最新人教版高中数学选修2-2第二章《综合法和分析法》课堂探究

课堂探究 知能点一：综合法证明数列问题
指点迷津 综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下数列的相关知识：
(1)数列的概念，特别是等差数列、等比数列的定义；
(2)等差数列与等比数列的基本性质以及数列前n 项和的性质；
(3)数列的通项公式a n 与数列的前n 项和S n 之间的关系
⎩⎨⎧≥-==-;2,1,11
n n
n S S n S a (4)递推公式与通项公式的关系．
【例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)，其中m 为常数，且m ≠－3.
(1)求证：{a n }是等比数列；
(2)若数列{a n }的公比为q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝32
f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为等差数列． 思路分析 (1)类比题目所给等式得到S n ＋1与a n ＋1关系式→两式相减→说明{a n }是等比数列 (2)利用(1)中公比q 得到f (m )→化简式子b n ＝32f (b n －1)→证明{1b n
}是等比数列 解：(1)证明：由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3，
两式相减得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)，
∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3
，∴{a n }是等比数列． (2)∵(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3，
∴(3－m )a 1＋2ma 1＝m ＋3，∴a 1＝1.
∴b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2m m ＋3
，∴n ∈N *且n ≥2时， b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3⇒b n b n －1
＋3b n ＝3b n －1 ⇒1b n －1b n －1＝13
， ∴{1b n }是首项为1，公差为13
的等差数列．
要证明数列是等差、等比数列，通过定义可以寻求解题思路，属于综合法，解题的关键是恰当地处理递推关系． 知能点二：综合法证明不等式
指点迷津 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：
①a 2≥0(a ∈R )．
②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )2
2. ③若a 、b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别是b a ＋a b
≥2. ④a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a 、b 、c ∈R )．
由基本不等式a 2＋b 2≥2ab ，易得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，而此结论是一个很重要的不等式，许多不等式的证明都可以用到该结论．
⑤a ＋b ＋c ，a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca 这三个式子之间的关系，由(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )给出，三式中知道两式，第三式可以由该等式用另两式表示出来．
【例2】已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，
求证：(1) 3
1222≥++c b a ；(2)3≤++c b a . 思路分析 解答本题可先构建基本不等式模型，再利用不等式知识进行证明．关键是从基本不等式入手，利用同向不等式相加而得证．
证明：(1)∵32912a a ≥+，32912b b ≥+，3
2912c c ≥+， ∴32)(32323232919191222=++=++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝
⎛+c b a c b a c b a .∴31222≥
++c b a (2)∵,2313123131,23131+≤⋅+≤⋅+≤⋅c c b b a a 三式相加得121)(2
1333=+++≤++c b a c b a . ∴3≤++c b a .
在用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式
相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件．
知能点三：综合法证明立体几何问题
指点迷津立体几何中线面之间垂直关系的证明是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化．另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化．比如：两条平行线中一条垂直于平面α，则另外一条也垂直于平面α；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等．
【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1)证明：CD⊥AE；
(2)证明：PD⊥平面ABE.
思路分析解答本题可先明确线线、线面垂直的判定及性质定理，再用定理进行证明．证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，
∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故P A⊥CD.
∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.
而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.
(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，
且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵P A⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE ＝A，
综上得PD⊥平面ABE.
综合法的证明步骤如下：
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．。