11、2020版数学(理)新攻略大一轮课标通用课件：第二章 8-第八节 函数与方程

第八节函数与方程A组基础题组1.（2016北京朝阳期末）下列函数中,既是奇函数又存在零点的是( ）A.f（x）=B.f（x)=C.f（x)=e xD.f(x)=sin x答案 D A、C为非奇非偶函数,B为奇函数,但不存在零点，故选D。

2。

若函数f（x）=ax+6的零点为1，则函数g(x）=x2+5x+a的零点是（）A.-6 B。

6 C。

6，—6 D.1，—6答案 D ∵函数f（x）=ax+6的零点为1,∴a+6=0,a=-6，∴g（x）=x2+5x—6=（x—1)(x+6),令g(x)=0，得x=1或x=—6，故函数g(x)=x2+5x+a的零点是1和-6.3.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x）=k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是( ）A.(0,+∞)B。

（-∞，1) C.（1，+∞)D。

（0,1]答案 D 作出函数y=f（x）与y=k的图象，如图所示:由图可知k∈(0,1],故选D。

4.(2017北京朝阳一模)已知函数f（x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是（）A。

[-1，0）B.（1，2］C。

(1,+∞）D。

(2，+∞)答案 C 当x≤2时，令f(x）=-x2+4x=0，得x=0或x=4(舍去),即x≤2时, f（x)有一个零点.当x〉2时， f(x)=log2x—a是增函数，由题意知x〉2时， f（x）必有一个零点,故a=log2x(x〉2）,∴a>1.故选C。

5.已知函数f(x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时, f(x）=x2-2x,若函数g(x）=f（x）-m （m∈R)恰有4个零点,则m的取值范围是。

答案(—1,0)解析画出函数f（x）的图象如图所示，若函数g（x）=f(x）—m（m∈R)恰有4个零点,则函数f（x）的图象与直线y=m有4个交点,由图易得m的取值范围为（-1，0）。

6。

（2016北京东城一模）已知函数f（x）=（1)若f（f(—1)）=0，则实数a= ；（2)在（1）的条件下,若直线y=m与y=f(x）的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是。

探究点一 函数零点所在区间的判断 例 1 (1)函数 f(x)=ex-x-2 在下列哪个区间上必有零点 ( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
5 (2)已知函数 f(x)=lg x+ x-5 在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则 n= .
C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0
x+1
{ (2)[2019·安徽肥东高级中学调研] 已知函数 f(x)=
x
-
,x 1
>
1,
若函数 g(x)=f(x)-
2 - ex,x ≤ 1,
m(x-1)有两个零点,则实数 m 的取值范围是 ( ) A.(-2,0) B.(-1,0) C.(-2,0)∪(0,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞)
第 11 讲 函数与方程
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 的实数 x 叫作函数 y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)等价关系
方程 f(x)=0 有实数根⇔函数 y=f(x)的图像与 有交点⇔函数 y=f(x)有 .

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
{lnx,x > 0,
(2)已知函数 f(x)= ex,x ≤ 0,则函数 g(x)=[f(x)]2-3f(x)+2 的零点个数为 .
探究点三 函数零点的应用
例 3 (1)设函数 f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数 a,b 满足 f(a)=g(b)=0,则 ( )
A.f(b)<0<g(a) B.g(a)<0<f(b)

[基础题组练]1．(2019·沧州模拟)设f (x )是区间[－1，1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，则方程f (x )＝0在区间[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C.因为f (x )在区间[－1，1]上是增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12＜0，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上有唯一的零点．所以方程f (x )＝0在区间[－1，1]内有唯一的实数根．2．设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( ) A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[－2，－1]D ．[－1，0]解析：选D.因为f (x )＝3x －x 2，所以f (－1)＝3－1－1＝－23＜0，f (0)＝30－0＝1＞0，所以f (－1)·f (0)＜0.3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设函数f (x )＝ln x －2x ＋6，则f (x )零点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选B.法一：函数f (x )＝ln x －2x ＋6的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x －2＝1－2x x ，令f ′(x )＝0，得x ＝12，当0＜x ＜12时，f ′(x )＞0，当x ＞12时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减．因为f ⎝⎛⎭⎫1e 10＝－4－2e 10＜0，f ⎝⎛⎭⎫12＝5－ln 2＞0，f (e 2)＝8－2e 2＜0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1e 10，12，⎝⎛⎭⎫12，e 2上各有一个零点，所以函数f (x )的零点个数为2，故选B.法二：令f (x )＝0，则ln x ＝2x －6，令g (x )＝ln x ，h (x )＝2x －6(x ＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x )零点的个数，容易看出函数f (x )零点的个数为2，故选B.4．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x ，若x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：选A.因为函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫15x－log 3x 在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x 1＜x 0时，有f (x 1)＞f (x 0)．又x 0是函数f (x )的零点，因此f (x 0)＝0，所以f (x 1)＞0，即此时f (x 1)的值恒为正值，故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：选D.函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．6．(2019·安徽黄山一模)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(－∞，－1)解析：选B.方程f (x )＝k 化为方程e |x |＝k －|x |.令y ＝e |x |，y ＝k －|x |，y ＝k －|x |表示过点(0，k )，斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y ＝e |x |恰好有一个公共点时，有k ＝1.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(1，＋∞)． 7．(2019·河南郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．解析：如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3.答案：3 8．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：可转化为两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x ＝1对称，所以两个函数在x ＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x ＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.答案：109．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是________．解析：依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）＜0，f （1）·f （2）＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）＜0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]＜0， 解得14＜m ＜12.答案：⎝⎛⎭⎫14，1210．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋3，x ≤1，ln x ，x ＞1，若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________．解析：若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则f (x )的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数f (x )的图象，如图，故点(1，0)在直线y ＝kx －12的下方．所以k ·1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ，则k ＝ln m ＋12m ＝1m ，所以m ＝ e.此时，k ＝1m ＝ee ，f (x )的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件，故要求的k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，ee .答案：⎝⎛⎭⎫12，ee11．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解：(1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x－1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数， 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ， 且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 12．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象(图略)，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1，54. [综合题组练]1．(应用型)已知函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝x 3＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b解析：选B.f (x )＝2x ＋x 的零点a 为函数y ＝2x 与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)可知a ＜0，g (x )＝log 2x ＋x 的零点b 为函数y ＝log 2x 与y ＝－x 图象的交点的横坐标，由图象(图略)知b ＞0，令h (x )＝0，得c ＝0.故选B.2．(创新型)(2019·兰州模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78D ．－38解析：选C.因为函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，所以方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有一个实数根，又奇函数f (x )是定义在R 上的单调函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0⇔f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )⇔f (2x 2＋1)＝f (x －λ)⇔2x 2＋1＝x －λ，所以方程2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－78.故选C.3．(应用型)(2019·甘肃一模)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝sinπ2x ，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤17，15∪(5，7)D.⎝⎛⎭⎫17，15∪[5，7)解析：选A.当a ＞1时，作出函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示．结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|＜1，log a |5|＜1，故a ＞5；当0＜a ＜1时，作出函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示．结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|≥－1，log a |5|≥－1，故0＜a ≤15.故选A.4．设函数f (x )＝x ＋1x －1，x ∈R 且x ≠1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫110＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)的值；(2)就m 的取值情况，讨论关于x 的方程f (x )＋x ＝m 在x ∈[2，3]上解的个数． 解：(1)根据题意，函数f (x )＝x ＋1x －1，则f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋11x －1＝1＋x 1－x ＝－1＋x x －1， 则f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0，则f ⎝⎛⎭⎫110＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)＝f ⎝⎛⎭⎫110＋f (10)＋f ⎝⎛⎭⎫18＋f (8)＋f ⎝⎛⎭⎫16＋f (6)＋f ⎝⎛⎭⎫14＋f (4)＝0. (2)根据题意，设g (x )＝f (x )＋x ＝x ＋1x －1＋x ＝(x －1)＋2x －1＋2，令t ＝x －1，又由x ∈[2，3]，则t ∈[1，2]， 则设h (t )＝t ＋2t＋2，有h′(t)＝1－2t2＝t2－2t2，分析可得：在区间[1，2]上，h(t)单调递减，在区间[2，2]上，h(t)单调递增；则h(t)在[1，2]有最小值h(2)＝22＋2，且h(1)＝h(2)＝5，则函数h(t)在区间[1，2]上有最大值5，最小值22＋2，方程f(x)＋x＝m的解的个数即为函数g(x)与直线y＝m的交点个数，分析可得：当m＜22＋2时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；当m＝22＋2时，函数g(x)与直线y＝m有1个交点，方程f(x)＋x＝m有1个解；当22＋2＜m≤5时，函数g(x)与直线y＝m有2个交点，方程f(x)＋x＝m有2个解；当m＞5时，函数g(x)与直线y＝m没有交点，方程f(x)＋x＝m无解；综上可得，当m＜22＋2或m＞5时，方程f(x)＋x＝m无解；当m＝22＋2时，方程f(x)＋x＝m有1个解；当22＋2＜m≤5时方程f(x)＋x＝m有2个解．。

第八节　函数与方程[考纲传真]　结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f (x )＝0有实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在x 0∈(a ，b )，使得f (x 0)＝0.2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与零点的关系Δ＝b 2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与x 轴的交点(x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0)(或(x 2,0))无交点零点个数210[常用结论]1．函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，则“f (a )·f (b )＜0”是函数f (x )在区间(a ，b )内有零点的充分不必要条件．2．若函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )，x ∈D 在区间(a ，b )⊆D 内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )＜0.( )(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点．( )[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [∵f (－1)＝－3＜0，f (0)＝1＞0，1e∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数，y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(－2，－1)D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－，f (－1)＝－，35923f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．　[∵函数f (x )的图象为直线，(13，1)由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得＜a ＜1，13∴实数a 的取值范围是.](13，1)判断函数零点所在的区间1．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内A [∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )和(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点，因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.]2．设x 0是方程＝的解，则x 0所在的范围是( )(13)x x A. B.(0，13)(13，12)C. D.(12，23)(23，1)B [构造函数f (x )＝－，(13) x x 因为f (0)＝－＝1＞0，(13)0 0f ＝－＝－＞0，f ＝－＝－＜0.所以由零点存在性定(13)(13) 13 13(13) 13 (13) 12 (12)(13) 12 12(13) 12 (12)12理可得函数f (x )＝－在上存在零点，即x 0∈，故选B.](13) x x (13，12)(13，12)3．设函数y 1＝x 3与y 2＝的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则(12)x －2 x 0所在的区间是________．(1,2)　[设f (x )＝x 3－，则f (x )在R 上是增函数，(12) x －2又f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝8－1＝7＞0，则x 0∈(1,2)．]4．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则g (x 0)＝________.2　[f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－＞0，则x 0∈(2,3)，故g (x 0)＝2.]23[规律方法]　判断函数零点所在区间的3种方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上.(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点.(3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.判断函数零点(或方程根)的个数【例1】　(1)函数f (x )＝2x |log0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2019·兰州模拟)已知函数f (x )满足：①定义域为R ；②∀x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－|x |＋1.则方程f (x )＝log 2|x |在区间[－3,5]内解的个数是( )12A ．5B ．6C ．7D ．8(3)函数f (x )＝Error!的零点个数是________．(1)B (2)A (3)3　[(1)令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝x .(12)设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝x ，在同一直角坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以(12)发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)由f (x ＋2)＝f (x )知函数f (x )是周期为2的函数，在同一直角坐标系中，画出y 1＝f (x )与y 2＝log 2|x |的图象，如图所示．12由图象可得方程解的个数为5，故选A.(3)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－(正根舍去)2所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f (x )有3个零点．][规律方法]　判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(1)函数f(x)＝Error!的零点个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0(2)(2019·泰安模拟)已知函数f(x)＝Error!若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．(1)B　(2)(1，＋∞)　[(1)法一：由f(x)＝0得Error!或Error!解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2个零点．(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象(如图所示)，结合函数图象可知a＞1.]函数零点的应用►考法1　根据零点的范围求参数【例2】　若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2,3)上有零点，则k ＝________.4　[函数f (x )＝log 2x ＋x －k 在(2,3)上单调递增，所以f (2)·f (3)＜0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )＜0，整理得(3－k )(log 23＋3－k )＜0，解得3＜k ＜3＋log 23，而4＜3＋log 23＜5，因为k ∈Z ，故k ＝4.]►考法2　已知函数零点或方程根的个数求参数【例3】　(2019·青岛模拟)已知函数f (x )＝Error!其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞)　[作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][规律方法]　已知函数的零点或方程根，求参数问题的三种方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.(1)函数f (x )＝2x －－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是2x( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )＝Error!则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)(1)C (2)D [(1)∵函数f (x )＝2x －－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －－a 的2x 2x 一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3，故选C.(2)函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＝m －x 的根，在同一坐标系中画出函数f (x )和y ＝m －x 的图象，如图所示，由图象知，当m ≤0或m ＞1时方程f (x )＝m －x 有根，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点，故选D.]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－ B.1213C. D ．112C [法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝(x －1)2＋a [e x －1＋e －(x －1)]－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1.∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点．又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0，∴2a －1＝0，解得a ＝.12故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .e x －1＋e －x ＋1≥2＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．e x －1·e －x ＋1－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．若a >0，则a (e x －1＋e －x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝.若a ≤0，12则f (x )的零点不唯一．故选C.]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)B [f ′(x )＝3ax 2－6x ，当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－6x ＝3x (3x －2)，则当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；x ∈时，f ′(x )<0；(0，23)x ∈时，f ′(x )>0，注意f (0)＝1，f ＝>0，则f (x )的大致图象如图(1)所示．(23，＋∞)(23)59图(1)不符合题意，排除A 、C.当a ＝－时，f ′(x )＝－4x 2－6x ＝－2x (2x ＋3)，则当x ∈时，f ′(x )<0，x ∈43(－∞，－32)时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )<0，注意f (0)＝1，f ＝－，则f (x )的大致图(－32，0)(－32)54象如图(2)所示．不符合题意，排除D.]。