基于Moran统计量的空间自相关理论发展和方法改进_陈彦光

6期
陈彦光 : 基于 M o ran 统计量的空间自相关理论发展和方法改进
n n
1451
+z + = z z =
T
i= 1
E
zi =
2
i= 1
E
(
xi- L 2 1 ) = n R R2 n
i= 1
E (x
n
i
- L ) = n
2
( 6) ( 7)
构造一个 n 阶权重矩阵
W = [ w ij ] n@ n
第 28 卷 第 6 期 2009 年 11 月
地 理 研 究 GEOGRAPH ICAL RESEARCH
Vol 1 28, N o 16 N ov 1 , 2009
基于 Moran 统计量的空间自相关 理论发展和方法改进
陈彦光
( 北京大学城市与环境学院 , 北京 100871)
摘要 : 本文旨在发展基于 M o ran 指数的空间自相关 分析理论和 方法。首先 , 利 用线性 代数知 识对基于 M or an 统计量的空间自相关过程的数学 表示进行规 范化整理 ; 其 次 , 基于变 换中的 不变性思想给出 M o ran 指数的理论解释 ; 第三 , 对空间 权重矩阵 的数理性 质、建设方 法和应 用范围提出新的见解。总结并发展了 M o ran 指数的 三种计算 方法 ) ) ) 三步 求值法、矩 阵标度 法和回归分析法 , 将空间权重矩阵划 分为四 种基本 类型 ) ) ) 局域 关联型、 准局域关 联型、准 长程关联型和长程关联型。以河南省鹤壁市乡 镇体系 为实证 对象 , 以本 文改进 的理论 和方法 为依据 , 提供了一个空间自相关分析的简明案例。 关 键 词 : 空 间自相关 ; M o ran 指数 ; 局域 性 ; 长程作用 ; 标度变换 ; 鹤壁市 文章编号 : 1000 - 0585( 2009) 06 - 1449 - 15
* * T
( 11) ( 12)
= zz W
T
为预期归一化空间权重矩阵, 简称预期空间权重矩阵。根据矩阵知识可以看出 , I 是矩阵 M * 的特征根 ) ) ) 实际上是绝对值最大特征根 , 对应的特征向量为 z 。根据式 ( 6) , 将 z 单位化之后得到 z / n。于是 , 矩阵 M * 的对角线元素便是局部 M oran 指数 ny i Ii =
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析方法[ 10, 11] , Get is 等提出了基于距离统计的空间联系指数 [ 12] 。特别是 M oran 散点图分 析方法的创生, 代表着空间自相关分析的一个显著进步。 空间自相关不仅仅是一种空间统计方法 , 该理论关系到 T o bler 的地理学第一定律 [ 9] , 而地理学第一定律则是地理分析的基本定律之一。该定律指出 : / 所有的地理事物都存在 关系 , 但距离较近的事物比距离较远的事物更有关系 [ 17, 18] 。 0 计量运动结束之后 , 空间自 相关研究一度进入低谷状态, 但仍然有许多学者潜心研究这种方法的理论基础和应用方 向[ 13] 。近年来, 理论和计量 地理学在西方呈现复兴态势。 2008 年, 美国 5Geo graphical Analy sis6 杂志主编换届, Daniel A1 Grif fit h 出任 GA 主编, 他立即组织了关于空间自相 关以及空间相互作用等地理分析方法的研究专辑。在国内 , 有关空间自相关的研究论文和 著作方兴未艾, 内容涉及到理论、方法和技术, 更多的是实践和应用[ 17~ 35] 。 然而 , 众多的研究并不表明空间自相关分析臻于成熟。事实上 , 还有大量的基本问题 没有得到有效解决。基于时间滞后的空间自相关分析方法至今没有发展起来。此外 , 空间 权重矩阵如何选择和准确赋值、空间自相关的统计参量如何选择和解释、空间相互作用的 局域性和长程作用如何协调等, 也是待解决的难题。本文从 M or an 指数的计算和解释出 发, 发展空间自相关理论和方法。首先基于两种不同类型的空间权重矩阵规范空间自相关 模型的数学表示 , 然后概括 M oran 指数的三种计算方法, 并且将空间权重矩阵分为四种 不同类型 ) ) ) 不同的权重矩阵适用于不同类别的地理系统。本文不可能解决上述诸多问 题, 但期望对某些问题的解决有一定的启示作用。
T
z 1z 2 z 2z 2
z1 z2
=
2 z 1( z 2 1 + z 2)
z 2( z + z )
2 1
2 2
= 2
z1 z2
T
( 17)
进而容易证明, n 是 z z 的最大特征根。根据线性代数知识可知, 方阵 z z 的迹为 2 2 T r ( zz T ) = z 2 1 + z 2 + ,+ z n = n = K 1 + K 2 + ,+ K n
Ew
zi
Ew
2j
式( 14) 右边矩阵对角线的元素与式 ( 13) 的表达式一致。其余情况依此类推。不难看出, 矩 阵 M 的迹( tr ace) 就是 M oran 指数 I 。 2 1 2 实际空间权重矩阵 下面我们论证, 在式 ( 11) 中用 z T z = n 替换 z z T , 理论上结果不变。要说明这个问题, 首先得认识 n 与 z z T 的关系。可以证明 , n 是矩阵 z z T 的最大特征根 , 对应的特 征向量 为 z。 考虑到式( 6) , 容易发现 , 对于任何的 n 值 , 我们有 z z T z = z n = nz = z T z z 展开表示便是 ( 15)
[ 16]
。在 M oran 指数和 Gear y 系数的基础上 , Anselin 发展了空间自相关的局部分
收稿日期 : 2009 - 02 -18; 修订日期 : 2009 - 06 -15 基金项目 : 国家科技部科技基础工作专项重点 资助 项目 / 地 理学方 法研究 0 的综 合集成 部分 ( 2007 FY 140800) ; 国家自然科学基金资助项目 ( 40771061) 。 作者简介 : 陈彦光 ( 1965 - ) , 男 , 河南罗山人 , 副教授 , 理学博 士。 从事地理分形和 空间复杂性研究 , 重点研究 自组织城市网络。 E -mail: chen yg@ pku 1 edu1 cn
*
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z1 z1 z [ z1 s
2
z1 z2 , z n] z z = s
2 2
i= 1 n
Ez Ez
s
2 i
z1
2 i
i= 1
= n
z2 s zn
( 16)
zn
zn zn
i= 1
Ez
n
2 i
这就是说, 维数 n 为矩阵 z z T 的特征根, z 为相应的特征向量。不妨采用最简单的情况验 证上述关系。取 n= 2, 立即得到 z1 z1 z 1z 1 [ z 1 z 2] = z2 z2 z 2z 1
式 ( 10) 是西方文献常用的表达。式( 9) 、式 ( 10) 是 M oran 指数计算公式的矩阵表示, 与 文献中的 M oran 指数定义本质上完全相同, 但形式上更为简洁。展开式 ( 9) 或式 ( 10) , 将 向量乘法转换为向量元素的乘法和连加, 即可得到 M oran 指数的最初表示 ) ) ) 带权重的 二维空间的自相关系数。 借助上述结果, 容易得到基于 M oran 指数的预期矩阵方程。在式 ( 9) 两边同时左乘 以 z , 得到 M z = z z Wz = Iz 式中 M
T i= 1
Ez
2
2 i
= 2, K 2 = 0
( 22)
这就验证了最大特征根为权重矩阵维数的推断。 接下来考虑利用矩阵 z z 的最大特征根 n 替换相应的矩阵。由式 ( 10) 可得 Iy = nWy 事实上, 在式( 23) 两边同时除以标准差 R , 得到 I y = nW y R R 由此得到基于 M oran 指数的实测矩阵方程 Mz = nWz = Iz ( 23)
1= K m ax = n 为最大特征根, 必有 式中 T r 表示矩阵求迹。假定 K n, K= K m ax K= 0, KX K m ax 容易验算 , 当 n = 2 时, 得到
( 18)
( 19)
zz T =
z1 [ z1 z2
z 2] =
z 1z 1 z 2z 1
z1 z2 z2 z2
( 20)
1
前言
在多元统计分析中, 如果开展线性回归分析 , 则至少要满足两个基本条件 : 一是解释 变量之间相互正交, 二是样本要素 ( 样品或者样点) 之间彼此无关。当只有一个解释变量 的时候, 样品无关性就是最基本的前提条件了。假如我们的分析对象是空间取样结果, 则 样点之间要求不存在显著的空间关系, 否则回归模型参数的可靠性不能保证。因此 , 开展 空间回归分析的预备工作是空间样点之间的相关性分析。如果空间样点之间相关性不显 著, 则可以建立空间回归模型 ; 否则, 常规的回归模型失效, 这时我们可以通过样本要素 之间的空间相关分析揭示某些统计规律或特征。于是 , 空间自相关理论和方法应运而生。 空间自相关分析最初可能起源于生物计量学研究 [ 1~ 5] , 现今则成为理论地理学的基本 方法之一。1950 年前后, M or an 基于生物现象的空间分析将一维空间概念的相关系数推 [ 1, 2] 广到二维 空 间 , 从 而 定 义 了 M oran 指 数 ; 此 后 不 久, Geary 类 比 于 回 归 分 析 的 Durbin - Wat so n 统计量提出了 Geary 系数的概念 [ 3] 。于是, 空间自相关分 析方法雏形形 成。在地理学的计量运动期间 , 空间自相关分析方法被引入地理学领域。此后数十年, 经 过广大地理学家的努力[ 6~ 15] , 特别是 Clif f 和 Ord 的有关工作 [ 6~ 8] , 空间自相关逐渐发展 成为地理空间分析的重要主题之一 [ 9] , 另一个突出的主题是 Wilson 的空间相互作用理论 和模型