空间自相关统计量
空间自相关的测度指标
1全局空间自相关
全局空间自相关是对属性值在整个区域的空间特征的描述[8]。
表示全局空间自相关的指标和方法很多，主要有全局Moran ’s I 、全局Geary ’s C 和全局Getis-Ord G [3,5]都是通过比较邻近空间位置观察值的相似程度来测量全局空间自相关的。
全局Moran ’s I
全局Moran 指数I 的计算公式为：
()()
()∑∑∑∑∑=====---=n i n j n i i
ij n i n j j i ij x x w x x x x w n I 111211
∑∑∑∑=≠=≠--=n i n i j ij n i n i j j i ij w S x x x x w 121))((
其中，n 为样本量，即空间位置的个数。
x i 、x j 是空间位置i 和j 的观察值，w ij 表示空间位置i 和j 的邻近关系，当i 和j 为邻近的空间位置时，w ij =1；反之，w ij =0。
全局Moran 指数I 的取值范围为[-1，1]。
对于Moran 指数，可以用标准化统计量Z 来检验n 个区域是否存在空间自相关关系，Z 的计算公式为:
)()(I VAR I E I Z -==i
n w n w S x x d w i i i n i j i j ij
≠----∑≠j )2/()1())((
E(I i )和VAR(I i )是其理论期望和理论方差。
数学期望EI=-1/(n-1)。
当Z 值为正且显著时，表明存在正的空间自相关，也就是说相似的观测值(高值或低值)Z 关，相似的观测值趋于分散分布；当Z 值为零时，观测值呈独立随机分布。
全局Geary ’s C
全局Geary ’s C 测量空间自相关的方法与全局Moran ’s I 相似，其分子的交叉乘积项不同，即测量邻近空间位置观察值近似程度的方法不同，其计算公式为:
()()()
∑∑∑∑∑=====---=
n i n j n i i ij n i n j j i ij x x w x x w n C 1112112
21
差的乘积，而全局Geary ’s C 比较的是邻近空间位置的观察值之差，由于并不关心x i 是否大于x j ，只关心x i 和x j 之间差异的程度，因此对其取平方值。
全局Geary ’s C 的取值范围为[0，2]，数学期望恒为1。
当全局Geary ’s C 的观察值<1，并且有统计学意义时，提示存在正空间自相关；当全局Geary ’s C 的观察值>1时，存在负空间自相关；全局Geary ’s C 的观察值=1时，无空间自相关。
其假设检验的方法同全局Moran ’s I 。
值得注意的是，全局Geary ’s C 的数学期望不受空间权重、观察值和样本量的影响，恒为1，导致了全局Geary ’s C 的统计性能比全局Moran ’s I 要差，这可能是全局Moran ’s I 比全局Geary ’s C 应用更加广泛的原因。
全局Geti-Ord G
全局Getis-Ord G 与全局Moran ’s I 和全局Geary ’s C 测量空间自相关的方法相似，其分子的交叉乘积项不同，即测量邻近空间位置观察值近似程度的方法不同，其计算公式为：
()()()i
j i i i j i j wij d x x
G d i j x x =≠∑∑∑∑
全局Getis-Ord G 直接采用邻近空间位置的观察值之积来测量其近似程
度，与全局Moran ’s I 和全局Geary ’s C 不同的是，全局Getis-Ord G 定义空间
邻近的方法只能是距离权重矩阵w ij(d)，是通过距离d定义的，认为在距离d 内的空间位置是邻近的，如果空间位置j在空间位置i的距离d内，那么权重w ij(d)=1，否则为0。
从公式中可以看出，在计算全局Getis-Ord G时，如果空间位置i和j在设定的距离d内，那么它们包括在分子中；如果距离超过
d，则没有包括在分子中，而分母中则包含了所有空间位置i和j的观察值
xi、xj，即分母是固定的。
如果邻近空间位置的观察值都大，全局Getis-Ord G的值也大；如果邻近空间位置的观察值都小，全局Getis-Ord G的值也小。
因此，可以区分“热点区”和“冷点区”两种不同的正空间自相关，这是全局
Getis-Ord G的典型特性，但是它在识别负空间自相关时效果不好。
全局Getis-Ord G的数学期望E(G)=W/n(n-1)，当全局Getis-Ord G的观察值大于数学期望，并且有统计学意义时，提示存在“热点区”；当全局Getis-Ord G的观察值小于数学期望，提示存在“冷点区”。
假设检验方法同全局Moran’s I 和全局Geary’s C。
2局部空间自相关
局部空间自相关统计量LISA的构建需要满足两个条件[9]：①局部空间自相关统计量之和等于相应的全局空间自相关统计量；②能够指示每个空间位置的观察值是否与其邻近位置的观察值具有相关性。
相对于全局空间自相关而言，局部空间自相关分析的意义在于：①当不存在全局空间自相关时，寻找可能被掩盖的局部空间自相关的位置；②存在全局空间自相关时，探讨分析是否存在空间异质性；③空间异常值或强影响点位置的确定；④寻找可能存在的与全局空间自相关的结论不一致的局部空间自相关的位置，如全局空间自相关分析结论为正全局空间自相关，分析是否存在有少量的负局部空间自相关的空间
位置，这些位置是研究者所感兴趣的。
由于每个空间位置都有自己的局部空间自相关统计量值，因此，可以通过显著性图和聚集点图等图形将局部空间自相关的分析结果清楚地显示出来，这也是局部空间自相关分析的优势所在[3,5]。
局部Moran ’s I
为了能识别局部空间自相关，每个空间位置的局部空间自相关统计量的值都要计算出来，空间位置为i 的局部Moran ’s I 的计算公式为：
∑--=j
j ij i i x x w S x x I )()(2 局部Moran 指数检验的标准化统计量为：
)()
()(i i i i I VAR I E I I Z -=
E(I i )和VAR(I i )是其理论期望和理论方差。
局部Moran ’s I 的值大于数学期望，并且通过检验时，提示存在局部的正空间自相关；局部Moran ’s I 的值小于数学期望,提示存在局部的负空间自相关。
缺点是不能区分“热点区”和“冷点区”两种不同的正空间自相关。
局部Geary ’s C
局部Geary ’s C 的计算公式为：
2
()()X i j j wij x x i j μ=-≠∑
()i U C = 局部Geary ’s C 的值小于数学期望，并且通过假设检验时，提示存在局部的正空间自相关；局部Geary ’s C 的值大于数学期望,提示存在局部的负空间自相关。
缺点也是不能区分“热点区”和“冷点区”两种不同的正空间自相关。
局部Getis-Ord G
局部Getis-Ord G 同全局Getis-Ord G 一样，只能采用距离定义的空间邻近方法生成权重矩阵，其计算公式为：
∑∑=i j
j j ij i x x w G /
对统计量的检验与局部Moran 指数相似，其检验值为
)()()(i i i
i G VAR G E G G Z -= =i
n w n w S x x d w i i i n i j i j ij ≠----∑≠j )2/()1())((
当局部Getis-Ord G 的值大于数学期望，并且通过假设检验时，提示存在“热点区”；当局部Getis-Ord G 的值小于数学期望，并且通过假设检验时，提示存在“冷点区”。
缺点是识别负空间自相关时效果较差。
全局自相关与局部自相关适用性对比分析
对于定量资料计算全局空间自相关时，可以使用全局Moran ’s I 、全局
Geary ’s C 和全局Getis-Ord G 统计量。
全局空间自相关是对整个研究空间的一个总体描述，仅仅对同质的空间过程有效，然而，由于环境和社会因素等外界条件的不同，空间自相关的大小在整个研究空间，特别是较大范围的研究空间上并不一定是均匀同质的，可能随着空间位置的不同有所变化，甚至可能在一些空间位置发现正空间自相关，而在另一些空间位置发现负空间自相关，这种情况在全局空间自相关分析中是无法发现的，这种现象称为空间异质性。
为了能识别这种空间异质性，需要使用局部空间自相关统计量来分析空间自相关性，如局部Moran ’s I 、局部Geary ’s C 和局部Getis-Ord G [3,6-7]。
全局自相关统计量仅仅为整个研究空间的空间自相关情况提供了一个总体描述，其正确应用的前提是要求同质的空间过程，当空间过程为异质时结论不可靠。
为了能正确识别空间异质性，需要应用局部空间自相关统计量。
