高中数学极值点偏移问题

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-- 极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组:赵拥权

一:极值点偏移（俗称峰谷偏)问题的定义

对于可导函数在区间（ａ,b)上只有一个极大(小）值点,方程(f（x)=m）的解分别为且<

则称函数ｆ（x)在区间(a,b)上极值点偏移；

（1） 则称函数f（x）在区间（a，b)上极值点偏移;

（2） 则称函数ｆ(ｘ)在区间（ａ,ｂ)上极值点偏移;

二:极值点偏移的判定定理ﻩ

对于可导函数在区间(a，b）上只有一个极大(小)值点,方程的解分别为且<

（1） 若则即函数f(x)在区间(a,b）上极大值点右偏;（即峰偏右）

（2） 若则即函数f(x)在区间上（a,b）极小值点左偏;（即谷偏左)

（3） 若则即函数f(x)在区间上(a,ｂ）极大值点左偏;（即峰偏左)

（4） 若则即函数f（x）在区间上（a，b)极小值点右偏;（即谷偏右）

ﻫ

x= x＝

ﻩy＝m

ﻩx

ｙ＝f(x) x= x=

--

--

拓展:

1） 若)()(xbfxaf,则)(xf的图象关于直线2bax对称；特别地,若)()(xafxaf（或f(x)=f(2a-ｘ）），则)(xf的图象关于直线ax对称

2） 若函数f(ｘ)满足有下列之一成立：

①f(x）在递增,在(a,2ａ)递减，且ｆ(a-ｘ）＜(>)f(ａ+x）(f(x)<(＞)f（2a-x））

②f(x)在（０，a)递减，在(a,2a)递增,且f(ａ-x)>(<)f(x+ａ)(f(x）＞（<)f(2a－x））

则函数ｆ（ｘ）在（0，2ａ)的图象关于直线x=a偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数）其中①

极大值左偏(或右偏)也称峰偏左（或右)②极小值偏左（或偏右)也称谷偏左(或右)；

性质:

1)

)(xf的图象关于直线ax对称若则 ＜=>，(＝0,);

２)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左)若则则,及

极值点偏移解题步骤：

①求函数ｆ(x)的极值点；

②构造函数F(x）=ｆ(x+)－f( (F(ｘ)=ｆ(）-ｆ(, F（x)=f(x+)-ｆ( ,

Ｆ(x）=f(x)-f()确定Ｆ(x)单调性

③结合F（０)＝0（F(－)=0，F(判断F(x)符号从而确定f（x+),f(( f(ｘ+)--

-- 与f（ f(x)与f(的大小关系;

答题模式:

已知函数y=ｆ（ｘ)满足,为函数y=f(x)的极值点,求证:

①求函数ｆ(ｘ)的极值点;

②构造函数Ｆ(x)=ｆ(x＋)－f( 确定F(x）单调性

③判断F(x)符号从而确定f(x+),f（ 的大小关系;

假设Ｆ(ｘ)在（0，＋单调递增则F(ｘ)>Ｆ(０)=0,从而得到x>0时f(x+)>f(

④

1.(２０16年全国Ｉ高考)已知函数有两个零点. 设ｘ1,x2是的两个零点，证明:+x2<２.

2. (2010年高考天津卷理科2１）(本小题满分１4分）

已知函数f(x）=xｅ-x(xR)．

(Ⅰ) 求函数f(x）的单调区间和极值；

(Ⅱ）已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(ｘ)的图象关于直线x=1对称,证明当x>1时，ｆ(ｘ)>ｇ(x)

(Ⅲ)如果12,xx且12()(),fxfx证明122xx

证明：由题意可知g（x)=ｆ(2-x),得ｇ(x)=(2-ｘ)2xe

令F(x)=f(ｘ）-g（ｘ),即2()(2)xxFxxexe

于是22'()(1)(1)xxFxxee

当x>1时,2x-2>0,从而2x-2e10,0,Fxe又所以’(x)>0，从而函数Ｆ（x）在[１,+∞)是增函数。

又F(1)=-1-1ee0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x）>g(x).

Ⅲ)证明:（１） --

-- 若121212(1)(1)0,)),1.xxxxxx12由（）及f(xf(x则与矛盾。

（2)若121212(1)(1)0,)),.xxxxxx12由（）及f(xf(x得与矛盾。

根据(1）(2）得1212(1)(1)0,1,1.xxxx不妨设

由(Ⅱ)可知,)2f(x>)2g(x,则)2g(x=)2f(2-x,所以)2f(x>)2f(2-x,从而)1f(x>)2f(2-x.因为21x，所以221x,又由(Ⅰ）可知函数f(ｘ)在区间(-∞，1)内事增函数，所以1x＞22x,即12xx＞２.

3． 已知函数xaaxxxf)2(ln)(2.（I）讨论)(xf的单调性；

(II）设0a,证明：当ax10时，)1()1(xafxaf;

(III）若函数)(xfy的图像与x轴交于A，B两点,线段ＡB中点的横坐标为x0，证明:f（x0）<0．

解：（I)()(0,),fx的定义域为 1(21)(1)()2(2).xaxfxaxaxx

（i)若0,()0,()(0,)afxfx则所以在单调增加．

(ii）若10,()0,afxxa则由得且当

11(0,),()0,,()0.xfxxfxaa时当时

所以1()(0,)fxa在单调增加,在1(,)a单调减少.

（II)设函数11()()(),gxfxfxaa则

3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111gxaxaxaxaaaxgxaaxaxax

当10,()0,(0)0,()0xgxggxa时而所以．

故当10xa时,11()().fxfxaa ………………8分

（ＩＩI)由(I)可得，当0,()ayfx时函数的图像与x轴至多有一个交点,

故0a，从而()fx的最大值为11(),()0.ffaa且 --

-- 不妨设1212121(,0),(,0),0,0.AxBxxxxxa则

由(ＩI)得111211()()()0.fxfxfxaaa从而1221021,.2xxxxxaa于是

由(Ｉ）知，0()0.fx

４．已知函数 （m若ｆ(ｘ)有两个极值点且求证::

5. 已知函数

=（ａ若f(x）有两个不同零点且其极值点为求证:①

②

③

(已知函数 =（a ，其图象与轴交于A(）B()两点且求证:）

６. 已知函数 =（a若f（x)有两个不同零点且

求证:

７. 已知函数 ＝(ａ若f(x)有两个不同零点且求证:-１

8. 已知函数 = ｆ(求证:① --

-- ②

９．已知函数 =（a若f(x)有两个不同零点且

求证:

10. 已知函数 = f(求证:

11. 已知函数 =(a若ｆ（ｘ）有两个不同零点且求证：

12. 已知函数 =(ａ若f(x)＝c有两个不同根求证:

13． 已知函数 =（a

①令g(x)在（0,3)单调递增求a范围；

②当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx的图象与轴交于Ａ(B(且又是h(ｘ)导函数，满足证明

１４．已知函数 （k

①若;

②若对都有f(x)求k范围;

③若且 f(证明：；

１5. 已知函数(a

① --

-- ②f（x)的极值点为若存在且求证:;

1６. 已知函数 （ａ)；

①

② 若f(x) 存在两个极值点，证明: ;

17. 已知函数与g(x)=3-在（1,１)处有相同切线;

①若y＝2（x+n） 与ｙ=ｆ(x）图象有两个交点,求n范围;

②若两个极值点,证明：；

1８. 已知函数（a

①

②若f(ｘ)=g(x)+（a+1）有两个不同零点, 证明：;

19. 已知函数 ,(a;

①

②若f(ｘ)=lｎg(x)-a 与ｙ=m,(m图象有两个交点A、Ｂ,线段A、B中点为证明：;

2０. 已知函数图象的一条切线为x轴;

①求a值；

②令ｇ(ｘ)=若存在满足证明:

21． 已知函数Ｆ（x)与f(x)=lnｘ关于直线y＝x对称;

①若xｆ（x)对恒成立,求a最大值； --

-- ②设f(x)在（１，）的实根

，若在区间（1,)上存在求证：

２2．已知函数， (a；

①若函数ｆ(x)的图象在ｘ=０处的切线方程为ｙ=2ｘ+ｂ,求a,b的值

②若函数f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;

③如果函数g(x)＝ｆ（ｘ)-(a-恰有两个不同的极值点证明:;

2３．已知函数-(ａ-2)ｘ－aｌnｘ (a；

①

②设函数若使得成立求实数a取值范围;

③若方程f(x）=ｃ有两个不等的实数根,求证:

2４. 已知函数

①若使得对上ｆ(ｘ)恒成立求实数a的取值范围;

②若ｇ（x)=f(x)－ａx－有两个不同零点求证：;

２5.已知函数

①当时讨论ｙ＝f(ｘ)在）上的单调性;

②y=ｆ(x)有两个不同零点且求证： --

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