高考一轮复习 集合与简易逻辑

第一章 集合与简易逻辑 §1.1 集合的概念及其基本运算基础自测1.（2008· 山东理，1）满足M ⊆{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.4答案 B2.（2009·成都市第一次诊断性检测）设集合A={}N ,21|∈≤<-x x x ，集合B={}3,2，则A B 等于 （ ）A.{}3,2,1 B.{}3,2,1,0 C.{}2 D.{}3,2,1,0,1- 答案 B3.设全集U={}7,5,3,1，集合M={},|5|,1-a M ⊆U ，U M={}7,5，则a 的值为 （ ） A.2或-8 B.-8或-2 C.-2或8 D.2或8答案 D4.(2008·四川理，1)设集合U={},5,4,3,2,1A {},3,2,1=B {},4,3,2=则U （A B ）等于 （ ） A.{}3,2 B.{}5,4,1 C.{}5,4 D.{}5,1 答案 B5.设U 为全集，非空集合A 、B 满足A B ，则下列集合为空集的是 （ ） A.A B B.A (U B ）C.B (U A ） D.（U A ） （U B ）答案B例1 若a,b ∈R ,集合{},,,0,,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a 求b-a 的值.解 由{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1可知a ≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+10b a a b b a ①或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+10ab a b b a ② 由①得,11⎩⎨⎧=-=b a 符合题意；②无解.所以b-a=2. 例2 已知集合A={}510|≤+<ax x ，集合B=.221|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-x x(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3)A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由. 解 A 中不等式的解集应分三种情况讨论： ①若a=0，则A=R ;②若a ＜0，则A=;14|⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<≤a x a x③若a ＞0，则A=,41|⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-a x a x(1)当a=0时，若A ⊆B ，此种情况不存在.当a ＜0时，若A ⊆B ，如图，则,21214⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<，218a a ∴a ＜-8. 当a ＞0时，若A ⊆B ，如图，则,24211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-a a ∴.22⎩⎨⎧≥≥a a ∴a ≥2.综上知，此时a 的取值范围是a ＜-8或a ≥2. (2)当a=0时，显然B ⊆A ；当a ＜0时,若B ⊆A ，如图，则，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤21214a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧->-≥,218a a ∴-21＜a ＜0;当a ＞0，若B ⊆A ，如图， 则,24211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-a a ∴,22⎩⎨⎧≤≤a a ∴0＜a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，-.221≤<a （3）当且仅当A 、B 两个集合互相包含时，A=B. 由（1）、（2）知，a=2.例3（12分）设集合A={},023|2=+-x x x B {}.0)5()1(2|22=-+++=a x a x x （1）若A B {},2=求实数a 的值； （2）若A B=A ，求实数a 的取值范围；（3）若U=R ，A （U B ）=A.求实数a 的取值范围.解 由x 2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={}.2,1 （1）∵A B {},2=∴2∈B ，代入B 中的方程， 得a 2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;1分当a=-1时，B={}{},2,204|2-==-x x 满足条件； 当a=-3时，B={}{},2044|2==+-x x x 满足条件；综上，a 的值为-1或-3. 3分 （2）对于集合B ，∆=4（a+1）2-4(a 2-5)=8(a+3).∵A B=A ，∴B ⊆A,①当∆＜0,即a ＜-3时，B=∅，满足条件； ②当∆=0，即a=-3时，B={}2，满足条件；③当∆＞0，即a ＞-3时，B=A={}2,1才能满足条件， 5分 则由根与系数的关系得⎩⎨⎧-=⨯+-=+521)1(2212a a 即,7252⎪⎩⎪⎨⎧=-=a a 矛盾； 综上，a 的取值范围是a ≤-3. 7分 （3）∵A （U B ）=A ，∴A⊆U B ，∴A ;∅=B 8分①若B=∅，则∆＜03-<⇒a 适合；②若B ≠∅，则a=-3时，B={}2，A B {}2=，不合题意；a ＞-3，此时需1∉B 且2.B ∉将2代入B 的方程得a=-1或a=-3（舍去）； 将1代入B 的方程得a 2+2a-2=0.31±-=⇒a∴a ≠-1且a ≠-3且a ≠-1.3± 11分 综上，a 的取值范围是a ＜-3或-3＜a ＜-1-3或-1-3＜a ＜-1或-1＜a ＜-1+3或a ＞-1+3. 12分 例4 若集合A 1、A 2满足A 1 A 2=A ，则称（A 1，A 2）为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，（A 1，A 2）与（A 2，，A 1）为集合A 的同一种分拆，则集合A={}3,2,1的不同分拆种数是 （ ） A.27 B.26 C.9 D.8 答案A1.设含有三个实数的集合可表示为{},2,,d a d a a ++也可表示为{},,,2aq aq a 其中a,d,q ∈R ,求常数q. 解 依元素的互异性可知，a ≠0,d ≠0，q ≠0,q ≠1±.由两集合相等，有（1）⎩⎨⎧=+=+22,aqd a aq d a 或（2）⎩⎨⎧=+=+.2,2aq d a aq d a 由（1）得a+2a （q-1）=aq 2,∵a ≠0, ∴q 2-2q+1=0,∴q=1(舍去).由（2）得a+2a(q 2-1)=aq,∵a ≠0,∴2q 2-q-1=0,∴q=1或q=-.21∵q ≠1, ∴q=-,21综上所述,q=-.212.（1）若集合P={},06|2=-+x x x S {},01|=+=ax x 且S ⊆P,求a 的可取值组成的集合； （2）若集合A={},52|≤≤-x x B {},121|-≤≤+=m x m x 且B A ⊆，求由m 的可取值组成的集合. 解 （1）P={}.2,3-当a=0时，S=∅，满足S ⊆P ； 当a ≠0时，方程ax+1=0的解为x=-,1a为满足S ⊆P,可使31-=-a 或,21=-a 即a=31或a=-.21故所求集合为.21,31,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧- （2）当m+1＞2m-1，即m ＜2时，B=∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则,51221,121⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+m m m m 即⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥3,32m m m ∴2≤m ≤3. 综上所述，m 的取值范围为m ＜2或2≤m ≤3,即所求集合为{}.3|≤m m3.已知集合A={},R ,01)2(|2∈=+++x x a x x B {}0|R >∈=x x ，试问是否存在实数a ，使得A B ？∅= 若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.解 方法一 假设存在实数a 满足条件A B ,∅=则有（1）当A ≠∅时，由A B ,∅=B {}0|R >∈=x x ，知集合A 中的元素为非正数， 设方程x 2+(2+a)x+1=0的两根为x 1,x 2,则由根与系数的关系，得⎪⎩⎪⎨⎧>=≥<+-=+≥-+=∆01;0,0)2(04)2(21212x x a a x x a 解得 （2）当A=∅时，则有∆=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a ＜0.综上（1）、（2），知存在满足条件A B ∅=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.方法二 假设存在实数a 满足条件A B ≠∅，则方程x 2+(2+a)x+1=0的两实数根x 1，x 2至少有一个为正， 因为x 1·x 2=1＞0，所以两根x 1,x 2均为正数.则由根与系数的关系，得,0)2(04)2(212⎩⎨⎧+-=+≥-+=∆＞a x x a 解得.4,240-≤⎩⎨⎧-<-≤≥a a a a 即或 又∵集合{}4|-≤a a 的补集为{},4|->a a ∴存在满足条件A B=∅的实数a,其取值范围是（-4，+∞）. 4.设集合S={}3210,,,A A A A ，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ,其中k 为i+j 被4除的余数，i,j=0，1，2，3,则满 足关系式（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为 （ ）A.1B.2C.3D.4 答案B一、选择题1.(2008·江西理，2)定义集合运算：A*B={}.,,|B y A x xy z z ∈∈=设A={},2,1B {},2,0=则集合A*B 的所有元素之和为 （ ）A.0B.2C.3D.6答案 D2.（2009· 武汉武昌区调研测试）设集合{}{},0)3(|,1|1||<-=<-=x x x N x x M 则 （ ） A.M N M = B.N N M = C.∅=N M D.M N M = 答案 A3.设全集U=R ,集合M={x|x ≤1或x ≥3},集合P={}R ,1|∈+<<k k x k x ，且U M P ≠∅，则实数k 的取值范围是 （ ）A.k ＜0或k ＞3B.1＜k ＜2C.0＜k ＜3D.-1＜k ＜3 答案 C4.(2008·安徽理，2)集合A={}{},2,1,1,21,g 1|R --=>=∈B x x y y ，则下列结论中正确的是 （ ） A.A B {}1,2--=B.( R A)B （=-∞,0） C.A B=(0,+∞） D.（R A ） B {}12--=，答案 D5. 已知集合P={（x ，y ）||x|+|y|=1}，Q={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，则 ( ）A.P QB.P=QC.P QD.P ∩Q=Q 答案 A6.(2008·长沙模拟) 已知集合A={x|y=21x -,x ∈Z }，B={y|y=x 2+1,x ∈A},则A ∩B 为 （ ） A.∅ B.［0，+∞） C.{1} D.{（0，1）}答案 C二、填空题7.集合A={x||x-3|<a,a>0}，B={x|x 2-3x+2<0}，且B ⊆A ，则实数a 的取值范围是 . 答案 ［2，+∞）8.(2008·福建理，16) 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a+b 、a-b 、ab 、ba∈P （除 数b ≠0）,则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域;数集F={a+b 2|a,b ∈Q }也是数域.有下列命题: ①整数集是数域;②若有理数集Q ⊆M,则数集M 必为数域; ③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上) 答案 ③④ 三、解答题9.已知集合A={x|mx 2-2x+3=0，m ∈R }. （1）若A 是空集，求m 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求m 的值；（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围. 解 集合A 是方程mx 2-2x+3=0在实数范围内的解集. (1)∵A 是空集，∴方程mx 2-2x+3=0无解. ∴Δ=4-12m<0,即m>31. （2）∵A 中只有一个元素， ∴方程mx 2-2x+3=0只有一个解. 若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=23; 若m ≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=31. ∴m=0或m=31. (3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果， 得m=0或m ≥31. 10.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a 2+3a+3}且1∈A ，求实数a 的值；（2）已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2}且M=N ，求a ，b 的值. 解（1）由题意知：a+2=1或(a+1)2=1或a 2+3a+3=1，∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2, ∴a=0即为所求.（2）由题意知,⎩⎨⎧==22b b a a 或⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==1022b a a b b a 或⎩⎨⎧==00b a 或,2141⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==b a 根据元素的互异性得⎩⎨⎧==10b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2141b a 即为所求.11.已知集合A=,R ,116|⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+x x x B={},02|2<--m x x x（1）当m=3时，求A （R B ）；（2）若A B {}41|<<-=x x ，求实数m 的值. 解 由,116≥+x 得.015≤+-x x ∴-1＜x ≤5,∴A={}51|≤<-x x . （1）当m=3时，B={}31|<<-x x ，则R B={}31|≥-≤x x x 或， ∴A （R B ）={}53|≤≤x x .(2)∵A={}{},41|,51|<<-=≤<-x x B A x x ∴有42-2×4-m=0,解得m=8. 此时B={}42|<<-x x ,符合题意，故实数m 的值为8.12.设集合A={（x,y ）|y=2x-1,x ∈N *},B={(x,y)|y=ax 2-ax+a,x ∈N *}，问是否存在非零整数a,使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由. 解 假设A ∩B ≠∅，则方程组⎩⎨⎧+-=-=aax ax y x y 212有正整数解，消去y,得ax 2-(a+2)x+a+1=0. 由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a +1)≥0,解得-332332≤≤a .因a 为非零整数，∴a=±1， 当a=-1时，代入（*）， 解得x=0或x=-1, 而x ∈N *.故a ≠-1.当a=1时，代入（*）,解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A ∩B ≠∅, 此时A ∩B={（1，1），（2，3）}.§1.2 简易逻辑基础自测1.下列语句中是命题的是 （ ） A.|x+a| B.{}0N ∈C.元素与集合D.真子集答案 B2.（2008·湖北理，2）若非空集合A 、B 、C 满足A ∪B=C ，且B 不是A 的子集，则 （ ） A .“x ∈C ”是“x ∈A ”的充分条件但不是必要条件 B .“x ∈C ”是“x ∈A ”的必要条件但不是充分条件 C .“x ∈C ”是“x ∈A ”的充要条件D .“x ∈C ”既不是“x ∈A ”的充分条件也不是“x ∈A ”的必要条件 答案 B3. 若命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，则s 是p 的逆命题t 的 （ ） A.逆否命题B.逆命题C.否命题D.原命题答案 C4.已知命题p :3≥3;q:3>4,则下列选项正确的是 （ ） A.p ∨q 为假，p ∧q 为假，⌝p 为真 B. p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为真C. p ∨q 为假，p ∧q 为假，⌝p 为假D. p ∨q 为真，p ∧q 为假，⌝p 为假 答案 D5.(2008·广东理，6)已知命题p:所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A.（⌝p ）∨q B. p∧q C. （⌝p ）∧（⌝q） D. （⌝p ）∨（⌝q）答案 D例1 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题.（1）正三角形的三内角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）已知a，b，c，d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d.解（1）原命题:若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等.逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形（或写成：三个内角相等的三角形是正三角形）.否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等.逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形（或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形）.(2)原命题:若两个三角形全等，则它们的面积相等.逆命题：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等（或写成：面积相等的三角形全等）.否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形面积不相等（或写成：不全等的三角形面积不相等）.逆否命题：若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等.（3）原命题:已知a,b,c,d是实数，若a=b,c=d，则a+c=b+d.逆命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c=b+d，则a与b，c与d都相等.否命题：已知a,b,c,d是实数，若a与b,c与d不都相等，则a+c≠b+d.逆否命题：已知a,b,c,d是实数，若a+c≠b+d,则a与b,c与d不都相等.例2 指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.（1）在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sinA=sinB；（2）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;（3）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；（4）已知x、y∈R，p：（x-1）2+（y-2）2=0，q：（x-1）（y-2）=0.解（1）在△ABC中，∠A=∠B⇒sinA=sinB，反之，若sinA=sinB，因为A与B不可能互补（因为三角形三个内角和为180°),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知: ⌝p:x+y=8, ⌝q:x=2且y=6,显然⌝q ⇒⌝p.但⌝p ⌝q,即⌝q 是⌝p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件.(3)显然x ∈A ∪B 不一定有x ∈B,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B,所以p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2, 所以p ⇒q 但qp,故p 是q 的充分不必要条件.例3 已知ab ≠0，求证：a+b=1的充要条件是a 3+b 3+ab-a 2-b 2=0. 证明（必要性）∵a+b=1，∴a+b-1=0， ∴a 3+b 3+ab-a 2-b 2=（a+b ）（a 2-ab+b 2）-（a 2-ab+b 2） =（a+b-1）（a 2-ab+b 2）=0. （充分性）∵a 3+b 3+ab-a 2-b 2=0,即（a+b-1）（a 2-ab+b 2）=0， 又ab ≠0,∴a ≠0且b ≠0,∴a 2-ab+b 2=（a-43)22+b b 2>0,∴a+b-1=0,即a+b=1, 综上可知,当ab ≠0时,a+b=1的充要条件是a 3+b 3+ab-a 2-b 2=0.例4（12分）已知两个命题r(x):sinx+cosx>m,s(x):x 2+mx+1>0.如果对∀x ∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题.求实数m 的取值范围.解 ∵sinx+cosx=2sin(x+)4π,2-≥∴当r(x)是真命题时,m<-2， 2分又∵对∀x ∈R ，s(x)为真命题，即x 2+mx+1>0恒成立，有∆=m 2-4<0,∴-2<m<2, 4分∴当r(x)为真，s(x)为假时，m ＜-2,同时m ≤-2或m ≥2，即m ≤-2 ; 6分当r(x)为假，s(x)为真时，m ≥-2且-2<m<2,即-2≤m<2. 8分 综上，实数m 的取值范围是m ≤-2或-2≤m<2. 12分1. 写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等； （2）矩形的对角线互相平分且相等； （3）相似三角形一定是全等三角形.解 （1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”. 原命题为真命题，否命题也为真命题.（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等” 原命题是真命题，否命题是假命题.（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.原命题是假命题，否命题是真命题.2.（2008·湖南理，2）“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B3. 证明一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明 充分性：若ac<0,则b 2-4ac>0,且ac<0, ∴方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：若一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根，则∆=b 2-4ac>0,x 1x 2=ac<0,∴ac<0. 综上所述，一元二次方程ax 2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.4.已知a>0,设命题p:函数y=a x 在R 上单调递减，q ：不等式x+|x-2a|>1的解集为R ,若p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围.解 由函数y=a x 在R 上单调递减知0<a<1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|,则y=⎩⎨⎧<≥-).2(2),222a x aa x a x （不等式x+|x-2a|>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a>1，即a>.21即q 真⇔a>.21若p 真q 假,则0<a ≤;21若p 假q 真，则a ≥1,所以命题p 和q 有且只有一个命题正确时a 的取值范围是0<a ≤21或a ≥1.一、选择题1.下列命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题“若a>b,则a+c>b+c ”的否命题；④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B2.（2008·重庆理，2）设m ，n 是整数，则“m ，n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 （ ） A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C .充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A3.“x >1”是“x 2>x ”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A4.若命题p:x ∈,B A 则p ⌝是 （ ） A ．A x ∈B x ∉且 B ．B x A x ∉∉或C ．B x A x ∉∉且D ．B A x ∈ 答案 B5.若p 、q 是两个简单命题，且“p ∨q ”的否定是真命题，则必有 （ ）A.p 真q 真B.p 假q 假C.p 真q 假D.p 假q 真答案 B6.（2008·安徽理，7）“a <0”是“方程ax 2+2x+1=0至少有一个负数根”的 （ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C .充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题7.设集合A={}{},034|,4|||2>+-=<x x x B x x 则集合{}B A x A x x ∉∈且|= . 答案 {}31|≤≤x x8.(2008·全国Ⅱ理，16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件. 充要条件① ； 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件)答案 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等.(答案不唯一) 三、解答题9. 求关于x 的方程x 2-mx+3m-2=0的两根均大于1的充要条件.解 设方程的两根分别为x 1、x 2，则原方程有两个大于1的根的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥--=∆,0)1)(10)1()1(,0)23(421212x x x x m m （，即⎪⎩⎪⎨⎧>++->-+≥+-=∆.01)(02)(,0812*******x x x x x x m m ， 又∵x 1+x 2=m,x 1x 2=3m-2, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-≤+≥.21,2,726726m m m m 或故所求的充要条件为m ≥6+27. 10. 已知x,y ∈R .求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥0. 证明（充分性）若xy ≥0,则x,y 至少有一个为0或同号.∴|x+y|=|x|+|y|一定成立. （必要性） 若|x+y|=|x|+|y|,则(x+y)2=(|x|+|y|)2, x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2, ∴xy=|xy|,∴xy ≥0. 综上，命题得证.11.已知命题p:方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实数根；命题q:方程4x 2+4（m-2）x+1=0无实数根.若“p 或q ”为真命题，“p且q ”为假命题，求m 的取值范围. 解 由p 得：,042⎩⎨⎧>>-=∆m m 则m>2. 由q 知：'∆=16 (m-2)2-16=16(m 2-4m+3)<0,则1<m<3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 为真，q 为假，或p 为假,q 为真. 则⎩⎨⎧≥≤>312m m m 或或,312⎩⎨⎧<<≤m m 解得m ≥3或1<m ≤2.12.(1)是否存在实数p,使“4x+p <0”是“x 2-x-2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围； （2）是否存在实数p ，使“4x+p <0”是“x 2-x-2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围. 解 （1）当x>2或x<-1时，x 2-x-2>0,由4x+p<0,得x<-,4p 故-4p≤-1时，“x<-4p”⇒“x<-1”⇒“x 2-x-2>0”. ∴p ≥4时，“4x+p <0”是“x 2-x-2>0”的充分条件. （2）不存在实数p 满足题设要求.章末检测一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.(2008·北京理，1) 已知全集U=R ,集合A={x|-2≤x ≤3},B={x|x<-1或x>4},那么集合A ∩(u B)等于（ ）A.{}42|<≤-x xB.{}43|≥≤x x x 或C.{}12|-<≤-x xD.{}31|≤≤-x x 答案 D2.已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 ( ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A3.（2009·合肥模拟）已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是 （ ） A.a ≥1 B.a ≤1 C.a ≥-3 D.a ≤-3 答案 A4.“a =2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y =1”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C5.设集合M={x|x>2}，P={x|x<3},那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B6.在下列电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是 （ ）答案 B7.(2008·浙江理，3)已知a,b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a>b ”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 D8.(2008·天津理，6)设集合S={x||x-2|>3},T={x|a<x<a+8}，S ∪T=R ，则a 的取值范围是 （ ）A.-3<a<-1B.-3≤a ≤-1C.a ≤-3或a ≥-1D.a<-3或a>-1 答案 A9.（2008·北京海淀模拟）若集合A={1，m 2}，集合B={2，4}，则“m =2”是“A ∩B ={4}”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A10.若数列{a n }满足221nn a a +=p （p 为正常数，n ∈N *），则称{a n }为“等方比数列”.甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( ）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案 B11.（2008·浙江理，2）已知U=R ，A={x|x>0},B={x|x ≤-1}，则（A ∩U B ）∪（B U A ）等于（ ）A .∅ B.{x|x ≤0} C.{x|x>-1} D.{x|x>0或x ≤-1}答案 D 12.命题p:若a 、b∈R ,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件.命题q:函数y=2|1|--x 的定义域是(][)∞+--∞，，31 ，则 （ ）A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 答案 D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.设集合A={5,log 2（a+3）}，集合B={a ，b}，若A ∩B={2}，则A ∪B= . 答案 {1，2，5}14.已知条件p ：|x+1|>2,条件q:5x-6>x 2，则非p 是非q 的 条件.答案 充分不必要15.不等式|x|<a 的一个充分条件为0<x<1,则a 的取值范围为 . 答案 a ≥1 16.已知下列四个命题：①a 是正数；②b 是负数；③a+b 是负数；④ab 是非正数.选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 答案 若①③则②（或若①②则④或若①③则④） 三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）设命题p ：（4x-3）2≤1;命题q:x 2-(2a+1)x+a(a +1)≤0,若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解 设A={x|(4x-3)2≤1},B={x|x 2-(2a+1)x+a(a +1)≤0}, 易知A={x|21≤x ≤1},B={x|a ≤x ≤a+1}. 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴,1121⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤a a故所求实数a 的取值范围是［0，21］. 18.（12分）已知集合U=R ,U A={}06|2≠+x x x ，B={x|x 2+3（a+1）x+a 2-1=0}，且A ∪B=A ，求实数a 的取值范围解 ∵A={0，-6}，A ∪B=A ，∴B ⊆A. （1）当B=A 时，由,10)1(3)6(02⎩⎨⎧-=+-=-+a a 得a=1,（2）当B A 时，①若B=∅，则方程x 2+3(a+1)x+a 2-1=0无实根. 即Δ<0,得9(a+1)2-4(a 2-1)<0,解得-513<a<-1. ②若B ≠∅，则方程x 2+3(a+1)x+a 2-1=0有相等的实根， 即Δ=0,即a=-1或a=-513. 由a=-1得B={0},有B A ； 由a=-513,得B={512}不满足B A ，舍去， 综上可知，-513<a ≤-1或a=1. 19.（12分）已知p ：|1-31-x |≤2，q ：x 2-2x+1-m 2≤0（m>0），且⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 方法一 由x 2-2x+1-m 2≤0，得1-m ≤x ≤1+m, ∴q ⌝:A={x|x>1+m 或x<1-m,m>0},由|1-31-x |≤2，得-2≤x ≤10， ∴{}210|:-<>=⌝x x x B p 或，∵p ⌝是⌝q 的必要而不充分条件，∴A B ,101210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤->⇔m m m 解得m ≥9.方法二 ∵p ⌝是⌝ q 的必要而不充分条件，∴q 是p 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件， 由x 2-2x+1-m 2≤0.得1-m ≤x ≤1+m(m ＞0)，∴q:B={}m x m x +≤≤-11|. 又由|1-31-x |≤2，得-2≤x ≤10， ∴p ：A={}102|≤≤-x x .又∵p 是q 的充分而不必要条件.∴B A ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥101210m m m ，解得m ≥9.20.（12分）求关于x 的方程ax 2-(a 2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.解 方法一 若a=0，则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若a ≠0，则方程至少有一个正根等价于 01<+a a 或⎪⎩⎪⎨⎧>++=+01012a a a a 或⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+-++=∆>+>++0)1(4)1(0101222a a a a a a a a a -1<a<0或a>0.综上：方程至少有一正根的充要条件是a>-1. 方法二 若a=0，则方程即为-x+1=0, ∴x=1满足条件；若a ≠0，∵Δ=(a 2+a+1)2-4a(a+1)=(a 2+a)2+2(a 2+a)+1-4a(a+1)=(a 2+a)2-2a(a+1)+1=(a 2+a-1)2≥0，∴方程一定有两个实根.故而当方程没有正根时，应有,01012⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≤++aa a a a 解得a ≤-1,∴至少有一正根时应满足a>-1且a ≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a>-1. 21.（12分）记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A ，g(x)=lg [])1()2)(1(<---a x a a x 的定义域为B. (1)求A ；（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解 （1）由2-,013≥++x x 得,011≥+-x x ∴x ＜-1或x ≥1，即A=（-∞,-1） [1,+∞). (2)由（x-a-1）(2a-x) >0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).又∵B ⊆A,∴2a ≥1或a +1≤-1,即a ≥21或a ≤-2.∵a<1,∴21≤a ＜1或a ≤-2, 故B ⊆A 时，a 的取值范围是(].1,212,⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-22.（14分）设p ：实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a<0；q ：实数x 满足x 2-x-6≤0，或x 2+2x-8＞0，且q p ⌝⌝是 的必要不充分条件，求a 的取值范围.解 设A={x|p}={x|x 2-4ax+3a 2<0,a<0}={x|3a<x<a,a<0},B={x|q}={x|x 2-x-6≤0或x 2+2x-8>0}={x|x 2-x-6≤0}∪{x|x 2+2x-8>0} ={x|-2≤x ≤3}∪{x|x<-4或x>2}={}.24|-≥-<x x x 或 方法一 ∵q p ⌝⌝是的必要不充分条件,∴p p q ⌝⌝⇒⌝且,q ⌝.则{}q x ⌝|{}.|p x ⌝而{}=⌝q x|R B={}{}p x x x ⌝-<≤-|,24|=R A={},0,3|<≥≤a a x a x x 或∴{}24|-<≤-xx {},0,3|<≥≤a a x a x x 或则⎩⎨⎧<-≤⎩⎨⎧<-≥.0,4,0,23a a a a 或综上可得-.4032-≤<≤a a 或 方法二 由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴a ≤-4或3a ≥-2,又∵a<0, ∴a ≤-4或-32≤a<0.。