如何定位二面角的平面角

二面角的平面角摘要：求二面角的平面角的大小，关键是找出或作出二面角的平面角。

关键词：二面角；平面角；转化求二面角的平面角的大小是高中立体几何的一个重要内容，也是一个难点。

解决有关二面角问题的关键是找出或作出二面角的平面角，通过找出或作出二面角的平面角，使空间问题转化为平面问题来解决。

学生往往不是不会计算，而是找不到二面角的平面角。

作二面角的平面角，常用方法一般有三种：（1）定义法；（2）三垂线定理法；（3）垂面法。

下面看几例具体的例子：一、根据二面角的平面角的定义直接找出或作出二面角的平面角例1.二面角α-l-β为60°，A点和B点分别在α、β内，且到棱l的距离分别是2和4，若线段AB=10，试求：（1）直线AB与棱所成的角；（2）直线AB与平面α所成的角。

分析：求解此题，首先要作出二面角α-l-β的平面角，并将其构造到某一个三角形中，进而应用平面几何的知识求解。

由题意，在面α内作AD⊥l，在面β内作BE⊥l，作DC■EB，联结BC、AC，易知CD⊥l，则∠ADC 为二面角α-l-β的平面角，等于6°，如图1再进一步求解就比较容易了。

■定义法：过棱上一点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，得到二面角的一个平面角。

如图2，以二面角α-a-β的棱上的任意一点O为端点，在平面α、β内分别引垂直于棱a的射线OA、OB，那么∠AOB就是二面角的平面角。

二、三垂线定理法例2.过正方形ABCD的顶点A作SA⊥平面ABCD，并使平面SBC、平面SCD与底面ABCD都成45°角，求二面角B-SC-D的大小。

解：如图3，过点B作BE⊥SC于E，联结ED。

■∵SA⊥底面ABCD，∴BA为SB在底面ABCD内的射影。

∵AB⊥BC，∴SB⊥BC。

∴∠SBA为平面SBC与平面ABCD所成的角，即∠SBA=45°，同理∠SDA=45°。

设SA=a，则SB=SD=■a，则△SCB≌△SCD.∵BE⊥SC，则ED⊥SC，∴∠BED为二面角B-SC-D的平面角.∵SB=■a，BC=a，SC=■a∴BE=DE=■a由余弦定理得cos∠BED=-■∴∠BED=120°。

寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1 在 60的二面角βα--a 的两个面，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求：（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值；（2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面β作a AD ⊥；在平面α作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略．二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2 如图，在平面β有一条直线AC 与平面α成 30，AC 与棱BD 成 45，求平面α与平面β的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥AE 平面α，连结FE ．由三垂线定理可证EFBD⊥，则AFE∠为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作BDAF⊥”、“连结EF”、“证明BDEF⊥”．三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3 如图1，已知P为βα--CD的一点，α⊥PA于A点，β⊥PB于B点，如果 nAPB=∠，试求二面角βα--CD的平面角．分析：⊥⇒⊥⇒⊥⊥⇒⊥CDCDPBPBCDPAPAβα平面PAB．因此只要把平面PAB与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB∠为βα--CD的平面角，nAEB-=∠180（如图2）．注意：这种类型的题，如果过A作CDAE⊥，垂足为E，连结EB，我们还必须证明CDEB⊥，及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦．例4 已知斜三棱柱111-CBAABC中，平面1AB与平面1AC构成的二图1 图2面角的平面角为 30，平面1AB 与平面1BC 构成的二面角为 70．试求平面1AC 与平面1BC 构成的二面角的大小．分析：作三棱柱的直截面，可得△DEF ，其三个角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角．总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．四、平移平面法例5 如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，E 为1AA 的中点，H 为1CC 上的点，且211：：=H C CH ．设正方体的棱长为a ，求平面EH D 1与底面1111D C B A 构成的锐角的正切．分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点1D ，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．如图，过点E 作11//D A EM 与D D 1相交于M 点，过M 点作11D C MN ⊥，与H D 1相交于N 点．可证平面//EMN 平面1111D C B A ．这样，求平面EH D 1与平面1111D C B A 的二面角的平面角就转化为求平面EH D 1与平面EMN 的二面角的平面角．显然EN 为这两个平面的交线，过点M 作EN MF ⊥，F 为垂足，连结F D 1，可证EN F D ⊥1．则FM D 1∠为本题要寻找的二面角．五、找垂面，作垂线例6 如图，正方体1111-D C B A ABCD 中，M 为棱AD 的中点，求平面CB C B 11和平面M BC 1所构成的锐二面角的正切．分析：平面AC 与二面角C BC M --1的一个面C B 1垂直，与另一个平面1C MB 相交，过M 点作BC MP ⊥，垂足为P ，过P 作BC PN ⊥，交1C B于N 点，连结MN ，由三垂线定理可证1BC MN ⊥，则MNP ∠为二面角C BC M --1的平面角．总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．再如图，要找βα--a 所构成的二面角的平面角，可找平面βγ⊥，且b =αγ ，l =βγ ，过b 上任何一点A 作l AB ⊥，垂足为B ，过B 作α⊥BC ，垂足为C ，连结AC ，可证ACB ∠为βα--a 的平面角．六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1．三线合一例7 如图，空间四边形ABCD 中，3==AD AB ，4==CD BC ，2=BD ，5=AC ．试求C BD A --二面角的余弦值．分析：如图1，AD AB =，CD BC =，则△ABD 和△BDC 为等腰三角形．过A 作BD AE ⊥，垂足为E ，连结CE ．根据等腰三角形三线合一，且E 为BD 中点，可证BD CE ⊥，则AEC ∠为二面角C BD A --的平面角．2．全等三角形例8 如图，已知空间四边形ABCD ，6==BC AB ，4==DC AD ，8=BD ，6=AC ．试求C BD A --的余弦值．分析：过A 作BD AE ⊥，垂足为E ，连结CE ．根据已知条件，△AED 和△CED 全等，可证BD CE ⊥，则AEC ∠为二面角C BD A --的平面角．3．二面角的棱蜕化成一点例9 如图，四棱锥BCED A -中，DB 和EC 与面ABC 垂直，△ABC 为正三角形．（1）若BD EC BC ==时，求面ADE 与面ABC 的夹角；（2）若BD EC BC 2==时，求面ADE 与面ABC 的夹角．分析：如图，面ADE 与面ABC 的交线蜕化成一点，但面ADE 与面ABC 与面DC 相交．如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行．在图1中，两条交线BC 与DE 互相平行，所以肯定有过A 且平行于DE 的一条交线．可过A 作DE AM //，平面ADE 与平面ABC 的交线即为AM ．过A 作DE AN ⊥于N ，过A 作BC AF ⊥于F ．可证AM AN ⊥，AM AF ⊥，则NAF ∠为面ADE 与面ABC 的夹角．如图，DE 与C B 不平行且相交．根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点．延长ED、CB相交于G点，连结AG．AG即为平面ADE与平面ABC的交线，通过一些关系可证CAE为平面ADE与平面ABC的夹角．通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了．只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解．。