6.1_空间曲面及其方程__多元函数

xx
o
y yΒιβλιοθήκη 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 .
可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.
(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到。)
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内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
( x 2) ( y 1) ( z 4) 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
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思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
F ( x, y , z ) 0
z
S
o
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).

常见的空间曲⾯与⽅程常见的空间曲⾯与⽅程常见的空间曲⾯有平⾯、柱⾯、锥⾯、旋转曲⾯和⼆次曲⾯。

1. 平⾯空间中平⾯的⼀般⽅程为0a x b y c zd +++=其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。

例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表⽰空间中的平⾯，zyoz 平⾯（x =0） y y x图8-6（a ）图8-6 (b)图8-62. 柱⾯与给定直线L 平⾏的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲⾯，称为柱⾯，l 为母线，C 为准线。

如图8-7所⽰图8-7 图8-8例如，222x y R +=表⽰空间中母线平⾏于z 轴，准线是xoy 平⾯上的圆222x y R +=的圆柱⾯的⽅程，简称圆柱⾯图（8-8）。

3. ⼆次曲⾯三元⼆次⽅程2221231231230a x a y a z b x yb y z b z xc x c y c zd+++++++++= 所表⽰的曲⾯称为⼆次曲⾯，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0.⼆次曲⾯有以下⼏种标准形式，它们分别为：球⾯：图8-9 椭球⾯：2222221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10图8-9 图8-10单叶双曲⾯：2222221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11双叶双曲⾯：2222221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R ++=>xz图8-11 图8-12⼆次锥⾯： 2222220(,,0)x y z a b c a b c +-=>图8-13椭圆抛物⾯： 22222(,0)x y z a b a b +=>图8-14双曲抛物⾯（马鞍⾯）22222(,0)x y z a b a b-=->图8-15xyzO图8-13 图8-14 图8-15 锥⾯xyzyOyxxzOz2222(z a x y =+z =±。

(x a 2 ) y
2 2
a
2
4
O
圆柱面（如图） 交线为蓝色部分（如图）
x
y
4
空间曲线及其方程
二、空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
空间曲线的参数方程
当给定 t t 1时 ,
就得到曲线上的一个点
( x 1 , y 1 , z 1 ),
: 0 0
t
x

上升的高度与转过的角度成正比. 即
z:
A
M
y
b 0 b 0 b
2 ,
上升的高度 h 2 b 螺距
7
空间曲线及其方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
13
想一想 在xOz平面上的投影呢?
空间曲线及其方程
选择题
1.曲线
2 2 x2 y z 1 16 4 5 x 2z 3 0
在xOy面上的投影柱面方程是(A ).
( A ) x 20 y 24 x 116 0
2 2
( B ) 4 y 4 z 12 z 7 0
1 z 2 x 0 | y | 3 2
11
空间曲线及其方程
与平面 x 2 y 例 求椭圆抛物面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.
y z x 解 交线方程为 x 2y z 0
2 2
y z x
2 2
z 0
(1) (2) (3)
第四节
空间曲线及其方程

多元函数微分学》名师教案,新课+复习,全突破分享第一章：多元函数的概念与基本性质1.1 多元函数的定义与图形表示1.2 多元函数的极限与连续性1.3 多元函数的偏导数与全导数1.4 多元函数的泰勒公式与极值问题第二章：多元函数的微分学2.1 多元函数的微分概念2.2 多元函数的链式法则2.3 多元函数的偏导数计算规则2.4 多元函数的隐函数求导与参数方程求导第三章：多元函数的积分学3.1 多元函数的二重积分概念3.2 二重积分的计算法则与性质3.3 多元函数的三重积分与四重积分3.4 多元函数的定积分与不定积分第四章：多元函数的极值与优化问题4.1 多元函数的极值概念与判定条件4.2 多元函数的极值求解方法4.3 多元函数的最大值与最小值问题4.4 多元函数优化问题的应用实例第五章：多元函数微分学的应用5.1 多元函数微分学在几何中的应用5.2 多元函数微分学在物理中的应用5.3 多元函数微分学在经济中的应用5.4 多元函数微分学在其他领域的应用第六章：向量分析简介6.1 向量的定义与运算6.2 向量场与散度6.3 向量场的旋度6.4 向量分析的应用第七章：线性代数与多元函数微分学7.1 矩阵与行列式的基础知识7.2 向量空间与线性变换7.3 特征值与特征向量7.4 线性代数在多元函数微分学中的应用第八章：重积分与多重积分8.1 重积分的定义与性质8.2 二重积分的计算法则8.3 三重积分与四重积分8.4 多重积分的应用第九章：曲线与曲面的微分学9.1 曲线与曲面的表示方法9.2 曲线的切线与法线9.3 曲面的切平面与法线平面9.4 曲率与曲率公式第十章：隐函数与参数方程的微分学10.1 隐函数微分学的基本原理10.2 参数方程微分学的基本原理10.3 隐函数与参数方程微分学的应用10.4 复杂曲面的微分学问题第十一章：多元函数微分学在实际问题中的应用11.1 多元函数微分学在工程中的应用11.2 多元函数微分学在生物学中的应用11.3 多元函数微分学在经济学中的应用11.4 多元函数微分学在其他科学领域的应用第十二章：多元函数微分学的进一步研究12.1 多元函数微分学的推广12.2 多元函数微分学的新发展12.3 多元函数微分学与其他数学分支的融合12.4 多元函数微分学的前沿问题第十三章：多元函数微分学的教学策略与方法13.1 多元函数微分学的教学目标与方法13.2 多元函数微分学的教学难点与对策13.3 多元函数微分学的教学实践与反思13.4 多元函数微分学的教学资源与工具第十四章：多元函数微分学的测试与评估14.1 多元函数微分学的考试与评估方法14.2 多元函数微分学的试题设计与分析14.3 多元函数微分学的解题策略与技巧14.4 多元函数微分学的学业评价与反馈第十五章：多元函数微分学的教学研究与发展15.1 多元函数微分学的教学研究方法与途径15.2 多元函数微分学的国内外教学现状与发展趋势15.3 多元函数微分学的教学改革与创新15.4 多元函数微分学的教育技术应用与展望重点和难点解析本文教案主要涵盖了多元函数微分学的概念、性质、计算方法及其在各个领域的应用。