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第二十二章复习一元二次方程综合复习

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第二十二章复习 一元二次方程综合复习 【本章知识框架】

【本章重点】 1．一元二次方程的定义 一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为0cbxax2(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 我们把0cbxax2(a≠0)叫做一元二次方程的一般形式，特别注意二次项系数一定不为0，b、c可以为任意实数，包括可以为0，即一元二次方程可以没有一次项，常数项．0ax2(a≠0)，0cax2(a≠0)， 0bxx2(a≠0)都为一元二次方程．

@ 3．一元二次方程的解法

一元二次方程的解法有四种：(1)直接开平方法；(2)因式分解法；(3)配方法；(4)公式法．要根据方程的特点灵活选择方法，其中公式法是通法，可以解任何一个一元二次方程． 4．一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式为ac4b2． △>0方程有两个不相等的实数根． △＝0方程有两个相等的实数根． △<0方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 5．一元二次方程根与系数的关系

如果一元二次方程0cbxax2(a≠0)的两个根是21xx、，那么acxxabxx2121，． : 6．解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．

【解题思想】 1．转化思想 转化思想是初中数学最常见的一种思想方法． ' 运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题．在本章中，将解一

元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等． 2．从特殊到一般的思想 从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等． 3．分类讨论的思想 一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想．

【经典例题精讲】 1．对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 2．解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．

3．一元二次方程0cbxax2(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．

" 4．一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，

求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．

【中考热点】 本章的应用性较强，本章内容一直是命题的热点，填空题、选择题有，解答题也有，单独出现或和其他内容结合出现．

【历届中考题目】 一、填空题

1．(2003·吉林)方程03x2x2的解是_____________．

2．(2002·江苏泰州)如果21xx，是方程03x4x2的两根，那么2112xxxx＝_____________． $

3．(2002·杭州)已知2是关于x的方程0a2x232的一个解，则2a－1的值为_____________． 4．(2003·大连)某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米．设这两年该房屋开发公司建设住宅面积的年平均增长率为x，则可列方程为_____________．

5．(2003·四川)已知关于x的一元二次方程07mx)1m(x82有两个负数根，那么实数m的取值范围是_____________． 6．(2003·青岛)九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方程05x6x24”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设yx2，那么24yx，于是

原方程可变为05y6y2 ①，解这个方程得：5y1y21，．当y＝1时，1x2，∴x＝±1；当y＝5时，5x2，∴5x．所以原方程有四个根：5x5x1x1x4321，，，． (1)在由原方程得方程①的过程中，利用_____________法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．

(2)解方程012)xx(4)xx(222，若设xxy2，则原方程可化为_____________． 7．(2003·泰安)已知实数x、y满足06y2xy4xy4x22，则x＋2y的值为_____________． 8．(2003·泰安)如图22－1，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为_____________． 9．(2003·济宁)关于x的二次方程03k4xkx22的两个实数根为21xx、，如果1)1x)(1x(21，那么k＝_____________．

$

二、选择题 1．(2002·泰州)k为实数，则关于x的方程01kx)1k2(x2的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．(2002·杭州)用配方法将二次三项式5a4a2变形的结果是( ) A．1)2a(2 B．1)2a(2 C．1)2a(2 D．1)2a(2 3．(2002·桂林)如果方程0mx2x2有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是( ) A．m<1 B．m>1 … C．m<－1 D．m>－1

4．(2003·重庆)下列一元二次方程中，没有实数根的是( ) A．01x2x2 B．02x22x2 C．01x2x2 D．02x4x32 5．(2003·威海)对于一元二次方程0cbxx，下面的结论错误的是( ) A．若c＝0，则方程必有一个根为0 B．若c<0，则方程必有两个正数根 C．若c>0，b<0，则方程必有两个正数根 D．若b>c＋1，则方程有一个根大于－1，一个根小于－1

6．(2003·青岛)已知010122，，且α≠β，则αβ＋α＋β的值为( ) : A．2 B．－2

C．－1 D．0

三、解答题 1．(2003·潍坊)已知关于x的方程01kx)3k2(x)1k(2有两个不相等的实数根21xx、． (1)求k的取值范围． (2)是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数 解：(1)根据题意，得 )1k)(1k(4)3k2(2 4k49k12k422 [ ＝－12k＋13>0，

所以，1213k． 所以，当1213k时，方程有两个不相等的实数根． (2)存在． 如果方程的两个实数根互为相反数，则 01k3k2xx21，

解得23k， 检验知：

23k是01k3k2

的解．

所以，23k时，方程的两实数根21xx与互为相反数． · 当你读了上面的解答过程后，请判断是否有错误

如果有，请指出错误之处，并直接写出正确的答案．

2．(2003·菏泽)已知方程02mx)1m2(x22的两个实数根的平方和等于11，求m的值． 3．(2003·滨州)设(a，b)是一次函数y＝(k－2)x＋m与反比例函数xny的图象的交点，且a，b是关于x的一元二次方程0)3k(x)3k(2kx2的两个不相等的实数根，其中k为非负数，m，n为常数． # (1)求k的值；

(2)求一次函数与反比例函数的解析式． 4．(2003·淄博)下面是一位同学做的一道练习题． 已知关于x的方程0qpxx2的两个实数根为p、q，求p、q的值． 、 解：将p、q分别代入0qpxx2，得





0qpqq0qpp

222

，

0q0p；21q21p；2q1p

． (1)请判断该同学的解法是否存在问题，并说明理由；

(2)这道题还可以怎样解请写出你的解法． ~ 参考答案 【历届中考题目】 一、

1．1x3x21，

2．310 3．5

4．7)x1(42 5．m>7 【 6．换元法，012y4y2

7．－3或2 8．4，6 9．－3 二、 1．A 2．A 3．A 4．C 5．C 6．B 三、 1．(1)中忽视k－1≠0的情况，当k－1＝0时，方程为一元一次方程，只有一个实数根．

正确答案为：当1213k，且k≠1时，方程有两个不相等的实数根． (2)中的实数k不存在，当23k时，判别式△＝－5<0，方程没有实数根． ( 应为：不存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数

2．解：设方程的两根为21xx，，由韦达定理，得2mxx)1m2(xx22121，． 又11)2m(2)]1m2([xx2)xx(xx22212212221， 整理，得03m2m2， 解之，得1m3m21，． 由二次方程有两个实数根，

∴09m4)2m(4)1m2(22，

解之，得49m． 故m＝－3不合题意应舍去． 取m＝1，即m＝1为所求． / 3．解：(1)∵关于x的方程0)3k(x)3k(2kx2有两个不相等的实数根，

∴0)3k(k4)3k(40k2， 解得k<3，且k≠0． 又∵一次函数y＝(k－2)x＋m存在且k为非负整数， ∴k＝1． (2)∵k＝1，

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【初中数学精品资料】小升初数学总复习资料归纳第二十二章第1节一元二次方程

【初中数学精品资料】小升初数学总复习资料归纳第二十二章第1节一元二次方程


【典型例题】
例 1. 观察下列各方程： 3 1 1 ①－ x2－2x＝ ；②x2＋ －2＝0；③（x＋1） （2x＋1）＝0；④x＋ x2＋1＝1；⑤x2＋5＝ 2 3 x （x＋1） （x＋4） ；⑥ax2＋bx＝0． 其中是一元二次方程的是__________；不是一元二次方程的是__________． 分析：方程①③的两边都是整式，只含有一个未知数 x，且 x 的最高次数是 2，方程② ④的左边不是整式，⑤是一元一次方程，⑥中 a 的取值不确定． 解：①③；②④⑤⑥ 评析：一元二次方程的判定方法： （1）形如 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式．判断一元 二次方程的关键是二次项的系数 a 不为零．当 a＝0，b≠0 时，方程为一元一次方程； （2） 是否是整式方程； （3）是否含有一个未知数．
年
级
初三 安廷玲本
人教新课标版
内容标题 编稿老师
一元二次方程
【本讲教育信息】
一. 教学内容： 一元二次方程 1. 一元二次方程的概念及一般形式． 2. 进行简单的一元二次方程的试解． 3. 一元二次方程的简单应用． 4. 简单的实际问题中估算方程的解． 二. 知识要点： 1. 一元二次方程 （1）定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元） ，并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程． （2）一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋ bx＋c＝0（a≠0） ．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2 是二次项，a 是二次项 系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 2. 能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做 解方程． 3. 一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代入方程，看方程 左右两边的值是否相等． 4. 估算很实用，对于某些比较简单的一元二次方程可以通过估算得到方程的解．但是对 于比较复杂的一元二次方程用估算求解就比较困难了． 三. 重点难点： 本讲重点是对于一元二次方程及其有关概念的认识， 难点是对简单实际问题列方程， 正 确识别一般式中的“项”及“系数” ．
初中数学九年级上册第二十二章《一元二次方程》复习学案

初中数学九年级上册第二十二章《一元二次方程》复习学案

人教版初中数学九年级上册第二十二章《一元二次方程》复习学案一、 知识回顾１、在方程:①x1+x 2=0② 2x 2－5xy+y 2=0 ③ x 2=16 ④7x 2－2=0中，一元二次方程的是（） A ①② B ②③C ③④ D ①③<知识提要1>：判断一个方程是不是一元二次方程，必须把方程化为一般形式后，看是否满足：（１）＿＿＿＿＿＿＿（２）＿＿＿＿＿＿＿（３）＿＿＿＿＿＿＿＿２、关于方程ｘ的一元二次方程（ａ－１）x 2＋ｘ＋ａ2－１＝０的一个根是０，则ａ为（） Ａ１Ｂ－１Ｃ１或－１Ｄ21 ＜知识提要２＞：一元二次方程的一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿３、下列方程中没有实数根的是（）Ａx 2－ｘ－１＝０Ｂx 2－６ｘ＋５＝０Ｃx 2－２ｘ＋３＝０Ｄ２x 2＋ｘ＝－１＜知识提要３＞判断一元二次方程有无实数根，必须先把方程整理成一般形式后，确定ａ、ｂ、ｃ的值，计算出ｂ2－４ａｃ的值。

当ｂ2－４ａｃ＞０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿当ｂ2－４ａｃ＝０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿当ｂ2－４ａｃ＜０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿，反之也成立。

４、用适当的方法解下列方程：（１）x 2－４ｘ－３＝０ （２）（x －３）2＋２ｘ（ｘ＋３）＝０（３）２x 2＋３ｘ＝２ （４）３（x －２）2＝２７＜知识提要４＞一元二次方程的解法有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿二、综合运用１、（长沙中考）关于ｘ的一元二次方程ｍx2－（３ｍ－１）ｘ＋２ｍ－１＝０，其根的判别式的值为１，求ｍ的值及该方程的根。

２、（威海中考）若关于ｘ的一元二次方程x2＋（ｋ＋３）ｘ＋ｋ＝０的一个根是－２，求ｋ及方程的另一个根。

三、矫正补偿１、方程ｍx2＋３ｘ－４＝５x2是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的取值范围是＿＿＿＿２、已知关于ｘ的一元二次方程ａx2－６ｘ＋９＝０有两个实数根，则ａ的取值范围是＿＿３、（潍坊中考）关于ｘ的一元二次方程x2－ｍｘ＋（ｍ－２）＝０的根的情况是（）Ａ有两个不相等的实数根Ｂ有两个相等的实数根Ｃ无实数根Ｄ无法确定４、（江苏中考）解一元二次方程（２ｘ－１）2＝（３－ｘ）2四、完善整合谈谈本节课你有哪些收获？。

第二十二章一元二次方程

第二十二章一元二次方程


（ 2）
x2 x1 x1 x2
（5）
x2 x1 x1 x2
（6） x1 x 2 2
（3）
1 1 x1 x 2
（4） x1


1 x2
1 x2 x 1
3.已知方程 5 x 2 kx 6 0 的一个根是 2，求它的另一个根 和 k 的值
典型例题 例 3、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边 跟踪训练 ，另三边用木栏围成，木栏长 35m。①鸡 1. 我市某企业为节约用水，自建污水净化站.7 月份净化污 靠墙（墙长 18m） 场的面积能达到 150m2 吗？②鸡场的面积能达到 180m2 水 3000 吨，9 月份增加到 3630 吨，求这两个月净化污水 吗？ 如果能， 请你给出设计方案； 如果不能， 请说明理由。 量的平均每月增长的百分率.
（4） x 2 7 x 2 0
- 10 -
跟踪训练
用配方法解下列方程： （1） x 2 4 x 2 （2） x 2 8 x 1 0
例 3.用配方法解下列方程： （1）2x2－8x+1=0 （2）3x +6x =2
2
（3） 2 x 2 6 x 2 0 （3） x 2 3x 4 （4） x 2 5 x 6 0
2.某钢铁厂今年 1 月份钢产量为 4 万吨，第一季度共生产 钢 13.24 万吨,问 2、3 月份平均每月的增长率是多少?
跟踪训练
要建成一面积为 130 ㎡的仓库，仓库的一边靠墙（墙宽 16 m ） ，并在与墙平行的一边开一个宽 1 m 的门，现有能 围成 32 m 的木板。求仓库的长与宽各是多少？ 3．市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价 格．•某种药品经过连续两次降价后，由每盒 200 元下调至 128 元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
【九年级】新课标人教版初中数学九年级上册第二十二章一元二次方程复习学案

【九年级】新课标人教版初中数学九年级上册第二十二章一元二次方程复习学案

【关键字】九年级新课标人教版初中数学九年级上册第二十二章《一元二次方程》复习学案一、 知识回顾１、在方程:①x1+x 2=0② 2x 2－5xy+y 2=0 ③ x 2=16 ④7x 2－2=0中，一元二次方程的是（） A ①② B ②③ C ③④ D ①③<知识提要1>：判断一个方程是不是一元二次方程，必须把方程化为一般形式后，看是否满足：（１）＿＿＿＿＿＿＿（２）＿＿＿＿＿＿＿（３）＿＿＿＿＿＿＿＿２、关于方程ｘ的一元二次方程（ａ－１）x 2＋ｘ＋ａ2－１＝０的一个根是０，则ａ为（） Ａ１ Ｂ－１ Ｃ１或－１ Ｄ21 ＜知识提要２＞：一元二次方程的一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿３、下列方程中没有实数根的是（）Ａx 2－ｘ－１＝０Ｂx 2－６ｘ＋５＝０Ｃx 2－２3ｘ＋３＝０Ｄ２x 2＋ｘ＝－１＜知识提要３＞判断一元二次方程有无实数根，必须先把方程整理成一般形式后，确定ａ、ｂ、ｃ的值，计算出ｂ2－４ａｃ的值。

当ｂ2－４ａｃ＞０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿当ｂ2－４ａｃ＝０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿当ｂ2－４ａｃ＜０时，＿＿＿＿＿＿＿＿＿，反之也成立。

４、用适当的方法解下列方程：（１）x 2－４ｘ－３＝０ （２）（x －３）2＋２ｘ（ｘ＋３）＝０（３）２x 2＋３ｘ＝２ （４）３（x －２）2＝２７＜知识提要４＞一元二次方程的解法有：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿二、 综合运用１、（长沙中考）关于ｘ的一元二次方程ｍx 2－（３ｍ－１）ｘ＋２ｍ－１＝０，其根的判别式的值为１，求ｍ的值及该方程的根。

２、（威海中考）若关于ｘ的一元二次方程x 2＋（ｋ＋３）ｘ＋ｋ＝０的一个根是－２，求ｋ及方程的另一个根。

三、 矫正补偿１、方程ｍx 2＋３ｘ－４＝５x 2是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的取值范围是＿＿＿＿ ２、已知关于ｘ的一元二次方程ａx 2－６ｘ＋９＝０有两个实数根，则ａ的取值范围是＿＿ ３、（潍坊中考）关于ｘ的一元二次方程x 2－ｍｘ＋（ｍ－２）＝０的根的情况是（ ） Ａ有两个不相等的实数根 Ｂ有两个相等的实数根 Ｃ无实数根 Ｄ无法确定４、（江苏中考）解一元二次方程（２ｘ－１）2＝（３－ｘ）2四、完善整合谈谈本节课你有哪些收获？此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。