二次函数的应用拱桥问题解析

建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：(1) 根据题意建立适当的 ________________________ ； (2) 把已知条件转化为 __________________ ； (3) 合理设出函数 ___________________ ； (4) 利用 _________________ 法求出函数解析式；(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点1 :二次函数在桥梁中的应用1. 有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20米，拱顶距离水面4米.在如图所示 的直角坐标系中，该抛物线的解析式为 ________________________ .2.有一座抛物线形的立交桥拱 ，这个桥拱的最大高度为 16 m ,跨度为40 m ,现把它的图形放在坐标系中(如图).若在离跨度中心 M 点5 m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶 ，则这根铁柱的长为 _____ m.3. 如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 A , B 两点，拱桥最高 点C 到AB 的距离为9 m , AB = 36 m , D , E 为拱桥底部的两点，且DE // AB ，点E 到直线 AB 的距离为7 m ,则DE 的长为 ___________ m .知识点2 :二次函数在隧道中的应用 4. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的顶点16为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为 知识点3:二次函数在其他建筑问题中的应用5.如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑， 大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为 4.4 米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为 2.4米，该车要想通过此门， 装货 后的高度应小于( ) A. 2.80 米B . 2.816 米C . 2.82 米D. 2.826 米\比米L -4 棊_'6•如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB 的薄壳屋顶.它的拱宽AB 为4 m拱高CO 为0.8 m •建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为知识点4 :二次函数在运动中的应用7.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平 面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y = — x 2 + 4x(单位：米)的一部分，则水喷出 的最大高度是( )A . 4米B . 3米C . 2米D .1米----- 6m ----- ►A .第3秒B .第3.5秒C .第4.2秒D .第6.5秒&军事演习在平坦的草原上进行 ，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足y = — 5X 2 + 10x.经过 ________ 秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是________ 米，经过 ________ 秒炮弹落到地上爆炸了.9•竖直向上发射的小球的高度 h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为h = at + bt ,其图象如图所示.若小球在发射后第 2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是 m 才能停下来.12.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y = — 3x 1 2+ 3x + 1的一部分.5 (1)求演员弹跳离地面的最大高度；⑵已知人梯高BC = 3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是4米，问这次表 演是否成功？请说明理由.13•如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边AE, ED, DB 组成.已知河底 ED 是水平的，ED = 16米，AE = 8米，抛物线的顶点 C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系. (1) 求抛物线的解析式；(2) 已知从某时刻开始的 40小时内，水面与河底 ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系 h =- ±(t — 19)2+ 8(0 w tw 40),且当水面到顶点 C 的距离不大于5米 时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内 ，需多少小时禁止船只通行？1 当h = 2.6时，求y 与x 的关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围)2 当h = 2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由？10.如图，有一座抛物线形拱桥 水面下降1 m 后，水面宽为( ,当水位线在AB 位置时，拱顶离水面2 m ,水面宽为4 m , ) A . 5 mB . 6 mC/, 6 mD . 2 6m11.某一型号飞机着陆后滑行的距离 1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 —y = 60x —14.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y = a(x —6)2 + h.已知球网与O 点的水平距离为9 m,高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.4、有座抛物线形拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m,河面距拱顶4m为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。

二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4） ∴ 故（2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴（3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。

2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水 位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m 速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）设抛物线为y=ax2+k.由B 、D 两点在抛物线上，有-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。

二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故 （2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。

2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。

22.3（4.1）---（拱桥问题）一．【知识要点】1.现实生活中的抛物线：喷射的水流、投出的篮球运动轨迹、两端固定自然下垂的绳子、一些拱桥、涵洞等，都给人留下抛物线的印象。

如果把它们放到平面直角坐标系中，结合实际数据即可求解得出抛物线的解析式，再通过二次函数的性质来解决测量问题、最值问题等.二．【经典例题】1.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加__________m。

2.（6分）如右图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，•是否采取紧急措施？三．【题库】【A】1.如图，是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯，建立适当坐标系．则两盏景观灯之间的水平距离_________.【B】1.如图,某大桥有一段抛物线形的拱梁,抛物线的解析式为y=ax2+bx,小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10 s时和26 s时拱梁的高度相同,则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需_____________ s.【C】1．一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，则铅球出手时距地面的高度是m．【D】1.小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m，y2m，y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．（1）小丽出发时，小明离A地的距离为m．（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，①两人何时相距180m？②两人何时相距最近？最近距离是多少？。

2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题09 二次函数的实际应用—拱桥问题考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·虹口期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A ．B ．10米C ．米D ．12米【答案】B 【解析】【解答】以O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为y 轴，过O 点作y 轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，∵O 点到水面AB 的距离为4米，∴A、B 点的纵坐标为-4，∵水面AB 宽为20米，∴A（-10，-4），B （10，-4），将A 代入y=ax 2，-4=100a ，∴125a =-，∴2125y x =-，∵水位上升3米就达到警戒水位CD ，∴C 点的纵坐标为-1，∴21125x -=-∴x=±5，∴CD=10，故答案为：B ．【思路引导】先建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，再求出解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。

2．（2分）（2021九上·安阳期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝125 x 2＋ 58x B ．y ＝－125 x 2＋ 85 x C ．y ＝－ 58 x 2－ 125 x D ．y ＝－ 125 x 2＋ 85 x ＋16【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20，最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为 ()22016y a x =-+ ，将原点坐标代入可得 400160a += ，解得： 125a =- ，故该抛物线解析式为 ()22118201625255y x x x =--+=-+.故答案为：B.【思路引导】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16，将（0，0）代入可得a的值，据此可得抛物线的解析式.3．（2分）（2021九上·诸暨月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（ ）A．1m B．2mC．（﹣4）m D．（﹣2）m【答案】C【解析】【解答】解：如图，建立直角坐标系，设y=a（x-2）（x+2），∴2=a（0-2）（0+2），∴a=-12，∴y=-12（x-2）（x+2），当水面下降1米时，y=-1，∴-1=-12（x-2）（x+2），解得，∴水平宽度增加：（-4）m.故答案为：C.【思路引导】根据题意建立直角坐标系，结合数据求出二次函数解析式，再把y=-1代入抛物线解析式，则可求出此时的水面宽度，即可得出答案.4．（2分）（2020九上·郁南期末）如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 2125y x =- ，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（ ）A ．2mB ．4mC ．10mD ．16m【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得B 的横坐标为10，把x=10代入 2125y x =-，得y=-4，∴OD=4m，故答案为：B ．【思路引导】将x=10代入函数解析式求出y=-4，再求解即可。