二次函数应用(拱桥问题)

学习好资料_____________________________________________ __________________________________________________ 二次函数综合应用题（拱桥问题） 适用学科 数学 适用年级 初中三年级

适用区域 全国 课时时长（分钟） 60

知识点 二次函数解析式的确定、二次函数的性质和应用

教学目标 1.掌握二次函数解析式求法。

2学会用二次函数知识解决实际问题，掌握数学建模的思想，进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。 3.进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，体会到数学来源于生活，又服务于生活，感受数学的应用价值。 教学重点 1.从实际问题中抽象出相应的函数关系式，并能理解坐标系中点坐标和线

段之间关系； 2.根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中点的坐标 教学难点 如何根据情景建立合适的直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ 教学过程 一、 复习预习 平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗？对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。这节我们就看二次函数解决拱桥问题。 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ 二、知识讲解 考点/易错点1 ：二次函数解析式的形式

1、一般式：y=ax2+bx+c（a≠0） 2、顶点式：y=a(x-h)2+k（a≠0） 顶点坐标（h，k） 直线x=h为对称轴，k为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值 3、双根式：y=a(x-1x)(x-2x)（a≠0） (1x,2x

是抛物线与x轴交点的横坐标)

并不是什么时候都能用双根式，当抛物线与x轴有交点时才行 4、 顶点在原点：)0(2

aaxy

5、过原点：)0(2

abxaxy

6、 顶点在y轴：)0(2

acaxy 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ 考点/易错点2：建立平面直角坐标系

1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置 2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ 三、例题精析 【例题1】 【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m． （1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式； （2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数表达式； （3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

【答案】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2， 且过点（10，－4）

∴4101252aa×， 故yx1252 （2）设水位上升h m时，水面与抛物线交于点（dh24，） 则hd412542× ∴dh104 （3）当d＝18时，18104076hh，. 0762276.. ∴当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。

【解析】顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标． 学习好资料_____________________________________________ __________________________________________________ 【例题2】 【题干】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶?

【答案】解： 以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的 顶点E在y轴上,且B 、D两点的坐标分别为（5，0）、（4，2） 设抛物线为y=ax²+k.

由B、D两点在抛物线上，有 解这个方程组，得 所以， 顶点的坐标为（0，） 则OE=÷0.1=（h） 所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.

【解析】 以AB所在的直线为x轴,AB中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ 【例题3】 【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽m64，水位上升3m，达

到警戒线CD，这时水面宽m34．若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？

【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：y＝ax 2＋h 又知B (26，0)，D (23，3) ∴3h)32(a0h)62(a22 解得：6h41a

∴y＝－41x 2＋6 ∴E (0，6) 即OE＝6 EF＝OE－OF＝3 t＝25.0EF＝25.03＝12 (小时) 答：水过警戒线后12小时淹到拱桥顶．

【解析】建立直角坐标系，求出解析式

四、课堂运用

O x

CX y D B A

E F 学习好资料_____________________________________________

__________________________________________________ 【基础】

1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系：y＝－0.1x2＋2.6x＋43 (0≤x≤30)．y值越大，表示接受能力越强． (1) x在什么范围内，学生的接受能力逐步增加？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分钟时，学生的接受能力最强？

【巩固】 1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，学习好资料_____________________________________________ __________________________________________________ 如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m． (1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗? (2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时， 忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能， 要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?

【拔高】 1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。学习好资料_____________________________________________ __________________________________________________ 这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m? ．

五、课程小结

（1）用函数的观点来认识问题，从实际问题中抽象出数学问题； 学习好资料_____________________________________________ __________________________________________________ （2）根据题意建立直角坐标系， 建立数学模型，解决实际问题； （3）找到两个变量之间的关系； 掌握数形结合思想； （4）从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．感受数学在生活实际中使用

六、课后作业 【基础】