考点08函数与方程了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.1．函数零点的概念对于函数(),y f x x D =∈，我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f (x )=x 2＋1，由于方程x 2＋1=0无实数根，故该函数无零点．3．二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点4．函数零点的判定如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数. 5．常用结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数()()()F x f x g x =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与()y g x =的图象有交点；(4)函数()()F x f x a =-有零点⇔方程()0F x =有实数根⇔函数()y f x =与y a =的图象有交点⇔{|()}a y y f x ∈=，其中a 为常数.考向一确定函数零点所在的区间函数零点的判定方法(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数()y f x =必须在区间[a ，b ]上是连续的，当()()f a f b ⋅0<时，函数在区间(a ，b )内至少有一个零点．(2)方程法：判断方程()0f x =是否有实数解．(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如()()()f x g x h x -=，作出()y g x =和()y h x =的图象，其交点的横坐标即为函数f (x )的零点.典例1 函数32()log f x x x=-的一个零点所在的区间是 A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C 【解析】32()log f x x x =-是连续的减函数，又()()3221log 20;3103f f =->=-<， 可得f （2）f （3）＜0，()f x ()fx∴函数f （x ）的其中一个零点所在的区间是(2,3)， 故选：C.【名师点睛】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题．典例2 在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.【答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】令()321f x x x =--，3275310288f ⎛⎫=--=-<⎪⎝⎭，()120f =-<，()28530f =-=>，故下一步可以断定根所在区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭，故填3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.1．已知函数()1f x mx =+的零点在区间(1,2)内，则m 的取值范围是 A ．1(,)2-∞-B ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1(,1)(,)2-∞--+∞U 2．已知函数()32113f x x x =-+． （1）证明方程f （x ）=0在区间（0，2）内有实数解；（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f （x ）=0，x ∈[0，2]的实数解x 0在哪个较小的区间内．考向二函数零点的个数判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.典例3已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的偶函数，当0x >时，()()12,0212,22x x f x f x x -⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()=4()1g x f x -的零点个数为 A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】函数()()41g x f x =-有零点即()410f x -=有解，即()14f x =， 由题意可知，当02x <≤时，()12x f x -=，当2x >时，()()122f x f x =-， 所以当24x <≤时，()3122x f x -=⨯，此时()f x 的取值范围为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，； 当46x <≤时，()5124x f x -=⨯，此时()f x 的取值范围为1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，5x =时，()154f =； 当68x <≤时，()7128x f x -=⨯，此时()f x 的取值范围为1184⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，8x =时，()184f =； 当810x <≤时，()91216x f x -=⨯，此时()f x 的取值范围为11168⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 所以当0x >时，()14f x =有两解，即当0x >时函数()()41g x f x =-有两个零点， 因为函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞U 上的偶函数， 所以当0x <时，()14f x =也有两解， 所以函数()()41g x f x =-共有四个零点，故选B.【名师点睛】本题考查了函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质以及偶函数的相关性质，考查通过函数性质求函数解析式，考查化归与转化思想，考查函数的值域的求解，体现了综合性，是难题.3．函数()(f x x=-A．1 B．2C．3 D．4考向三函数零点的应用高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略．1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：①求出零点，直接比较大小；②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.典例4对任意实数a，b定义运算“⊗”：,1,1b a ba ba a b-≥⎧⊗=⎨-<⎩,设()21()(4)f x x x=⊗+-，若函数()y f x k=+恰有三个零点，则实数k的取值范围是A．(−2,1) B．[0,1]C ．[−2,0)D ．[−2,1)【答案】D【解析】由新定义可得2224,(1)(4)1()1,(1)(4)1x x x f x x x x ⎧+--+≥⎪=⎨---+<⎪⎩，即24,23()1,23x x x f x x x +≤-≥⎧=⎨--<<⎩或.其图象如图所示，所以由()y f x k =+恰有三个零点可得，−1<−k ≤2，所以−2≤k <1.故选D.4．已知11,10,(1)(),01,x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是A ．2(,)3+∞B ．2[,)3+∞C ．2{8}[,)3-+∞U D ．2{8}(,)3-+∞U1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A ．21y x =+ B ．lg y x = C ．cos y x =D ．e 1xy =-2．函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为 A ．2 B ．3C ．4D ．53．命题7:12p a -<<，命题:q 函数()12x f x a x=-+在()1,2上有零点，则p 是q 的 A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数2,(),x x af x x x a⎧≥=⎨-<⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则函数()()()21g x x f x =--在区间[]3,6-上的所有零点之和为A ．2B ．4C ．6D ．86．若函数f (f )=e −f −ln (f +f )在(0,+∞)上存在零点，则实数f 的取值范围是A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),e -∞C ．1,e e⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1e,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭7．已知函数11ln ,01()1,12x x x f x x -+<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 A ．)0,(-∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞D ．(0,1)8．已知定义域为R 的函数()f x 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin πf x x =，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是__________． 9．已知函数32e ,0()461,0x x f x x x x ⎧<=⎨-+≥⎩，则函数2)(3)]([2)(2--=x f x f x g 的零点个数为________.10．已知函数()()210f x ax mx m a =++-≠.（1）若()10f -=，判断函数()f x 的零点个数；（2）若对任意实数m ，函数()f x 恒有两个相异的零点，求实数a 的取值范围； （3）已知12,x x ∈R 且12x x <，()()12f x f x ≠，求证：方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12,x x 上有实数根.1．（2019年高考浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >02．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3．（2019年高考天津文数）已知函数01,()1,1.x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦U D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦U4．（2018年高考新课标I 卷理科）已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）5．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x =D ．()f x 在(π2,π)单调递减 6．（2017年高考新课标Ⅲ卷理科）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．17．(2016年高考天津卷理科)已知函数()()()24330log 110ax a x a x f x x x ⎧+-+<⎪=⎨++≥⎪⎩,,(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程()||2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A ．72(,]43B ．23[,]34C ．123[,]{}334UD ．123[,){}334U8．（2015年高考安徽卷文科）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A ．y =ln x B ．21y x =+ C ．y =sin xD ．y =cos x9．（2015年高考天津卷文科）已知函数222()(2)2x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,,，函数3())(2g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．510．（2019年高考江苏）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是．11．（2018年高考新课标Ⅲ卷理科）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为． 12．（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．13．（2018年高考天津卷理科）已知0a >，函数()222,0,22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.14．（2015年高考湖北卷理科）函数()()2()|ln |224cos cos 2sin 1f x x x x x =---+π的零点个数为_________．15．（2017年高考江苏卷）设()f x 是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n-==，*}n ∈N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是_________． 16．（2016年高考山东卷理科）已知函数()224x x mf x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩,,，其中0m >．若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有3个不同的根，则实数m 的取值范围是_________．1．【答案】B【解析】由题知f (x )单调，故(1)(2)0,f f ⋅<即(1)(21)0,m m ++<解得112m -<<-. 故选B ．2．【答案】（1）见解析；（2）31,2⎛⎫⎪⎝⎭． 【解析】（1）∵()010f =>，()1203f =-<， ∴()()10203f f ⋅=-<， 又∵函数()32113f x x x =-+是连续函数， ∴由函数的零点存在性定理可得方程()0f x =在区间()0,2内有实数解． （2()1103f =>，由此可得()()11209f f ⋅=-<，则下一个有解区间为()1,2，31028f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，由此可得()3110224f f ⎛⎫⋅=-< ⎪⎝⎭，则下一个有解区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，所求实数解0x 在较小区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内. 【思路分析】（1）通过()0f 与()2f 的乘积小于0，利用零点的存在性定理证明即可；（2）利用二分法求解方程的近似解的方法，转化求解即可． 3．【答案】B【解析】要使函数有意义，则240x -≥，即2x ≥或2x -≤， 由()02f x x =⇒=或2x =-， 则函数的零点个数为2. 故选B ． 4．【答案】D【解析】()()11,10,1,01,x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩Q()11,10,1,01x f x x x x ⎧--<<⎪∴=+⎨⎪≤<⎩方程()21f x ax a -=-进行整理得()1212f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭, 作出函数()11,10,1,01x y f x x x x ⎧--<<⎪==+⎨⎪≤<⎩的图象，如图所示. 直线21y ax a =+-恒过1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即直线绕点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭旋转， 当直线过点()1,1时，23a =； 当直线21y ax a =+-与曲线11(10)1y x x =--<<+相切时，设切点()00,x y ， ()()211f x x '=-+，则切线斜率为()2011k x =-+，切线方程为()()020011111y x x x x ⎛⎫=--+- ⎪++⎝⎭， 将点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入，得()020*********x x x ⎛⎫⎛⎫-=---+- ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭， 解得034x =-，此时斜率为16k =-， 可求得8a =-. 根据图象可知当23a >或8a =-时，方程()21f x ax a -=-有唯一解.【名师点睛】本题考查分段函数的图象，图象的交点与方程的解，利用导数求过一点的函数切线，数形结合的数学思想，属于难题.1．【答案】C【解析】选项A 中，函数无零点，不合题意，故A 不正确. 选项B 中，函数不是偶函数，不合题意，故B 不正确. 选项C 中，函数是偶函数又存在零点，符合题意，故C 正确. 选项D 中，函数不是偶函数，不合题意，故D 不正确. 综上可知选C. 2．【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x ∈πQ ，02x ∴=ππ、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题． 3．【答案】C【解析】由题意得函数()12x f x a x=-+在()1,2上单调递增，又函数()f x 在()1,2上有零点，∵7,12⎛⎫-⎪⎝⎭p 是q 的必要不充分条件． 故选C ． 4．【答案】D【解析】函数()f x =2,,x x a x x a⎧≥⎨-<⎩，函数的图象如图：函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（0，+∞）． 故选：D ．【名师点睛】本题考查分段函数的应用，函数的零点的判断，考查数形结合以及计算能力． 5．【答案】D【解析】由题意得，()()2f x f x +=-，∴()()()42f x f x f x +=-+=，即函数()f x 的周期4.∵()()2f x f x +=-， ∴()f x 的图象关于1x =对称. 作出()f x 的图象如图所示，函数()()()21g x x f x =--的零点即为()y f x =图象与12y x =-图象的交点的横坐标，四个交点分别关于点()2,0对称，则14234,4x x x x +=+=，即零点之和为8. 故选D ． 6．【答案】B【解析】函数f (f )=e −f −ln (f +f )在(0,+∞)上存在零点， 即e −f −ln (f +f )=0在(0,+∞)上有解， 令函数f (f )=e −f ，f (f )=ln (f +f )，e −f −ln (f +f )=0在(0,+∞)上有解即函数f (f )与函数f (f )的图象在(0,+∞)上有交点， 函数f (f )的图象就是函数f (f )=ln f 的图象向左平移f 个单位， 如图所示，函数f (f )=ln f 向左平移时，当函数图象过点(0,1)之后，与函数f (f )=e −f 的图象没有交点， 此时f (0)=ln (0+f )=1，f =e， 故f 的取值范围为(−∞,e ). 故选B.7．【答案】D【解析】2()(1)()0f x a f x a -++=可变形为[()][()1]0f x a f x --=， 即()a x f =或()1=x f ，由题可知函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 当(]0,1x ∈时，函数()f x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减， 画出函数()f x 的大致图象，如图所示，当且仅当1x =时，()1=x f ，因为方程2()(1)()0f x a f x a -++=恰有三个不同的实数根， 所以()a x f =恰有两个不同的实数根， 即(),y f x y a ==的图象有两个交点，由图可知10<<a 时，(),y f x y a ==的图象有两个交点， 所以实数a 的取值范围为(0,1). 故选D ． 8．【答案】7【解析】因为函数()f x 的定义域为R 的奇函数，且当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin πf x x =，所以()00,f =()()110f f -=-=，又周期为3，如图所示，画出函数()f x 的函数图象，由图象可知，在区间[]0,6上的零点为0,1,2,3,4,5,6，所以共有7个零点.【名师点睛】本题考查了三角函数图象、周期函数、奇函数和零点的综合应用，关键是画出函数图象，利用图象来判定零点个数，属于难题.根据定义域为R 和奇函数的定义可得()00f =，利用周期为3和30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()sin πf x x =可画出函数图象，根据图象判定零点个数.9．【答案】3【解析】令()()22[]320f x f x --=，可得()2f x =或()12f x =-， 当0≥x 时，()32461f x x x =-+，可得2()1212f 'x x x =-，令212120x x -=，可得0x =或1x =， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，函数是减函数， 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，函数是增函数，0x =时，函数取得极大值：1，1x =时，函数取得极小值：-1，0x <时，()()e 0,1xf x =∈，绘制函数的大致图象如图所示.故()2f x =，函数有1个零点，21)(-=x f ，函数有2个零点； 所以，函数的零点个数为3．【名师点睛】本题主要考查分段函数的性质及其应用，函数零点个数的求解，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【答案】（1）见解析；（2）01a <<；（3）见解析.【解析】（1）()10,f -=Q10,a m m ∴-+-=1a ∴=，()21f x x mx m ∴=++-，∴()()22412m m m ∆=--=-,当2m =时，0∆=，函数()f x 有一个零点； 当2m ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点.（2）已知0a ≠，则()2410m a m ∆=-->对于m ∈R 恒成立,即2440m am a -+>恒成立，∴216160a a ∆=-<',从而解得01a <<.故实数a 的取值范围是(0,1).（3）设()()()()1212g x f x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦， 则()()()()()()1112121122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦，()()()()()()2212211122g x f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+=-⎣⎦⎣⎦， ()()12f x f x ≠Q ，()()()()21212104g x g x f x f x ⎡⎤∴⋅=--<⎣⎦,()0g x ∴=在区间()12,x x 上有实数根，即方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12,x x 上有实数根.【思路点拨】（1）利用判别式判定二次函数的零点个数；（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可； （3）利用零点的定义，将方程()()()1212f x f x f x ⎡⎤=+⎣⎦在区间()12,x x 上有实数根，转化为函数()()g x f x =-()()1212f x f x ⎡⎤+⎣⎦在区间()12,x x 上有零点，结合零点存在性定理可以证明. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1．【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =f1−f ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴f1−f＜0且{−f ＞013(f +1)3−12(f +1)(f +1)2−f ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3， 则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解． 2．【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-， 如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =， 若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选B.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到(2,3]x ∈时函数的解析式，并求出函数值为89-时对应的自变量的值. 3．【答案】D【解析】作出函数01,()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩的图象，以及直线14y x =-，如图，关于x 的方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1()4y x a a =-+∈R 的图象有两个交点，平移直线14y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两个交点，可得94a =或54a =， 考虑直线1()4y x a a =-+∈R 与1y x =在1x >时相切，2114ax x -=， 由210a ∆=-=，解得1a =（1-舍去）， 所以a 的取值范围是{}59,149⎡⎤⎢⎥⎣⎦U .故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法. 4．【答案】C【解析】画出函数()f x 的图象，e xy =在y 轴右侧的图象去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果. 5．【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可. 6．【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+， 设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 7．【答案】C【解析】当0x <时，f (x )单调递减，必须满足432a --≥0，故0＜a ≤34，此时函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (x )在R 上单调递减，还需31a ≥，即13a ≥，所以1334a ≤≤．结合函数图象，当x ≥0时，函数y =|f (x )|的图象和直线y =2−x 有且只有一个公共点，即当x ≥0时，方程|f (x )|=2−x 只有一个实数解．因此，只需当x ＜0时，方程|f (x )|=2−x 恰有一个实数解． 根据已知条件可得，当x ＜0时，f (x )＞0，即只需方程f (x )=2−x 恰有一个实数解，即()24332x a x a x +-+=-，即()2221320x a x a +-+-=在(−∞，0)上恰有唯一的实数解，判别式()()()()()2242143244734143a a a a a a ∆=---=-+=--，因为1334a ≤≤，所以0∆≥． 当3a −2＜0，即a ＜23时，方程()2221320x a x a +-+-=有一个正实根、一个负实根，满足要求；当3a −2=0，即a =23时，方程()2221320x a x a +-+-=的一个根为0，一个根为23-，满足要求；当3a −2＞0，即23＜a ＜34时，因为− (2a −1)＜0，此时方程()2221320x a x a +-+-=有两个负实根，不满足要求；当a =34时，方程()2221320x a x a +-+-=有两个相等的负实根，满足要求． 综上可知，实数a 的取值范围是123[,]{}334U ．故选C ．8．【答案】D【解析】选项A ：x y ln =的定义域为(0,+∞)，故x y ln =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：12+=x y 是偶函数，但012=+=x y 无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：x y sin =是奇函数，故C 错；选项D ：x y cos =是偶函数，且0cos ==x y 2x k π⇒=+π，k ∈Z ，故D 项正确. 9．【答案】A【解析】方法一：分别画出函数(),()f x g x 的草图，观察发现有2个交点.方法二：当0x <时，22x ->,所以()22f x x x =-=+,()22f x x -=,此时函数()()f x g x -=()()2231f x f x x x +--=+-的小于零的零点为x =当02x ≤≤时，()22f x x x =-=-,()222f x x x -=--=,函数()()23f x g x x x -=-+-=1-无零点;当2x >时, ()()22f x x =-,()2224f x x x -=--=-,函数()()()224f x g x x x -=-+--2355x x =-+大于2的零点为x =综上可得函数()()y f x g x =-的零点的个数为2.故选A.10．【答案】13⎡⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数()f x =的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根， 要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则()(0,2]f x x =∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=，解得(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴134k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为13⎡⎢⎣⎭. 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x ，()g x 的图象，数形结合求解是解题的关键因素. 11．【答案】3【解析】0πx ≤≤Q ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出π36x +的范围，再由函数值为零，得到π36x +的取值可得零点个数. 12．【答案】(1,4) (]()1,34,+∞U 【解析】由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，故不等式f (x )<0的解集是()1,4,当4λ>时，()40f x x =->，此时()2430,1,3f x x x x =-+==，即在(),λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由()243f x x x =-+在(),λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(]()1,34,+∞U .【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 13．【答案】()48， 【解析】分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=，整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+；当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=，整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-.令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩，其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++--， 则原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象，同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件，结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.14．【答案】2【解析】因为()()()2()|ln 4coscos 2sin 12|221cos sin 2sin f x x x x x x x x =---++⋅-π=- ()|ln 1|x +()sin 2n 1||l x x =-+，所以函数f (x )的零点个数为函数y =sin 2x 与y =|ln(x ＋1)|图象的交点的个数．函数y =sin 2x 与y =|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f (x )有2个零点．15．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 16．【答案】(3，＋∞)【解析】函数()f x 的大致图象如图所示，根据题意知只要24m m m >-即可，又m ＞0，解得m ＞3， 故实数m 的取值范围是(3，＋∞)．。
