2012新课标人教A版数学同步导学课件：2-3.2《离散型随机变量的方差》(选修2-3)

p0qn2

C1 n2
p1q n3
Cnn22
pn2q0
]

E
n(n 1) p2 np
D E 2 (E )2 n(n 1) p2 np n2 p2 npq
若 ~ B(n, p),则E np, D npq
X DX 1.2 1.095
例 随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点 数X的均值、方差和标准差. 解 抛掷骰子所得点数X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
1
1
1
P
6
6
6
1
1
1
6
6
6
EX 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3.5; 666666
2 若 ~ Bn, p，则 E np
D npq,其中q 1 p
例6、已知随机变量的分布列
为 -1 0 1
P
11 1 23 6
h=3+1
E=，D13=.
5 9
8
Eh=，D3h=.
5
基础训练2若随机变量服从二项分布，
且E=6，D=4,则此二项 分布是。
设二项分布为~B(n,p),则
E=np=6
n=18
p=1/3 D=np(1-p)=4
基础训练3若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的
()
C
A.3·2-2B.2-4
C.3·2-10D.2-8
解析E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3, p 1 , n 12, 2
由已知随机变量ξ +η =8,所以有η =8-ξ .

ξ －1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
则 D(ξ)等于( )
A．0.7
B．0.61
C．－0.3
D．0
【解析】E(ξ)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3， 则 D(ξ)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2 ＝0.61. 【答案】B
2．若随机变量 X 的方差 D(X)＝1，则 D(2X＋1)的值为
(2)由 D(η)＝a2D(ξ)，得 a2×2.75＝11，得 a＝±2. 又 E(η)＝aE(ξ)＋b，所以，当 a＝2 时， 由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2； 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4. 所以ab＝ ＝－ 2，2， 或ab＝ ＝－ 4. 2，
方法归纳 求随机变量 ξ 的方差的步骤： (1)求随机变量 ξ 的分布列． (2)求随机变量 ξ 的数学期望． (3)利用定义求 D(ξ)． 其关键是求离散型随机变量的分布列．
[自主梳理]
1．离散型随机变量的方差
(1)定义：设离散型随机变量 X 的分布列为：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
则称
D(X)＝
n
(xi－E(X))2pi
为随机变量 X 的方差，其算
i1
术平方根 DX为随机变量 X 的 标准差，可记作 σ(X)．
(2)含义：随机变量的方差和标准差反映了随机变量取值偏
学以致用
1．已知 X 的分布列为
X －1 0 1
P
1 2
11 36
(1)求 E(X)，D(X)，σ(X)；
(2)设 Y＝2X＋3，求 E(Y)，D(Y)．

0.2 0.3 0.2 0.1
∴ D(2X － 1) ＝ ( － 1 － 2.6)2×0.2 ＋ (1 － 2.6)2×0.2 ＋ (3 － 2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24. 方法 2：利用方差的性质 D(aX＋b)＝a2D(X)． ∵D(X)＝1.56. ∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
2 ( x － E ( X )) 则 i 描述了 x (i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的
i
偏离程度，而 D(X)＝
i＝1
xi－EX2pi
n
为这些偏离程度的加权
平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度． 我 们称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 DX为随机变 量 X 的 标准差．
[答案]
[ 解析 ]
B．2 和 2.4 D．6 和 5.6
B
∵ X ～ B(10,0.6) ，∴ E(X) ＝ 10×0.6 ＝ 6 ， D(X) ＝
10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.
建模应用引路
方差的实际应用
A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组 进行对比实验． 每个试验组由 4 只小白鼠组成， 其中 2 只服用 A， 另 2 只服用 B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 A 有效 的小白鼠的只数比服用 B 有效的多， 就称该试验组为甲类组． 设 2 1 每只小白鼠服用 A 有效的概率为 ，服用 B 有效的概率为 . 3 2 (1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察 3 个试验组，用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个 数，求 ξ 的分布列和数学期望．

∴X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
27 125
54 125
36 125
8 125
所以 E(X)＝0×12275＋1×15245＋2×13265＋3×1285＝65.
• 超几何分布的均值
•
从4名男生和2名女生中任选3人参加演
讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
• (1)求X的分布列；
• (2)求X的均值；
P(A0B＋A1B＋A2B)＝235＋285＋115＝3785.
[方法规律总结] 解决离散型随机变量综合应用问题时， 首先要读懂题意，分清事件及其相互关系，并用恰当的字母加 以表示，然后依据随机变量的特点求其概率，要注意互斥、对 立、独立事件或超几何分布，二项分布等特殊事件及分布的概 率，理清事件及其关系是关键环节．
(3)记－x 为表中 10 个命中次数的平均数．从上述比赛中随 机选择一场，记 X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较 E(X) 与－x 的大小．(只需写出结论)
[解析] (1)根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮 命中率超过 0.6 的场次有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5， 客场 2，客场 4.
3．(2015·河南六市联考)在某校运动会中，甲、乙、丙三支 足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)共赛三场，每场比赛 胜者得 3 分，负者得 0 分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜 乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13；
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； (2)设在该次比赛中，甲队得分为 ξ，求 ξ 的分布列和数学 期望．
由条件概率公式，得 P(A0B)＝P(A0)P(B|A0)＝15×CC13C62 13＝15×35＝235， P(A1B)＝P(A1)P(B|A1)＝35×CC12C62 14＝35×185＝285， P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝15×CC11C62 15＝15×13＝115. 所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为