简单几何体[1]

简单几何体 知识梳理： 1、柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相_______，其余各面都是__________，且每相邻的两个四边形的公共边都__________，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE 特征：两底面是对应边平行的_____________；侧面、对角面都是平行四边形,侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥:定义：有一个面是_______，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP 特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面__________，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个___________的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP

特征：①上下底面是_______平行多边形 ②侧面是_________________, ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以______的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体. 特征：①底面是__________；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直； ④侧面展开图是一个_______。 （5）圆锥：定义：以_________的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体. 特征：①底面是一个____；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个_____。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分. 判断台体的方法：○1两底面平行；○2侧棱延长线交于一点。 特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以__________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为______；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是_______；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为_______；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为__________； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）;俯视图（从上向下）;正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 常见几何体的三视图： 1、圆柱的正视图和侧视图是全等的矩形，俯视图为圆； 2、圆锥的正视图和侧视图是三角形，俯视图为圆和圆心； 3、圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图为两个同心圆； 4、球的三视图都是圆. 注： 1、三视图的排列方法是侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下面； 2、一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样，即：长对正，高平齐，宽相等.

规律方法指导：

1．根据几何体特征的描述判断几何体形状 (1)根据几何体的结构特点判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力． (2)圆柱、圆锥、圆台可以看做是分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体．其轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面． 2．几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： (1)在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． (2)正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． (3)研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． (5)圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． (6)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化"球"为"圆"，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化"空间"为平面． 经典例题透析： 类型一：概念判断 1、如果两个面互相平行，其余各面均为四边形

的几何体一定是棱柱．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例． 思路点拨：判断一个几何体是哪几种几何体，一定要紧扣住柱、锥、台、球的结构特征，注意定义中的特殊字眼.棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面是平行四边形；这些平行四边形中，相邻两个面的公共边都互相平行.当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱. 解析：不正确．如图所示的几何体是由两个底面相等的四棱柱组合而成，它有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但是显然它不是棱柱． 【变式1】如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说明理由；如果不正确，举出反例． 解析：不正确．如图所示的几何体由两个底面相等的四棱锥组合而成，它有一个面是四边形，其余各面都是三角形，但是该几何体不是棱锥．

2、描述下列几何体的结构特征，并说出它的名称. (1)由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其它面都是全等的矩形；(2)如图，一个圆环面绕着过圆心的直线旋转.

解析：(1)特征：侧面都是全等的矩形，底面是五边形，几何体为正五棱柱； (2)由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球后剩下的部分. 类型二：基本计算

3、若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底

面周长为9，求棱锥的高. 解析：底面正三角形中，边长为3，高为，中心到顶点距离

为，则棱锥的高为. 4、用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长. 解析：设圆台的母线为，截得圆台的上、下底面半径分别为r，4r. 根据相似三角形的性质得，，解得.

所以，圆台的母线长为. 总结升华：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过轴的截面)的几何性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而解得. 5、圆锥底面半径为1cm，高为，其中有一个

内接正方体，求这个内接正方体的棱长. 解析：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面，如图所示.

设正方体棱长为x，则. 作SO⊥EF于O，则，OE=1，∵ △ECC1∽△EOS， ∴ ，

即.∴ ，即内接正方体棱长为 总结升华：此题也可以利用△SCD∽△SEF而求.两个几何体相接、相切的问题，关键在于发现一些截面之间的图形关系.常常是通过分析几个轴截面组合的平面图形中的一些相似利用相似比列出方程而求.注意截面图形中各线段长度的计算.类型三：由几何体画三视图 6、画出下列各几何体的三视图：

解析：这两个几何体的三视图如下图所示. 总结升华：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从三个不同的角度进行观察.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来，绘制三视图，就是由客观存在的几何物体，从观察的角度，得到反应物体形象的几何学知识.

类型四：由三视图到立体图形 7、画出下列三视图所表示的几何体.

解析：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体轮廓，如下图所示.

总结升华：根据三视图的特征，结合所给的视图进行逆推，考察我们的想象能力与逆向思维能力.由三视图得到相应几何体后，可以验证所得几何体的三视图与所给出的三视图是否一致.依据三视图进行逆向分析，就是用几何知识解决实际问题的一个方面.在工厂中，工人师傅都是根据零件结构设计的三视图，对零件进行加工制作. 课时作业 基础达标1： 1．一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱

2．下列说法中正确的是( ) A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D.圆锥侧面展开图为扇形、这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径 3．下列说法错误的是( ) A.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.六角螺帽、三棱镜都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形

4．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是( ) A.六边形 B.菱形 C.梯形 D.直角三角形

5．下列说法正确的是( ) A.平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B.平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D.过圆台上底面中心的截面是等腰梯形

6．设圆锥母线长为，高为，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值为________. 7．若长方体的三个面的面积分别是，则此长方体的对角线

长为________.

基础达标2：