机械优化设计方法(PPT课件203页)

当 X
(0)

(x1 ) (x2 ) 0时，
2 2
如果上式极限存在，则称这个极限值为目标 函数Ｆ(Ｘ)在Ｘº 点沿S方向的方向导数。
§2.1
目标函数的性态分析
记作
F ( X S
(0)
)
lim (0)
X
F (x
( 0) 1
x1 , x
( 0) 2
x 2 ) F ( x , x )
x
1 2 3 4
1
§2.1
目标函数的性态分析
非圆形的等值面（等值线）是 实际问题中常见的。可以用地形图 中的等高线来比喻。等值线的中心 一般是目标函数的极值，等值线越
密，该处的函数变化率越大。 等值线（面）的分布律表示了
目标函数的变化情况。 对于有中心的曲线族，求目标
中心
函数的极值就是寻找等值线族的共
§2.1
目标函数的性态分析
二、函数的方向导数
等值面或等值线只是从几何方面定性地表达了目标函 数的变化规律。这是不够的，必须对目标函数的性态作定 量的分析，以便进一步探明目标函数沿某个指定方向的函 数值的变化率是多少，沿哪个方向变化率最大。（现代设 计方法的发展趋势之一，就是由定量取代定性。）为此， 需要引入方向导数和梯度的概念。
而对于n维函数，可以以此类推出：
n F ( X ( 0) ) F ( X ( 0) ) . cos i S xi i 1
§2.1
目标函数的性态分析
例1：优化钻杆问题
F(X ) x x
2 1
2 2
设方向S
1
， S 2分别为
0 0 40 60 1 1 S1 , S 2 0 0 50 30 2 2

所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本 组成部分，也是优化方法的基础。
机械优化设计
一、概述
1、无约束优化问题
求n 维设计变量 Xx1,x使2,目x标nT函数
f Xmin ，而对 X 没有任何限制条件。
2、求解方法 （1）利用极值条件来确定极值点的位置。 （2）数值计算方法——搜索方法 基本思想：从给定的初始点 x 0 出发，沿某一搜索方向
y1,y2y12y221 2y1 y2 0 20 2 y y1 2
可以看出二者的对角形矩阵不同，前者的 等值线为一族椭圆，后者的等值线为一族同 心圆，这说明对角形矩阵是表示度量的矩阵 或者是表示尺度的矩阵，最速下降法的收敛 速度和变量的尺度有很大关系。
称其为牛顿方向，则阻尼牛顿法的迭代公式为：
X k 1 X k k d k X k k 2 fX k 1 fX k ( k 0 , 1 , 2 )
k ——阻尼因子，即沿牛顿方向进行一维搜索的最佳步长，
可通过如下极小化过程求得：
机械优化设计
章 无约束优化方法
一、概述 二、最速下降法（梯度法） 三、牛顿型方法（牛顿法和阻尼牛顿法） 四、共轭方向和共轭方向法 五、共轭梯度法 六、变尺度法 七、坐标轮换法
机械优化设计
实际中的工程问题大都是在一定限制条件下追 求某一指标为最小，属于约束优化问题。
为什么要研究无约束优化问题？
1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束问题； 2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的 基础； 3）约束优化问题的求解可用通过一系列无约束优化方法来 达到。
f xk1 Tf xk 0 或 dk1 T dk 0

谢谢！
Байду номын сангаас
72
机械优化设计绪论概述
61、辍学如磨刀之石，不见其损，日 有所亏 。 62、奇文共欣赞，疑义相与析。
63、暧暧远人村，依依墟里烟，狗吠 深巷中 ，鸡鸣 桑树颠 。 64、一生复能几，倏如流电惊。 65、少无适俗韵，性本爱丘山。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华

X (k ) H 1 ( X (k ) )g (k )
X (k) H (k 1) g (k) _ 拟牛顿条件（" DFP " 条件）
三、 ”DFP”变尺度法
17
1、 ”DFP”变尺度矩阵的递推公式
H (k 1) H (k ) △H (k )
(k 0,1,2,...)
X (k) H (k 1) g (k) _ 拟牛顿条件（" DFP " 条件）
5 无约束优化方法 5-3 powell法 一、共轭方向 二、Powell 基本算法 三、改进后的Powell算法
1
5 无约束优化方法
5-4 梯度法、牛顿法
5-5 DFP变尺度法简介
2
1、熟悉无约束优化方法梯度法与牛顿法的 基本思路及分类
2、比较间接法与直接法的特点及实用范围
3、了解变尺度法的基本思想，能够用其解 决无约束优化问题
二次函数（X）近似 代替原目标函数f ( X )
X
()
为f ( X )的下一个迭代新 点
X (k 1)
如此反复迭代，逐步逼近f ( X )的最优点X
8
2、迭代方法
二阶Taylor展开式：
f (X)
(X)
f (X (k) )
f (X (k) ) T X
1 2
X
T2
f
(X
(k ) )X
X [ x1，x2， xn ]T
X (k ) (H (k ) H (k ) )g (k ) H (k ) g (k ) X (k ) H (k ) g (k ) (1)
H (k) X (k) [q (k) ]T H (k) g (k) [w (k) ]T (2)

下次课预习内容：
3 优化方法的数学基础
3.2 函数的梯度和二阶导数矩阵 一、方向导数与梯度 二、函数的二阶导数矩阵 3.3 函数的近似表达式（多元函数Taylor展开式） 3.4 无约束目标函数的极值条件
f* fmin0
X (*)
总结:
“正定二元二次型函数的这个概念完全可以
推广到n = 3及多维的设计问题的分析中去”
只不过对于3维问题,在设计空间对应的应是
目标函数的“等值面” “同心椭球面族”；
椭球面的中心正好是极值(小)点
高于3维的问题（n > 3）,在设计空间中将是
“超椭球面”（多维正定二次函数的超等值面）， 无法用三维图形表示，是一个抽象的概念。
f(X ) 1 2 (a 1x 1 2 a 1x 1 2 x 2 a 2x 1 x 2 a 2x 2 2 2 )
b1x1b2x2c
若令：
X

x1

x
2

A

a11 a21
a12
a22

(a12a21)
B

b1

b
2

若令：
X

x1
f(Y)1YTaY bTYc 2
（坐标平移变换）
f (X) XTAX
1、正定二元二次型函数的等值线是同心椭圆族，椭 圆的中心就是以该函数为目标函数的极小点
设: 二元二次型函数
f(x ) a1 2x 2 b1 x x 2 c2 2 x
x1
x2ba
bx1 cx2
换句话说：若沿着 X (1) 、 X(2) 两点连线方 向搜索,就可以找到 f (X ) 的极小点。这一特性 在建立了共轭方向的概念之后就知道,它对产 生某些优化算法有着重大意义。

▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
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28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠械优化设计.
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭

10d D 0 或 10d0.62831805
n
n
该问题属于二维约束问题
12
1.1.3连杆机构优化设计
由图所示六杆机构。它是铰链四杆机构ABCD和带有 滑块5的摆杆6由连杆BE连接而成的。原动件AB逆时 针转动使从动件6绕P点往复摆动。机架AD水平置放， F点已选定。 要求： 当原动件AB转角φ0在180—300o范围内， 摆杆6处于LM位置不动， 即从动件摆杆产生间歇运动。
单价c与螺栓材料，直径d，长度l及加工状况有关。本组 螺栓取35号钢，长度l=50mm的六角头半精制螺栓，单 价见下表
直径d （mm)
单价c （元）
10 0.052
12 0.091
14 0.142
16 0.174
18 0.228
20 0.251
9
由表中数据初步画C=f(d)曲线，由下图线形回归法求得 方程：
表a，每小时生产零件利润量
零件种类
机器序号
1
2
3
4
1
5
6
4
3
2
5
4
5
4
3
6
7
2
8
表b，各机器生产零件速率
零件种类
机器序号
1
2
3
4
1
8
2
4
9
2
7
6
6
3
3
4
8
5
2
19
解：为获利润最大，需合理确定每台机器生产某种零件
若干，设xij表示第j台机器生产第i中零件的件数。
一个月内获总利润： W 5 x 1 16 x 1 24 x 1 33 x 1 45 x 2 14 x 2 25 x 2 34 x 24 6 x 3 17 x 3 22 x 3 38 x 34 且要满足以下约束条件： （1）数量需求限制

.
大齿轮强度要求 小齿轮强度要求 接触疲劳强度要求 齿宽系数要求 最小齿数要求
11
综上所述，这些问题的共同点都是：
在满足设计要求和条件的情况下，使目标的参数达 到最优，即最优参数。
一个优化设计问题应包括： 合理选择一组独立的参数——设计变量； 有一个或几个需要满足最佳的设计目标，它是设 计变量的函数——目标函数； 所取设计变量必须满足一定的限制条件—约束条件。
（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。
例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢
丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设
计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量Ｇ等作为设
计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中
径D作为设计常量。
.
17
（3）设计变量应该是独立的；
（4）用设计变量来阐述设计问题应该是用 最少的数量；
小型设计问题：一般含有2—10个设计变量；
中型设计问题：10—50个设计变量；
大型设计问题：50个以上的设计变量。
目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问
题。
.
16
如何选定设计变量？
确定设计变量时应注意以下几点：
（1）抓主要，舍次要。 对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，
影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至 可以不考虑。
.
3
实例1、箱盒的优化设计（续）
分析：
（1）箱盒的表面积的表达式；
（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3 ； （3）设计约束条件：
（a）体积要求； （b）长度要求；
x2 x1
x3
.
4
数学模型
设计参数： x1, x2, x3

满足一定的条件（约束条件即在可行域内，且保 证目标函数值的下降性），至此完成第一次迭代。
然后将起始点移至 x，重复以上过程，经过若干
次迭代计算后，最终取得约束最优解。
x 1）在可行域内选择一个初始点 0 ；
2）沿该点周围不同的方向进行若干次
搜索，计算各方向上等距离点的函数
值，找出其中最小值
3）如x L果
f
(
xL
)
及点
；
则以两点连f(线x方L)向作f为(x搜0索)方向以适
当的步长向前搜索，得到新点 。
若
x ，则将新的起点移
x 至 f(x，) 重复f(前xL面)过程；
否则应缩短步长，直至取得较好点。
4）如此循环下去，当满足计算精度， 则可结束迭代计算
1．随机数的产生
首先令 r1235,r2236,r3237,取 r2657863
X j X 00 e jj 1 ,2 ,k
（3）检验 k 个随机点是否为可行点，除去非可行
点，计算余下可行点的目标函数值，比较大小，选 出目标函数值最小的点 X L ；
（4） 比较两点 X L 和 X 0 的函数值，当点 X L 满足
gj XL0 j 1,2,m
f XL min f Xj j1,2,k
对于求解小型的机械优化问题，随机方向法 是一种比较有效的算法。
三、复合形法
基本思路： 在可行域内构造一个具有 k(n1k2n)个顶点 的初始复合形。对该复合形各顶点的目标函数值 进行比较，找到目标函数值最大的顶点（称最坏 点），然后按一定的法则求出目标函数值有所下 降的可行的新点，并用此点代替最坏点，构成新 的复合形，复合形的形状每改变一次，就向最优 点移动一步，直至逼近最方法