ，2612-=x ，213=x ，14-=x 探索与创新：
【问题一】已知方程1
1122-+=---x x x m x x ，是否存在m 的值使得方程无解？若存在，求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。
略解：存在。用化整法把原方程化为最简的一元二次方程后，有两种情况可使方程无解：
（1）△＜0；（2）若此方程的根为增根0、1时。所以m ＜4
7或m ＝2。 【问题二】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售每吨利润涨至7500元。
当地一公司收获这种蔬菜140吨，其加工厂生产能力是：如果进行粗加工，每天可加工16吨；如果进行精加工，每天可加工6吨。但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将这蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司初定了三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。
你认为哪种方案获利最多？为什么？
略解：第一种方案获利630 000元；第二种方案获利725 000元；第三种方案先设将x 吨蔬菜精加工，用时间列方程解得60=x ，故可算出其获利810 000元，所以应选择第三种方案。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若关于x 的方程
011
1=--+x ax 有增根，则a 的值为 。 2、用换元法解方程01222=-+-+x x x x ，如果设y x x =+2，则原方程可变形为整式方程 。
3、分式方程01
11=+--+-x x x k x x 有增根1=x ，则k ＝ 。
4、若2
121+=+x x ，则x ＝ 或 。 二、选择题：
1、方程6
25222+-=+-x x x x 有（ ） A 、一解 B 、两解 C 、无解 D 、无穷多个解
2、方程
21
32=+-x x 的根是（ ） A 、－2 B 、21 C 、－2，21 D 、－2，1 3、用换元法解方程71
)1(61)1(222=+++++x x x x 时，下列换元方法中最适宜的是设（ ） A 、12
+=x y B 、1+=x y C 、112++=x x y D 、112+=x y 4、用换元法解方程41122=++
+x
x x x ，通常会设y （ ） A 、2x x + B 、x x 1+ C 、211x x + D 、2+x 三、解下列方程：
1、
625--=-x x x x ； 2、1226102=-+-+x x x ；
3、
11213122=-++++--x x x x x ； 4、9
8876554-----=-----x x x x x x x x
四、用换元法解下列方程（组）
1、2
53113=-+-x x x x ； 2、3114338222=-----x x x x x x ；
3、31234222=----x x x x ；
4、061512=++-??
? ??+x x x x
五、已知0132=++x x ，求441x
x +的值。
一、选择题 1． a 的取值范围是（ ） A ．4a ≠- B ．4a ≥- C ．4a >- D ．4a >-且0a ≠ 2．分式 x 5 x 6 -+ 的值不存在，则x 的取值是 A ．x ?6=- B ．x 6= C ．x 5≠ D ．x 5= 3．下列式子中，错误的是 A ． 1a a 1 a a --=- B ．1a a 1 a a ---=- C ．1a 1a a a --- =- D ．1a 1a a a +--- = 4．分式： 22x 4- ，x 42x - 中，最简公分母是 A ．() ()2 x 4?42x -- B ．()()x 2x ?2+ C ．()()2 2x 2x 2-+- D ．()()2x 2?x 2+- 5．下列关于分式的判断，正确的是( ) A ．当x =2时， 1 2 x x +-的值为零 B ．无论x 为何值，23 1 x +的值总为正数 C ．无论x 为何值，3 1 x +不可能得整数值 D ．当x ≠3时， 3 x x -有意义 6．如果112111S t t =+，212111 S t t =-，则12S S =（ ） A ．12 21 t t t t +- B ．2121 t t t t -+ C ．1221 t t t t -+ D ．1212 t t t t +- 7．下列变形正确的是（ ）． A ． 1a b b ab b ++= B ．22 x y x y -++=- C ．22 2 ()x y x y x y x y --=++ D ． 231 93 x x x -=-- 8．已知有理式：4x 、4a 、1x y -、34x 、12 x 2、1 a ＋4，其中分式有 （ ）
《分式》典型例题分析
《分式》复习提纲 考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4, 23,822++-+---中，分式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点2. 分式的意义 分式： B A (A ，B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式 3 2 -x 有意义，则x__________ 2、 要使分式 ) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠2 3 - B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3 -或x ≠5 3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21 a a + 4、分式 3 24 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 5 2++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式 x x -+22 的值是零 考点3、最简公分母、最简分式 1、分式 ac b bc a ab c 3,2,2 --的最简公分母是 ；分式1 3x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12 --x x D. 11--x x
3、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 2 2 2) (y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。 （1）y x y x 3 22132 21-+； （2）b a b a -+2.05.03.0 2、把分式xy y x +中的分子、分母的x 、y 同时扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大2倍 B. 缩小为原来的2 1 C. 不变 D. 缩小为原来的4 1 3、约分（1）4 3 22016xy y x -= ；（2）4 4422+--x x x = 4、通分（1）b a 21，2 1ab ； （2）y x -1，y x +1； （3）221y x -，xy x +21. 考点5、计算 1、(1)222222x b yz a z b xy a ÷= ；（2）49 3222--?+-x x x x = ；（3）43222)1.().()( ab a b b a --= (4) x x x x x x 36299622 2+-÷-+- （5）ab a b a a b a b a --+-2224. （6） 22212(1)441x x x x x x x -+÷+?++-
一、选择题 1．若0x y y z z x abc a b c ---===<，则点P(ab ，bc)不可能在第（ ）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 2．把分式2210x y xy +中的x y 、都扩大为原来的5倍，分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小为 15 D ．扩大25倍 3．下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A ． 22 11 88 a a a a ---=-++ B ．()() 2 2 1a b a b -+=- C ． 22 x y x y x y +=++ D ． 052520.11y y x x ++=-++ 4．下列各式中，正确的是（ ）． A ． 11 22 b a b a +=++ B ．221 42 a a a -=-- C ．22 11 1(1)a a a a +-=-- D ． 11b b a a ---=- 5．分式a x ，22x y x y +-，2 1 21 a a a --+，+-x y x y 中，最简分式有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为a ＜1的是（ ） A ．a 1- B ．1a - C ． ()2 1a - D ． 1 1a - 7．将分式()0,0xy x y x y ≠≠-中的x .y 扩大为原来的3倍，则分式的值为：（ ） A ．不变； B ．扩大为原来的3倍 C ．扩大为原来的9倍； D ．减小为原来的 13 8．下列各式计算正确的是（ ） A ． a x a b x b +=+ B ．112 a b a b +=+ C ．2 2()a a b b = D ．11 x y x y - =-+- 9．如果把分式2x x y -中的x 与y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．不变 B ．扩大2倍 C ．缩小2倍 D ．扩大4倍 10．一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为（ ） A ．0.65× 10﹣5 B ．65× 10﹣7 C ．6.5× 10﹣6 D ．6.5× 10﹣5
《分式的乘除法》典型例题 例1 下列分式中是最简分式的是（） A ．264a b B ．b a a b --2)(2 C ．y x y x ++22 D ．y x y x --2 2 例2 约分 （1）36)(12)(3a b a b a ab -- （2）44422 -+-x x x （3）b b 2213432-+ 例3 计算（分式的乘除） （1）22563ab cd c b a -?- （2）42 2 643mn n m ÷- （3）2 33344222++-?+--a a a a a a （4）2 22 22222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算 （1）)()()(432 2xy x y y x -÷-?- （2）x x x x x x x --+?+÷+--36)3(446222 例5 化简求值 22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+?-，其中3 2=a ，3-=b . 例6 约分 （1）3286b ab ； （2）2 22322xy y x y x x --
例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式. （1）44422-+-x x x ； （2）36 ) (4)(3a b b a a --； （3）22 2y y x -； （4）882122++++x x x x 例8 通分： （1）223c a b ， ab c 2-，cb a 5 （2）a 392 -， a a a 2312---，652+-a a a
参考答案 例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A ．2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -，排除B ，22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -，排除D. 故选择C. 解 C 例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分. 解：（1）36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-?--?-=b a a b b a b a a 3)(4 1b a b --= （2）4 4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x （3）原式2123486)22 1(6)3432(b b b b -+=?-?+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成1 64 mn .然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算. 解：（1）22563ab cd c b a -?-2253)6(ab c cd b a ?--=b ad 52= （2）422643mn n m ÷-7 43286143n m mn n m -=?-= （3）原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 1 22--=a a （4）原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2 2 22))((b b a b b a b a -=-+= 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除
分析解分式方程教学的案例论文 波利亚曾说过：“解决问题的成功要靠正确的转化，化归思想是指在解决问题的过程中，将那些有待解决或难以解决的问题转化为已经解决或容易解决的问题的一种数学思想 方法。”本课例解分式方程的基本思想是通过“转化”，尝试用问题设问的形式，驱动学 生思考，在问题的解决过程中，引导学生理解解分式方程的一般步骤。学会将分式方程转 化为整式方程，在解决问题的过程中体验增根产生的原因及如何检验增根。 一、预习导学，呈现问题导入新课 思考：你能正确识别分式方程吗？ 下列关于x的方程，其中是分式方程的有______。（填序号） 问题1 什么是分式方程？ 问题2 为什么方程（4）不是分式方程？它是什么方程？如何看待其分母中的字母？ 引导学生思考并归纳总结，分式方程的特点是：①含分母；②分母中含有未知数，分 母中是否含有未知数是区别分式方程与整式方程的标志。本例中的（4）是关于x的方程，其他字母皆为字母系数，通过本例辨析分式方程与含有字母已知数方程的区别。 设计意图在设疑解惑中引导学生关注分式方程形式上的定义，不是简单让学生重复 概念，而是展示一组方程让学生识别，在答疑辨析中调动学生对分式方程概念的理解，加 深理解分式方程概念的关键点——分母中含有未知数，设计的方程（3）（4）（6）用意 深刻，是对学生思考提出的发展性目标。 二、合作探究，问在知识发生处，点拨释疑 ·你会解分式方程吗？ 教师出示问题，学生动手解题，探究体验： 比较方程（1）（2）的结果有差异吗？为什么？ ·为什么x=2不是原方程（2）的根？ ·产生x=2不是原方程（2）的根的原因是什么？你能用数学语言说明吗？ 解（2）：方程两边同乘以3（x—2），得3（5x—4）=4x+10—3（x—2），x=2。检验：把x=2代入最简公分母3（x—2）中，3（x—2）=0，x=2称为原方程的增根。 ·引导学生进一步思考：
分式方程教学反思〈最新〉 分式方程教学反思 身为一名优秀的人民教师，课堂教学是重要的工作之一，通过教学反思可以有效提升自己的课堂经验，如何把教学反思做到重点突出呢？下面是本人整理的分式方程教学反思，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。 分式方程教学反思1 本节课作为分式方程的第一节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。 本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。本节教材中的引例分式方程较复杂，学生直接探索它的解法有些困难。我是从简单的整式方程引出分式方程后，再引导学生探究它的解法。这样很轻松地找到新知识的切入点：用等式性质去分母，转化为整式方程再求解。因此，学生学的效果也较好。 我认为比较成功的 1、把思考留给学生，课堂教学试一试这个环节中，我把更多的思维空间留给学生。问题不轻易直接告诉学生答案，而由学生通过动手动脑来获得，从而发挥他们的主观能动性。我主要在做题方法上指导，思维方式上点拨。改变那种让学生在自己后面亦步亦趋的习惯，从而成为爱动脑、善动脑的学习者。 2、积极正确的引导，点拨。保证学生掌握正确知识，和清晰的解题思路。由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，如
何检验等都用多媒体形式给学生展示出来。还有在解分式方程过程中容易出现的问题都给学生做了强调。 3、及时检查纠正，保证学生认识到自己的错误并在第一时间内更正。学生在做题过程中我就在教室巡视，及时发现学生的错误，及时纠正。对于困难的学生也做个别辅导。 虽然在课堂上做了很多，但也存在许多不足的地方，这也是我在今后教学中应该注意的地方。第一，讲例题时，先讲一个产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是解分式方程与整式方程最大的区别所在，从而再强调解分式方程必须检验，不能省略不写这一步。第二，给学生的鼓励不是很多。鼓励可以让学生有充分的自信心。“信心是成功的一半”，“在今后的课堂教学中，应尊重其差异性，尽可能分层教学，评价标准多样化。多鼓励，少批评；多肯定，少指责。用动态的、发展的、积极的眼光看待每个学生，帮助他们树立自信心。赞美的力量是巨大的，有时，一句赞美的话，可以改变人的一生。一句肯定的话、一个赞许的点头、一张表示优胜的卡片，都是很好的鼓励，会起到意想不到的良好结果。 分式方程教学反思2 本节课的重点是探究分式方程的解法，我首先举一道一元一次方程复习其解法，然后通过解一道分式方程，启发引导学生参照一元一次方程的解法，由学生自己探索、归纳分式方程的解法。学生不是停留在会课本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境，使学生的思维得到发挥。 在教学设计上，以探究任务启发引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主探究的舞台，营造了锻练思维的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生探究、归纳的能力。在课堂教学中，我时时注意营造思维氛围，让学生在探究中学会思考、表达。 在本课的教学过程中，我认为应从这样的几个方面入手： 1.分式方程和整式方程的区别：分清楚分式分式方程必须满足的两个条件，⑴方程式里必须有分式，⑵分母中含有未知数。这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件。同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程
一、选择题 1．已知12x y -=3，分式4322x xy y x xy y +-+-的值为( ) A ． 3 2 B ．0 C ． 23 D ． 94 2．分式 x 2 2x 6 -- 的值等于0，则x 的取值是 A ．x 2= B ．x ?2=- C ．x 3= D ．x ?3=- 3．在式子： 2x 、5x y + 、12a - 、1x π-、21x x +中，分式的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．下列等式成立的是（ ） A ．|﹣2|=2 B ﹣1）0=0 C ．（﹣ 12 ）﹣1 =2 D ．﹣（﹣2）=﹣2 5．分式a x ，22x y x y +-，2 121 a a a --+，+-x y x y 中，最简分式有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．已知a ＜b 的结果是( ) A B C ． D ． 7．生物学家发现一种病毒的长度约为0.00 004mm ，0.00 004用科学记数法表示是（ ） A ．40.410-? B ．5410-? C ．54010-? D ．5410? 8．已知分式3 2 x x +-有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠-3 B ．x≠0 C ．x≠2 D ．x=2 9．将分式2 x x y +中的x 、y 的值同时扩大3倍，则 扩大后分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．缩小3倍 C ．保持不变 D ．无法确定 10．若分式5 5 x x -+的值为0，则x 的值为( ) A ．0 B ．5 C ．－5 D ．± 5 11．（下列化简错误的是（ ） A ）﹣1= 2 B =2 C 52 =± D ）0=1
《分式方程》的教学反思 王素娟 本节课作为分式方程的第一节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。 本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。本节教材中的引例分式方程较复杂，学生直接探索它的解法有些困难。我是从简单的整式方程引出分式方程后，再引导学生探究它的解法。这样很轻松地找到新知识的切入点：用等式性质去分母，转化为整式方程再求解。因此，学生学的效果也较好。 1、把思考留给学生，课堂教学试一试这个环节中，我把更多的思维空间留给学生。问题不轻易直接告诉学生答案，而由学生通过动手动脑来获得，从而发挥他们的主观能动性。我主要在做题方法上指导，思维方式上点拨。改变那种让学生在自己后面亦步亦趋的习惯，从而成为爱动脑、善动脑的学习者。 2、积极正确的引导，点拨。保证学生掌握正确知识，和清晰的解题思路。由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，如何检验等都用多媒体形式给学生展示出来。还有在解分式方程过程中容易出现的问题都给学生做了强调。 3、及时检查纠正，保证学生认识到自己的错误并在第一时间内更正。学生在做题过程中我就在教室巡视，及时发现学生的错误，及时纠正。对于困难的学生也做个别辅导。 虽然在课堂上做了很多，但也存在许多不足的地方，这也是我在今后教学中应该注意的地方。第一，讲例题时，先讲一个产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是解分式方程与整式方程最大的区别所在，从而再强调解分式方程必须检验，不能省略不写这一步。第二，给学生的鼓励不是很多。鼓励可以让学生有充分的自信心。“信心是成功的一半”，“在今后的课堂教学中，应尊重其差异性，尽可能分层教学，评价标准多样化。多鼓励，少批评；多肯定，少指责。用动态的、发展的、积极的眼光看待每个学生，帮助他们树立自信心。赞美的力量是巨大的，有时，一句赞美的话，可以改变人的一生。一句肯定的话、一个赞许的点头、一张表示优胜的卡片，都是很好的鼓励，会起到意想不到的良好结果。
考点跟踪训练4 分式及其运算 一、选择题 1．(2010·孝感)化简????x y －y x ÷x －y x 的结果是( ) A. 1y B. x ＋y y C.x －y y D ．y 答案 B 解析 原式＝x 2－y 2xy ·x x －y ＝(x ＋y )(x －y )xy ·x x －y ＝x ＋y y . 2．(2011·宿迁)方程2x x ＋1－1＝1x ＋1 的解是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B 解析 把x ＝2代入方程，可知方程左边＝43－1＝13，右边＝13 .∴x ＝2是方程的解． 3．(2011·苏州)已知1a －1b ＝12，则ab a －b 的值是( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 答案 D 解析 1a －1b ＝12，2b －2a ＝ab ，－2(a －b )＝ab ，所以ab a －b ＝－2. 4．(2011·威海)计算1÷1＋m 1－m ·()m 2－1的结果( ) A ．－m 2－2m －1 B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－1 答案 B 解析 原式＝1×1－m 1＋m ×(m ＋1)(m －1)＝－(m －1)2＝－m 2＋2m －1. 5．(2011·鸡西)分式方程x x －1－1＝m (x －1)(x ＋2) 有增根，则m 的值为( ) A ．0和3 B ．1 C ．1和－2 D ．3 答案 D 解析 去分母，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝m ，当增根x ＝1时，m ＝3；当增根x ＝－2 时，m ＝0，经检验，当m ＝0时，x x －1 －1＝0.x ＝x －1，方程无解，不存在增根，故舍去m ＝0.所以m ＝3. 二、填空题 6．(2011·嘉兴)当x ______时，分式13－x 有意义． 答案 ≠3 解析 因为分式有意义，所以3－x ≠0，即x ≠3. 7．(2011·内江)如果分式3x 2－27x －3 的值为0，那么x 的值应为________． 答案 －3 解析 分母x －3≠0，x ≠3；分子3x 2－27＝0，x 2＝9，x ＝±3，综上，x ＝－3. 8．(2011·杭州)已知分式x －3x 2－5x ＋a ，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝________；当x <6时，使分式无意义的x 的值共有________个． 答案 6,2
《分式》复习提纲 考点1. 分式的概念 1、下列各有理式 π y y x y x y x x y xy y x x x ,31),(23,,53,81,4,23,822++-+---中，分式的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 考点2. 分式的意义 分式：B A (A ， B 都是整式，且B 中含有字母，B ≠0) ① 分式有意义? ；② 分式无意义? ；③ 分式值为零? 1、若分式3 2-x 有意义，则x__________ 2、 要使分式) 5)(32(23-+-x x x 有意义，则（ ） A. x ≠23- B. x ≠5 C. x ≠23-且x ≠5 D. x ≠2 3-或x ≠5 ? 3、 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ） A ． 112++a a B. 12+a a C. 112++a a D. 21a a + 4、分式324 x x +-当x 时有意义；当x 时分式没有意义；当x 时分式的值为零。 5、当x 时，分式2 52++x x 的值是零；当x 时，分式242--x x 的值是零； 当x 时，分式x x -+22 的值是零 考点3、最简公分母、最简分式 1、分式ac b b c a ab c 3,2,2--的最简公分母是 ；分式13x ，11x x +-，225(1)xy x -的最简公分母为________ 2、下列分式中是最简分式的是（ ） A. 122+x x B. x 24 C. 1 12--x x D. 11--x x 3、下列分式中是最简分式的是（ ） { A. 2 2 2)(y x y x -- B. 2x xy - C. xy x y x ++2 D. 22-+x x 考点4、分式的基本性质 1. 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
9.3较复杂的分式方程解法教学设计 一、教学目标 （一）、知识与能力目标 1．使学生了解较复杂的分式方程的特点，熟悉两种技巧解法---通分法、拆项法。 2．分式方程的解法及化归思想。 3、理解分式方程必须验根的原因。 （二）、 过程与方法目标 通过合作探究，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号感，通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题。 （三）情感与价值目标 培养学生严谨的思维能力。 在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。 二、教学重点 分式方程的技巧解法---通分法、拆项法。 三、教学难点 准确认识较复杂的分式的特征，灵活运用通分法和拆项法。 四、教学方法:分组讨论。 五、教学方法 启发式设问和同学分组讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握较复杂的分式方程解法。 六、教学过程 方法指导 对于较简单的分式方程，常用去分母的解法，对于较复杂的分式方程用常用的解法很麻烦,若能针对题目特点，打破常规，另觅路，往往会化难为易, 化繁为简。 这节课来学习较复杂的分式方程的两种解法：通分法和拆项法。 注意：不论采用何种方法，解分式方程都有一步不可缺少的步骤 —— 检验。 一、通分法 误解： 解得：x=0 经检验x=0是原方程的根。 ∴次方程无解 注意：解方程时，如果等式两边含有未知数的相同因式，那么这些因式不能约去，否则将会产生失根。 例1：解方程 2 2 1122+- =-x x x ()() 1222-=+x x x x x x x x -=+222422 122+= -x x x x 21122+= -x x 1 242-=+x x
《分式方程》教学设计 泰来县江桥镇中心学校潘艳梅 一、教学目标： （一）、知识与技能： 1、理解分式方程的意义； 2、了解解分式方程的基本思路和解法； 3、理解解分式方程时可能产生增根的原因。 （二）、过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。 （三）、情感态度：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。 二、教学重、难点： 重点：分式方程的概念和解分式方程的基本步骤； 难点：理解解分式方程时可能产生增根的原因。 三、教学过程设计： （一）回顾旧知 师生在和谐的气氛之下共同回忆以下内容： （1）大家还记得我们以前学过什么方程吗？ （2）你会解一元一次方程吗？ 例如：3x+7=2 0.5x-0.7=6.5-1.3x （3）解二元一次方程组的主要思想是什么？
设计意图：通过以上三个问题让学生投入到方程的世界，也为学生能够自己通过知识的迁移突破本节课的重点做一个铺垫. （二）、创设情景、导入新课 出示问题情境：小明与小亮进行百米赛跑。当小明到达终点时，小亮离终点还有5m ，如果小明比小亮每秒多跑0.35m ，你知道小明百米跑的平均速度是多少吗？ (1)设小明百米跑的平均速度为x m/s,那么，小亮百米跑的平均速度是__________m/s （2）小明跑100m 用的时间等于小亮跑_____________m 所用时间。 师： 同学们，你能解决这个问题吗？ （二）激发兴趣，初次探究 （学生交流、讨论，板演所列方程）： 解：设小亮的速度是 x 米∕秒,由题意得：x 5100- = x +35.0100 师：这种类型的方程，我们以前接触过吗？那我们以前曾学过哪几类方程？你能举出几个例子吗？ 生1：我们学过一元一次方程； 如：1653=+x x ， 13 2253-=+x x ，等。 生2：还有二元一次方程；如：402=+y x ，214332=+n m ，等。 师：仔细观察，这些方程的两边都是怎样的式子？ 生齐答：是整式。 师：我们把这些方程都叫做整式方程。那么，我们刚才所列的方程 x 5100- = x +35.0100与这些整式方程有什么区别？ 生1：这个方程的未知数在分母里。 生2：这个方程的分母中含有未知数。
中考数学专题复习：分式 【基础知识回顾】 一、分式的概念 若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式 【名师提醒：①：若则分式A B 无意义 ②：若分式A B =0，则应且】 二、分式的基本性质 分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。 1、a m a m ? ? = a m b m ÷ ÷ = （m≠0） 2、分式的变号法则 b a - = b 3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。 约分的关键是确保分式的分子和分母中的 约分的结果必须是分式 4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分 通分的关键是确定各分母的 【名师提醒：①最简分式是指 ②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分 ③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】 三、分式的运算： 1、分式的乘除 ①分式的乘法：b a . d c = ②分式的除法：b a ÷ d c = = 2、分式的加减
①用分母分式相加减：b a ± c a = ②异分母分式相加减：b a ± d c = = 【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程 ②异分母分式加减过程的关键是】 3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(b a )m = 1、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。 2、分式求值：①先化简，再求值。 ②由值的形式直接化成所求整式的值 ③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中 【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式 ②分式运算的结果，一定要化成 ③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入】[] 【重点考点例析】 考点一：分式有意义的条件 例1 （?宜昌）若分式 2 1 a 有意义，则a的取值范围是（） A．a=0 B．a=1 C．a≠－1 D．a≠0 思路分析：根据分母不等于0列式即可得解． 解：∵分式有意义， ∴a+1≠0， ∴a≠－1． 故选C． 点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零； （2）分式有意义?分母不为零； （3）分式值为零?分子为零且分母不为零． 对应训练 1．（?湖州）要使分式1 x 有意义，x的取值范围满足（）
分式考点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、π xy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145 b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： （1）使分式有意义：令分母≠0按解方程的方法去求解； （2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解； 注意：（12 +x ≠0） 例1：当x 时，分式 51-x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式12+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5x x - 例7：使分式2+x x 有意义的x 的取值围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 分式方程教学设计 ●教学目标 （一）教学知识点 1.解分式方程的一般步骤. 2.了解解分式方程验根的必要性. （二）能力训练要求 1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤. 2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径. （三）情感与价值观要求 1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度. 2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信. ●教学重点 1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决. 2.明确解分式方程验根的必要性. ●教学难点 明确分式方程验根的必要性. ●教学方法 探索发现法 学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性. ●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程. 解方程(3x-1)/2+(5x+2)/3=2-(4x-2)/6 ［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得 3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）. （2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2, （3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4, （4）合并同类项（5）使x的系数化为1 Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法 ［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.（出示投影片§3.4.2 A） ［例1］解方程：1/(x-2) = 3/x （1） ［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？ ［师］同学们说他的想法可取吗？ ［生］可取. ［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？ ［生］乘以分式方程中所有分母的公分母. 一、选择题 1．纳米是一种长度单位，1纳米=10-9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ） A ．43.510?米 B ．43.510-?米 C ．53.510-?米 D ．93.510-?米 2．下列判断错误．．的是（ ） A ．当23x ≠ 时，分式1 32 x x +-有意义 B ．当a b 时，分式 22 ab a b -有意义 C ．当1 2x =-时，分式214x x +值为0 D ．当x y ≠时，分式22 x y y x --有意义 3．计算2 21 93x x x +--的结果是（ ） A ． 13 x - B ． 13 x + C ． 13x - D ． 233 9 x x +- 4．下列各式中，正确的是（ ）． A ． 11 22 b a b a +=++ B ．2 21 42 a a a -=-- C ．22 11 1(1)a a a a +-=-- D ． 11b b a a ---=- 5．下列变形正确的是（ ）． A ． 1a b b ab b ++= B ．22 x y x y -++=- C ．22 2 ()x y x y x y x y --=++ D ． 231 93x x x -=-- 6．下列各式中的计算正确的是（ ） A ．2 2b b a a = B ． a b a b ++=0 C ．a c a b c b +=+ D ． a b a b -+-=-1 7．已知a ＜b 的结果是( ) A B C ． D ． 8．计算正确的是（ ） A ．（﹣5）0=0 B ．x 3+x 4=x 7 C ．（﹣a 2b 3）2=﹣a 4b 6 D ．2a 2?a ﹣1=2a 9．生物学家发现一种病毒的长度约为0.00 004mm ，0.00 004用科学记数法表示是（ ） A ．40.410-? B ．5410-? C ．54010-? D ．5410? 10．2018年3月3日，新浪综合网报道：“中科院发明首个抗癌DNA 纳米机器人，可精准阻断肿瘤血管饿死肿瘤!”．中国科学家团队研发出的这种可编程、基于 DNA 折纸技术的纳米机器人大小只有90× 60×2nm ，nm 是长度计量单位，1nm=0.000000001米，则2nm 用 讲义编号： ______________ 副校长/组长签字：签字日期： 【考纲说明】 掌握分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行约分和通分，本部分在中考中通常会以选择题的形式出现，占3--4分。 【趣味链接】 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇. 尔后两人都用原来速度继续前进，结果甲达到B地比乙达到A地早1小时21分.已知甲每小时比乙多走1千米，求甲、乙两人的速度。 【知识梳理】 分式 1.分式的概念：形如（A、B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.其中，A叫分式的分子，B叫分式的分母. 2.分式有意义的条件：因为两式相除的除式不能为零，即分式的分母不能为零，所以，分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义. 3．分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可. 有理式 有理式的分类：有理式 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示为：（其中M≠0） 约分和通分 1．分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分. 2．分式的通分：把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分. 最简分式与最简公分母： 约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式.取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母. 【经典例题】 【例1】不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ） A．10 B．9 C．45 D．90 【例2】下列等式：①=-;②=;③=-; ④=-中,成立的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【例3】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（? ） A． B． C． D． 【例4】分式，，，中是最简分式的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 八年级《分式方程》教学案例 设计思想 分式方程是学习一元一次方程及分式四则运算之后的一节课，是刻画现实世界的有效模型，在数与代数中占有重要地位。分式方程与实际生活密切联系，能很好体现数学来源于生活，体现数学的价值，能帮助学生从数量关系角度更准确清晰地认识、描述和把握现实世界，让学生完善知训结构，提高计算能力获取必要的数学能力。本节设计了分小组竞赛的方法，提高了学生的参于面和参于度，是本节重要环节。 教材分析 本节是人教版八年级数学下册第16.3节《分式方程》第一课时的内容，本节教材是在学生学习了分式的基本性质和分式的约分、通分，以及分式的乘除法运算基础之上进行的。本节的教学要引导学生对分式方程与整式方程进行类比、对照，给学生渗透数学中的转化思想，并且要让学生通过分式的意义及分式的基本性质，理解分式方程无解的原因，让学生在比较、探究中达到知识能力、过程和方法，情感态度价值观三个难度的全面落实。 学情分析 学生在已经学习了一元一次方程，明确了解整式方程的方法步聚以后来学习分式方程。八年级学生已具有一定的类比、分析、归纳能力，但是思维严谨性仍相对较弱，虽然他们喜爱学习活泼的内容，并乐于用自已的方式去发现、去学习，但还需老师一定的引导，学生已经学习了分式的意 义，这对理解分式方程可能无解有所帮助。 教学目标 1、知识目标：理解分式方程的意义，了解解分式方程的思路和步聚，理解分式方程可能无解的原因，掌握验根的方法。 2、情感目标：在小组学习中，培养学生乐于探究、合作学习的习惯，体会用数学的成就感。 3、能力目标：经历“实际问题－分式方程－整式方程”的过程，培养学生解决问题的能力，渗透数学转化思想，培养学生应用意识。 教学重点与难点： 重点：分式方程的概念和解分式方程的基本步聚； 难点：理解分式方程有时无解的原因。 教学策略与手段： 认知分式方程及其解法，我运用探究式教学方法，真正体现以学生为主体，启发引导学生发现问题，解决问题的方法，注重知识的形成过程，教学中采用互动学习模式，通过小组合作、讨论、展示、竞赛、评价等活动实现互动，创造民主的课堂氛围。 教学过程： 导入新课：“同学们，今天我们的学习从一个实际问题开始。大家看屏幕，（利用多媒体展示问题，）看谁能又快又对列出方程”，“一艘轮船在静水中的航速为20千米/时，它沿江顺流航行100千米所用的时间与它逆流60千米的时间相等，问江水的流速为多少千米/小时（大约展示5分钟） 中考《分式及分式方程》计算题、答案 一．解答题（共30小题） 1．（2011?自贡）解方程：． 2．（2011?孝感）解关于的方程：． 3．（2011?咸宁）解方程． 4．（2011?乌鲁木齐）解方程：=+1． 5．（2011?威海）解方程：． 6．（2011?潼南县）解分式方程：． 7．（2011?台州）解方程：． 8．（2011?随州）解方程：． 9．（2011?陕西）解分式方程：． 10．（2011?綦江县）解方程：． 11．（2011?攀枝花）解方程：． 12．（2011?宁夏）解方程：． 13．（2011?茂名）解分式方程：． 14．（2011?昆明）解方程：． 15．（2011?菏泽）（1）解方程： （2）解不等式组． 16．（2011?大连）解方程：． （2011?常州）①解分式方程；．17． ②解不等式组． 18．（2011?巴中）解方程：． 0﹣1﹣（）+tan60°；|﹣2|+（+1））计算：19．（2011?巴彦淖尔）（1（2）解分式方程：=+1． 20．（2010?遵义）解方程： 21．（2010?重庆）解方程：+=1 22．（2010?孝感）解方程：． 23．（2010?西宁）解分式方程： 24．（2010?恩施州）解方程： 25．（2009?乌鲁木齐）解方程： 26．（2009?聊城）解方程：+=1 27．（2009?南昌）解方程： 28．（2009?南平）解方程： 29．（2008?昆明）解方程： 30．（2007?孝感）解分式方程：． 答案与评分标准小题）一．解答题（共30．（2011?自贡）解方程：．1：解分式方程。考点：计算题。专题． 分析：方程两边都乘以最简公分母y（y﹣1），得到关于y的一元一方程，然后求出方程的解，再把y的值代入最简公分母进行检验． 解答：解：方程两边都乘以y（y﹣1），得 2，﹣1）﹣1）（3y（2y+y（y﹣1）=y222﹣+y﹣y=3y4y+1，2y3y=1，解得y=，1）=﹣≠0，y 检验：当y=时，y（﹣1）=×（﹣∴y=是原方程的解，∴原方程的解为y=．）2把分式方程转化为整式方程求解．（点评：本题考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，解分式方程一定注意要验根． （2011?孝感）解关于的方程：．．2考点：解分式方程。专题：计算题。，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．1x+3）（x﹣）分析：观察可得最简公分母是（，得）（x﹣1）解答：解：方程的两边同乘（x+3（，x+3））=（x+3（x﹣1）+2）（xx﹣1，整理，得5x+3=0x=﹣．解得）≠0．）﹣代入（x+3（x﹣1检验：把x=x=∴原方程的解为：﹣．）2把分式方程转化为整式方程求解．（解分式方程的基本思想是“转化思想”，本题考查了解分式方程．点评：（1）解分式方程一定注意要验根． （2011?咸宁）解方程．3．考点：解分式方程。专题：方程思想。，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．）2﹣x（）x+1观察可得最简公分母是（分析： 解答：解：两边同时乘以（x+1）（x﹣2），分式方程教学计划
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