【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-2课件：2.2.1《综合法与分析法》

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第十页，编辑于星期五：十六点 二十八分。
(2)由 A＋B＋C＝180°，得 B＋C＝120°，
由 sin B＋sin C＝ 3，得 sin B＋sin(120°－B)＝ 3，
sin B＋(sin 120°cos B－cos 120°sin B)＝ 3，
3 2sin
B＋
3 2 cos
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第十二页，编辑于星期五：十六点 二十八分。
[再练一题] 1．求证：3－2cos2α＝3ttaann22αα＋＋11.
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第十三页，编辑于星期五：十六点 二十八分。
2sin2α 【证明】 原式右边＝3ttaann22αα＋＋11＝1＋csoicnso22ααs2＋α 1＝1＋2sin2α＝1＋2(1－cos2α)
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第二十页，编辑于星期五：十六点 二十八分。
【证明】 (1)∵BC⊥侧面 CDD1C1，DE⊂侧面 CDD1C1，∴DE⊥BC. 在△CDE 中，CD＝2a，CE＝DE＝ 2a，则有 CD2＝DE2＋CE2， ∴∠DEC＝90°，∴DE⊥EC， 又 BC∩EC＝C，∴DE⊥平面 BCE.
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第二十七页，编辑于星期五：十六点 二十八分。
综合法的证明步骤 1．分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定 义、定理等； 2．转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
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第三十页，编辑于星期五：十六点 二十八分。

成才之路・数学人教A版•选修1-2路漫漫其修远兮吾将上下而求索第二章推理与证明»>第二章章末归纳总结自主预习学案2 典例探究学案知识梳理• 1 •归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理 ;类比推理是由特殊到特殊的推理.二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明•2.演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确.•3.合情推理与演绎推理既有联系，又有区别.、pr »_* / r k―»t\ \ / v r t 八一 F A——♦—匸▲r . Pr t—t t .知识结构误区警示•1 •进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征.②图形的性质或维数.③处理一类问题的方法.④事物的相似性质等入手进行类比.要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.•2.进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作岀归纳猜想.•3.推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步.•4.注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真.•合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据.•5.用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据.书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式.•6.分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可，而不是充要条件.•分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性.一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是：•要证：.... ，只需证，只需证......... ，..... , ..... 显然成立，所以成立.讓^鯛%学案］题型探究• 1 •合情推理与演绎推理•合情推理分为归纳推理和类比推理，是基本的分析和解决问题的方法.合情推理是合乎情理的推理，通过归纳、猜测发现结论，为解决问题提供了思路和方向•归纳推理和类比推理的特点与区别：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的•归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理.•演绎推理是数学证明中的基本推理形式，“ 三段论”是演绎推理的一般模式.7》归纳推理•例题1古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：■6 10图116•他们研究过图1中的1,3610,…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）• A. 289 B・ 1 024• C・ 1 225D・ 1 378题型 类比推理［解析］本题主要考查数形的有关知识.图 1 中满足 血—"1=2,么3 — ^2=3, …，a n —a n -\—n^ 以上累力口得 a n ——如 =2 + 3 +・・・+弘 ©= 1+2 + 3+…+川给 叽"J",图2中满足b n =n 2, 一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方.•・T225 = 352="9；5° •••选C ・•［答案］c题型类比推理例题2若记号“斜表示两个实数。

(1)求证：A 的大小为 60°； (2)若 sin B＋sin C＝ 3.证明：△ABC 为等边三角形．
第八页，编辑于星期五：十六点 二十九分。
【精彩点拨】 (1)利用正弦定理将角与边互化，然后利用余弦定理求 A. (2)结合(1)中 A 的大小利用三角恒等变形证明 A＝B＝C＝60°.
第九页，编辑于星期五：十六点 二十九分。
第十一页，编辑于星期五：十六点 二十九分。
证明三角等式的主要依据 1．三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式． 2．和、差、倍角的三角函数公式． 3．三角形中的三角函数及三角形内角和定理． 4．正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．
第十二页，编辑于星期五：十六点 二十九分。
[再练一题] 1．求证：3－2cos2α＝3ttaann22αα＋＋11.
第二十三页，编辑于星期五：十六点 二十九分。
探究 综合法证明不等式的主要依据有哪些？ 【提示】 (1)a2≥0(a∈R)． (2)a2＋b2≥2ab，a＋2 b2≥ab，a2＋b2≥a＋2b2. (3)a，b∈(0，＋∞)，则a＋2 b≥ ab，特别地，ba＋ab≥2. (4)a－b≥0⇔a≥b；a－b≤0⇔a≤b. (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
第二十四页，编辑于星期五：十六点 二十九分。
已知 x>0，y>0，x＋y＝1，求证：1＋1x1＋1y≥9. 【精彩点拨】 解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式利用综合法 证明．
第二十五页，编辑于星期五：十六点 二十九分。
【自主解答】 法一：因为 x>0，y>0,1＝x＋y≥2 xy， 所以 xy≤14. 所以1＋1x1＋1y＝1＋1x＋1y＋x1y ＝1＋x＋xyy＋x1y＝1＋x2y≥1＋8＝9.

第二十页，编辑于星期五：十六点 五十四分。
由 SA⊥平面 ABC 可知，SA⊥BC，即上式成立， 所以 AF⊥SC 成立．
第二十一页，编辑于星期五：十六点 五十四分。
归纳升华 1．本例中所给条件，垂直关系较多，不易确定如何 在证明中运用这些条件，因此从结论出发，逐步反推，寻 求使结论成立的充分条件．
解析：证明该不等式的最合适方法是分析法．
答案：B
第八页，编辑于星期五：十六点 五十四分。
3．用分析法证明：欲证①A>B，只需证②C<D，这 里①是②的( )
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 答案：B
第九页，编辑于星期五：十六点 五十四分。
4．将下面用分析法证明a2＋2 b2≥ab 的步骤补充完整： 要证a2＋2 b2≥ab，只需证 a2＋b2≥2ab，也就是证________， 由于________显然成立，因此原不等式成立．
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 成立的条件
第五页，编辑于星期五：十六点 五十四分。
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 分 析 法 是 执 果 索 因 ， 寻 求 结 论 成 立 的 充 分 条 件．( ) (2)所有证明的数学问题都可以用分析法证明．( ) (3)分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰 好相反，过程相逆．( )
[变式训练] 求证：当一个圆与一个正方形的周长相 等时，这个圆的面积比正方形的面积大．
证明：设圆和正方形的周长为 L， 依题意，圆的面积为π2Lπ2，正方形的面积为L42， 因此本题只需证明π2Lπ2>L42，
第十七页，编辑于星期五：十六点 五十四分。