(完整word版)数列型不等式的证明

专题29 不等式的证明技巧【高考地位】证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 比较法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步 通过两个实数a 与b 的差或商的符号（X 围）确定a 与b 大小关系； 第二步 得出结论.例1设实数,a b 满足a b ≠，求证：4422()a b ab a b +>+． 【答案】详见解析.考点：不等式的证明.【点评】两个多项式的大小比较常用的两种方法是作差法和作商法. 【变式演练1】设0>>b a ，求证：abbab a b a >. 【答案】详见解析.考点：不等式的证明.方法二 分析法使用情景：一般不等式证明解题模板：第一步 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件； 第二步 把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题； 第三步 如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.例3设,,,3,a b c R ab bc ca +∈++≥证明：555322322322()()()9a b c a b c b c a c a b ++++++++≥。

【答案】原命题等价于333222()()9a b c a b c ++++≥，利用分析法。

【变式演练2】已知：c a <c b <，求证：cabc b a 12<++. 【答案】应用分析法 【解析】试题分析：要使原不等式成立，只要：2221c ab c b a <⎪⎭⎫⎝⎛++只要22222422222a c abc b c c abc a b ++<++， 只要2222422a cbc c a b +<++，只要222222()()0c a c b c a -+-<，只要2222()()0a c c b --<， 由已知此不等式成立。

数列求和不等式的证明摘要：数学的研究不是死做题、多做题，而是研究各种方法的共性，浓缩其精髓概括其要领。

本文试图从数列求和不等式的证明结合历年高考试题领会消项裂项的技巧方法，旨在提高学生的解题能力。

关键词：数列求和消裂项放缩无穷有穷中图分类号：g633.6 文献标识码：c doi：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.16.142数列求和不等式的证明是高中数学教学的重难点，也是历年高考压轴题的热点。

然而通过深入的研究会发现：数列求和（本文所讲的方法）与用累加累积法求数列的通项公式的方法原理有许多相通之处——“无穷”向“有穷”的转化（通过许多式子的相加或相乘来抵消中间项，留下两头），即一个“消”字为其精髓。

1 方法原理1、求和：sn=1+2+3+4+…+n.解答：∵n=[n（n+1）2]-[n（n-1）2]∴1=[1（1+1）2]-[1（1-1）2]，2=[2（2+1）2]-[2（2-1）2]，3=[3（3+1）2]-[3（3-1）2]，…n=[n（n+1）2]-[n（n-1）2]上式累加的sn=1+2+3+4+…+n=[1（1+1）2]-[1（1-1）2]+[2（2+1）2]-[2（2-1）2]+[3（3+1）2]-[3（3-1）2]+…+[n（n+1）2]-[n（n-1）2]=[n（n+1）2]求和：sn=12+22+32+42+…+n2. 解答：∵n2=[n（n+1）（2n+1）6]-[n（n-1）（2n-1）6]∴12=[1（1+1）（2×1+1）6]-[（1-1）×1×（2×1-1）6]，22=[2（2+1）（2×2+1）6]-[（2-1）×2×（2×2-1）6]…n2=[n（n+1）（2n+1）6]-[n（n-1）（2n-1）6]上式累加得sn=12+22+32+42+…+n2=[n（n+1）（2n+1）6].上面两个例子看起来好像有点牵强，但提供给我们一个数学基本方法：（裂项加减相消）把无穷消中间变成有穷。

(1)证明：对 "x Î[0, +¥), f (x) ³ 0 恒成立；
(2)是否存在
n
Î
N*
，使得
ln
2
<
sin
1 1´
3
+
sin
2
1 ´
4
+
×
×
×
+
sin
1 n(n +
2)
<
3 4
成立？请说明理由．
23．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知
专题 10 数列不等式的放缩问题
目录
01 先求和后放缩 .................................................................................................................................1
明理由；
a
-
1
£0
(3)对任意正整数
n
，不等式
1 +
1 b1
1 +
1 b2
××
×
1
+
1 bn
n - 2 + an
都成立，求实数 a 的取值范围．
n
06 å ai < (>)b 型不等式的证明 i =1
22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数 f (x) = sin x - x + 1 x3 ． 6
等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求an 的通项公式；

高中数学联赛不等式专题练习（带答案详解）一、解答题1．已知a ，b 为正数，且a b2112a b a b+>>>+. 【答案】证明见解析 【分析】如图所示，可先构造Rt ABC △，再构造Rt BCD ，最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，由图形直观得AB BC BD BE >>>，即得证. 【详解】=可先构造Rt ABC △，使得2a b BC +=，2a bAC -=，如图所示.此时，AB =再以2a b BC +=为斜边，2a bCD -=为直角边构造Rt BCD ，则BD ===最后，作Rt Rt BC D BCD '△≌△，过点D 作DE BC ⊥'交BC '于点E ，由2BD BE BC =⋅'得22112BD BE BC a b==='+， 由图形直观得AB BC BD BE >>>，2112a ba b+>>>+.2．已知：0a>，0b>，1a b+=.2≤.【答案】证明见解析.【分析】构造一个直角三角形，图所示）cos)2αα+≤,即得证.【详解】证明：为了使得条件1a b+=与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将该条件作如下变形：11222a b⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而有222+=.①.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而满足条件1a b+=.由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”，而有不等式.至于这个双联不等式的右边部分，也可由图，并根据直角三角形的边角关系知αα=.cos)24πααα⎛⎫+=+≤⎪⎝⎭∴2≤成立.3．设x，y，0z>1=，证明4224224225552221()()()x y z y z x z y x x y z y z x z y x +++++≥+++.【答案】证明见解析. 【详解】等价于已知x ，y ，0z >，1x y z ++=，证：()8445221x y z x y z +≥+∑， 由三元均值不等式有()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()84444622()x y z x y xyz yx ∏+⎛⎫=∏+ ⎪⎝⎭，所以有()()8446653()()xy z x y xyz xyz ++≥∏∏，则可知()844522x y z x y z +≥+∑由柯西不等式有()()()866444444322()893xy x y x xyxyz xxy++≥≥≥+∏∏∑∑∑∏，则有()844522x y z x y z+≥+∑1x y z =++≥∴≥又13，所以()8445221x y z x y z +≥+∑, 所以原不等式成立.4．对每一个正整数2n ≥，求最大的常数n c 使得不等式1nn i i j i i jc a a a =<≤-∑∑对任意满足10nii a==∑的实数12,,,n a a a 成立．【答案】2n【详解】首先，我们证明2n n c ≤；若n 为偶数，设2n k =，取1121,1k k k a a a a a +=======-，此时21,2nii j i i jan a a k =<=-=∑∑．所以2122iji jn nii a ak n c k n a<=-≤===∑∑． 若n 为奇数，设21n k =+，取121221,11k k k ka a a a a k +++=======-+，此时1(1)121ni i k a k k k k ==++⋅=+∑，(1)1(21)1i j i j k a a k k k k k <⎡⎤⎛⎫-=++=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦∑． 所以1(21)21222iji jn nii a ak k k nc k a<=-++≤===∑∑，所以对n +∈Z 均有2n n c ≤． 下面我们证明2n nc =满足条件，即12ni i j i i jn a a a =<≤-∑∑．又()1112(1)n n ni j i j i j i j i ji j ii j ii j ia a a a a a n a a <=≠=≠=≠-=-≥-=--∑∑∑∑∑∑∑．因为10n i i a ==∑，所以0i j j ia a ≠+=∑．所以112(1)n ni j i i i i j i i a a n a a n a <==-≥-+=∑∑∑，得证．所以n c 的最大值为2n．5．已知正实数12,,,(2)n a a a n >满足121n a a a +++=．证明：23131212121222(1)n nn n a a a a a a a a a a n a n a n n -+++≤+-+-+--．【答案】证明见解析. 【详解】当4n ≥时，由平均值不等式知1111111n nn j i nj i jj j ia a a a n n --==≠⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭⎪⎝⎭∑∏．又111i a n -<-，则131111n i i a a n n ---⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以 231312112222n n n n a a a a a a a a a a n a n a n -++++-+-+-()()3311(1)2ni i ia n a n =-≤-+-∑ 33321(10)1(1)(02)(1)(2)(1)ni n n n n n n =-<=≤-+----∑．当3n =时，即证312311(1)4=≤+∑i i i a a a a a ． 由于()()()()11123121311111111411a a a a a a a a a ⎛⎫=≤+ ⎪+-+---⎝⎭，所以3112131111()(1)4(1)(1)=≤++--∑∑i iia a a a a a()()2131111411a a a a ⎛⎫=+⎪--⎝⎭∑ ()2323123111414a a a a a a a +==-∑∑，所以31231111(1)44=≤=+∑∑i i i a a a a a a ．命题得证．6．已知12,,,n a a a …为正实数(4)n ≥，且满足(1)j i ia ja i j i j n +≥+≤<≤，求证：()()()()12121n a a a n n +++≥+！．【答案】证明见解析 【详解】设ii a b i =，则有11(1)i j b b j i j i n +≤≥<≤+，命题即证1(1)(1)ni i b n =+≥+∏．（1）若对于所有(1)i i n ≤≤，有1i b i ≥，则11111(1)(1)1n n ni i i i i b n i i ===+⎛⎫+≥+==+ ⎪⎝⎭∏∏∏．（2）若存在某一个(1)i i n ≤≤，有1i b i<.设1i c b i=-，则有111111()j i b b i c j i j j +≥+-++≠=+，则11111(1)(1)11nni i i c i b c j c i==+-+≥⋅++++∏∏. 注意到21111111111(1)111c c i i i c c c i i i+-+-+=⋅≥++++++， 故只需证211111(1)11(1)n ni i n c c j j ==⎛⎫⋅+++=+ ⎪⎝⎭≥+∏∏， 即2111(1)11n i c jc j =⎛⎫++ ⎪ ⎪≥+ ⎪+ ⎪⎝⎭∏．又因为111111211cc c jj j++=+≥+++， 故()421244122111312121122212ni c c c c c c c j C C =⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪≥+≥++ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎭≥++⎝∏ 因此命题成立．7．求所有实数1,1,1x y z ≥≥≥满足：=【答案】22221{,,}1,1,11l x y z l l l ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+++⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭，其中0l >． 【详解】记2221,1,1x k y l z m =+=+=+，不妨0k l m ≤≤≤，k l m =++．平方整理得()2221(1)(1)0k lm kl km +-++-=，于是有11,ml m l k=+=， 所以210,,,1ll m k l l l ≠===+相应的222211,11y y yx k z m y y +-=+==+=-． 由x y ≤，即2321(1)(1)0y y y y y +-≤⇔-+≥，符合假设．由x z ≤，即()231(1)210y y y y y +--≤⇔-≥，又1y ≥，符合假设．综上，22221{,,}1,1,11l x y z l l l ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+++⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎪⎪⎩⎭，其中0l >． 8．已知12,,,0n a a a >，求证：()()()()()()1232341212231n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++>+++．【答案】证明见解析. 【详解】因为()()()2221232213132a a a a a a a a a ++=++++ ()222131324a a a a a a ≥+++()()221321222a a a a a a =+++()()122322a a a a =++，所以()()()()()()21232341212231n n a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭()()()()()()()()()1223233411222212231222222nn a a aa a a a a aa a a a a a a a a +++++≥++++， 当且仅当1324,a a a a ==⋅⋅⋅==⋅⋅⋅时等号成立． 以下配对柯西约分： 因为()()()22121212222a a a a a a ++≥=+，()()()22232323222a a a a a a ++≥=+，……，显然柯西不等式等号不成立．所以()()()()()()212323412122312n nn a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+++⎝⎭>， 即()()()()()()1232341212231n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++>+++.9．在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值． 【答案】23【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=， 所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=， 所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=， 当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．10．求常数C 的最大值，使得对于任意实数122020,,x x x ﹐均有20192120201()i i i i x x x Cx +=+≥∑．【答案】20194040- 【详解】定义数列{}n a 满足1110,()4(1)n n a a n a N ++=-∈=．不难用数学归纳法证明1()2n n a n nN +-∈=． 对于正整数i ，由22222111111111(1))04i i i i i i i i i i i i i a x x x a x x x x a x a ++++++++-++=++=≥， 得222111i i i i i i i x x x a x a x ++++≥-.上式两边对i 从1到2019求和，得2019201922222111202020002020112019()()4040ii i i i i i i i x x x a x a x a x x +++==+≥-=-=-∑∑． 另一方面，取11111,1,2,,201(9)2n n n n x n x x x n a n +++==-=-⋅=⋅⋅，可得20194040C ≤-． 故常数C 的最大值为20194040-． 11．设正整数2n ≥，非负实数12,,,n a a a ，满足11ni i a ==∑，求2211n n i i i i a i a i ==⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑的最大值.【答案】23224(1)27(1)n n n n +++ 【详解】注意到，对任意的1i n ≤≤，都有22(1)1n n n i n i++++≤， (这是因为上式等价于(1)()(1)0i n i n i i--++≥） 于是由均值不等式，()222222111114()()()(1)2nnnn i i i i i i i i n n a i a i a a i n n i ====+⎛⎫⋅=⋅ ⎪+⎝⎭∑∑∑∑ 32122(1)4(1)3n i i n n i a i n n =⎡+⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥≤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ 32232222414(1)(1)327(1)n n n n n n n n ⎛⎫++++≤= ⎪++⎝⎭等号成立当且仅当2111(1),12n nni i i i i i n n i a a a i ===+==∑∑∑及2310n a a a -====，即1231212,,03(1)3(1)n n n n a a a a a n n -++======++时.综上，原式的最大值为23224(1)27(1)n n n n +++. 12．设正实数1299,,,a a a 满足对任意199i j ≤≤≤有i j ja ia i j +≥+，求证：()()()12991299100a a a +++≥!．【答案】证明见解析 【详解】 令(199)ii a b i i=≤≤，条件转化为对任意199i j ≤<≤有11i j b b i j +≥+．要证不等式即()()()1299111100b b b +++≥．若对任意199i ≤≤均有1i b i ≥，则左式99111100i i=⎛⎫≥+= ⎪⎝⎭∏．否则恰存在一个i 使得1i b i <，记1i c b i=-，则对任意j i ≠，有1j b c j ≥+．于是左式9919911111111111j j j ic i c c c i j j c i≤≤=≠-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥-+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭++∏∏． 即只需证：991121100111j c c j c i =⎛⎫ ⎪⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-+⎝⎭∏． ① 由Bernoulli 不等式知 ①式左端9999999911111110011001111j j j j j j j j c c c j j j j ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+⋅≥+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏∏∏． 显然99122111j j j c i=>>+-+∑，因此①式成立，即证原不等式成立． 13．已知12,,,n a a a R ∈，且满足222121n a a a +++=，求122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-的最大值.【答案】当n为偶数时，最大值为n 为奇数时，最大值为【详解】i j i j a a a a -≤+当且仅当·0i j a a ≤时等号成立. （1）当n 为偶数时，122311n n n a a a a a a a a --+-++-+-最大时，显然需满足10i i a a +⋅≤，否则用1i a +-替换1i a +依然满足条件，且值增大.设11n a a +=，所以()111112n n ni i i i i i i i a a a a a ++===-≤+=≤=∑∑∑当且仅当i j a a ==i 为奇数，j 为偶数或i 为偶数，j 为奇数）时等号成立. （2）当n 为奇数时，122311,,,,n n n a a a a a a a a -----必存在()111,i i n a a a a ++=同号，不妨设12,a a 同号，则：112112211232A nn ni i i i i i i i a aa a a a a a a a a ++===-=-+-≤-+++=∑∑∑.不妨设210a a ≥≥，则122122aa a a a-++=，所以：23A 22ni i a a ==+≤≤=∑当且仅当12413110,,11a a a a a n n =======---或12413110,,11a a a a a n n ====-===--时等号成立.14．已知：a ，b ，0,2c a b c ≥++=，求证：11()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++≤++++++. 【答案】证明见解析 【详解】()()()()111abc a b ab bc ca c a b ab ⎡⎤⎣⎦++-++=-+⨯-，因为a ，b ，0,2c a b c ≥++=，所以()1,1c a b ab +≤≤. 于是()1abc a b ab bc ca ++≥++，同理()1abc b c ab bc ca ++≥++，()1abc c a ab bc ca ++≥++. 则：1()1()1()bc ca ababc a b abc b c abc c a ++++++++1bc ca abab bc ca ab bc ca ab bc ca≤++=++++++.故题中的不等式成立. 15．设1,2,3,,()k k a b k n =、均为正数，证明：（1）若112212n n n a b a b a b b b b ++⋯+≤++⋯+，则12121n b b bn a a a ≤；（2）若121n b b b +++=…，则1222212121n b b b n n b b b b b b n++≤+≤.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】设()()ln 1,0,f x x x x =-+∈+∞，令1()10f x x'=-=解得1x =. 当01x <<时，()()0,f x f x '>在()0,1内是增函数； 当1x >时，()()0,f x f x <在()1,+∞内是减函数； 故函数()f x 在1x =处取得最大值()10,ln 1f x x =≤-.（1）因为,0k k a b ≥，从而有ln 1k k a a ≤-，得()ln 1,2,k k k k k b a a b b k n ≤-=⋯， 求和得111ln k nnnb kk k k k k k a b b a ===≤-∑∑∑.因为11nnk k k k k a b b ==≤∑∑，所以1n 0l k nbk k a =≤∑，即1212ln()0n b b b n a a a ⋅⋅≤⋅，所以12121n b b bn a a a ⋯≤.（2）①先证12121n n b b b b nb b ≤令1(1,2,,)k k a k n nb ==.则11111nnnk k k k k k a b b n ======∑∑∑，于是由（1）得1212111()()()1nb b b nnb nb nb ≤， 即1212211nn b b b b b b nb n bn b+++≤=，所以12121n n b b b b nb b ≤⋯. ②再证122221212n b bbn n b b b b b b ≤+++.记21nkk S b ==∑，令(1,2,,)kk b a k n S ==，则211111n n nk k k k k k k a b b b S ======∑∑∑，于是由（1）得1212()()()1n b b bn b b b S S S≤.即121212nnb b b b b bn b b S S b +++==，所以122221212n b b n n b b b b b b b ⋯≤+++.综合①②，（2）得证. 16．给定整数2n ≥．设1212,,,,,,,0n n a a a b b b >，满足1212n n a a a b b b +++=+++，且对任意,(1)i j i j n ≤<≤，均有i j i j a a b b ≥+．求12n a a a +++的最小值．【答案】最小值为2n ． 【分析】 记1212n n S a a a b b b =+++=+++．由条件知()11(1)i j iji j ni j na ab b n S ≤<≤≤<≤≥+=-∑∑．结合222111122n i ji j i i j ni j ni a a n a a a ≤<≤≤<≤=+-≤=⋅∑∑∑，将2221112n ni i i j i i i j n S a a a a ==≤<≤⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑∑变成不等关系，求得最小值，并验证等号成立条件即可. 【详解】 解：记1212n n S a a a b b b =+++=+++．由条件知()11(1)i j iji j ni j na ab b n S ≤<≤≤<≤≥+=-∑∑．又222111122n i ji j i i j ni j ni a a n a a a ≤<≤≤<≤=+-≤=⋅∑∑∑，于是222111122221n ni i i j i j i i i j n i j n S a a a a a a nS n ==≤<≤≤<≤⎛⎫⎛⎫==+≥+≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑． 注意0S >，故2S n ≥． 另一方面，当2(1,2,,)i i a b i n ===时，条件满足，且2S n =．综上，12n S a a a =+++的最小值为2n ．17．设,,x y z 均为正数，且1x y z ++=，证明：（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++ 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析． 【分析】（1）先由基本不等式可得222x y z xy yz xz ++≥++，再结合()2x y z ++的展开式即可证明原式成立；（2）利用柯西不等式[]2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭证明. 【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222x y y z x z x y zxy yz xz +++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故13xy yz zx ++≤，当且仅当x y z ==时“=”成立.（Ⅱ）,,x y z 均为正数，由柯西不等式得：2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭， 故22212x y z y z x z x y ++≥+++，当且仅当x y z ==时“=”成立. 【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换.18．设x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，求证：33311116xy yz zxx y y z z x ++++≥ . 【答案】证明见解析 【分析】由基本不等式+a b ≥. 【详解】因为x ，y ，z 均为正实数，且4xyz =，所以31682xy yz x y x+≥==（当且仅当24x y =，即x z =时取等号），31682yz xz y z y +≥==（当且仅当24y z =，即x y =时取等号），31682xz xy z x z+≥=（当且仅当24z x =，即y z =时取等号）， 所以333161616+++2+2+2xy yz xz yz xz xy x y y z z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当x y z ==取等号），所以33311116xy yz zx x y y z z x ++++≥，当且仅当x y z ==取等号. 【点睛】本题考查运用基本不等式证明不等式，关键在于构造基本不等式和满足基本不等式的条件，属于中档题.19．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）记1n n n d a S +=-，证明：1132n d <<【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）先令n=1求出首项，再由前n 项的积的定义表示1111n n na a a ++-=-，进而整理化简，再由等差数列定义得证；（2）由（1）表示数列{}n a 的通项公式，进而由放缩法放缩2n T ，再由裂项相消法求n S ，最后再放缩不等式得证. 【详解】解析：（1）因为1n n T a =-，所以111a a =-，解得112a =. 由题可知11111n n n n nT a a T a +++-==-， 所以11111n n n a a a ++=--，即()1111111n n n a a a ++--=--，则111111n n a a +-=--. 所以11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列，且首项1121a =-. （2）由（1）可知()1121111111n n n nn n a a a n n =+-⋅=+⇒-=⇒=-++，则111n n T a n =-=+. 首先，()()()22111112121n T n n n n n =>=-+++++.所以222111111111123341222n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+>-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又112n n a n ++=+，所以111112222n n n n d a S n n ++=-<+-=++. 其次，()()2221111112113212311422n T n n n n n n ⎛⎫=<=-=- ⎪++⎝⎭++-++. 所以2221111111111222235572123323n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以111112212232322433n n n n n d a S n n n n +++⎛⎫=->-->+-= ⎪++++⎝⎭. 综上所述：1132n d <<.【点睛】本题考查由已知递推关系证明等差数列，还考查了由放缩法证明数列不等式以及裂项相消法求和，属于难题.20．用适当的方法证明下列不等式： （1）若0x >，0y >，证明：22x y xyx y+≥+；（2）设a ，b 是两个不相等的正数，且111a b+=，证明：4a b +>．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【分析】（1）采用分析法证明，当0x >，0y >时，欲证22x y xyx y+≥+，只需证2()4x y xy +≥，再根据重要不等式即可证明；（2）采用综合法证明，由题意得()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++，再根据基本不等式即可证明． 【详解】证明：（1）当0x >，0y >时，欲证22x y xyx y+≥+， 则只需证：2()4x y xy +≥， 即证：2()40x y xy +-≥， 即证：2220x xy y -+≥，∵,x y R ∀∈，2222()0x xy y x y -+=-≥恒成立， ∴22x y xyx y+≥+成立； （2）∵0a >，0b >，111a b+=且ab ，∴()11a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭11b a a b =+++24≥+，∵a b ，∴不能取等号，即4a b +>．【点睛】本题主要考查不等式的证明方法，考查分析法与综合法证明不等式，考查基本不等式的应用，属于中档题．。