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第一章 三角形的证明

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八年级数学·下 新课标[北师] 第一章 三角形的证明

1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步体会证明的必要性,提高推理能力. 2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容,掌握基本的证明方法,结合实例体会反证法的含义. 3.能够证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的性质定理及判定定理. 4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 5.结合具体例子了解原命题及逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并明确原命题成立其逆命题不一定成立. 6.已知底边及底边上的高线,能用尺规作出等腰三角形;已知一条直角边和斜边,能用尺规作出直角三角形;能用尺规过一点作已知直线的垂线.

经历探索、猜测、证明的过程,进一步体会证明的必要性,培养学生的推理论证能力. 发展勇于质疑、严谨求实的科学态度. “三角形的证明”是新旧教材转换中变化比较大的一部分内容,无论是《标准》对证明的要求上,还是对“证明”在数学教学中价值的重新定位,以及证明在整套教材中的编排顺序,都和我们传统几何教学中的证明大有不同. 本章是平行线的证明的继续,首先给出作为继续进行证明基础的几条公理,并与平行线的证明中给出的几条公理一起展开这一章对命题的逻辑证明. 本章中所涉及的很多命题(如等腰三角形的性质、直角三角形全等的条件、勾股定理及其逆定理等)在前几册教材中学生们已经通过一些直观的方法进行了探索,所以学生们对这些结论已经有所了解.对于这些命题,教材力争将证明的思路展现出来. 教材中首先利用提问题的方式使学生们回忆这些结论,并回忆用来探索这些结论的方法和过程,因为这些方法和过程往往会对证明的思路有所启发,然后再利用公理和已有的定理去证明.上述过程将抽象的证明与直观的探索联系起来, 本章中还涉及一些以前没有探索过的命题,这些命题的获得,有些是直接通过证明得到的,而对于有些命题,教材则尽可能地创设一些问题的情境,为学生提供自主探索发现的空间,然后再进行证明,从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程,体会合情推理与论证推理在获得结论中各自发挥的作用. 此外,教材还注意渗透数学思想方法,如由特殊结论到一般结论的归纳思想、类比思想、转化思想等.一方面为学生设置了可将结论进行推广和一般化的空间,将探索发现和证明有机地结合起来.另一方面教材还注意引导学生探索证明的不同思路和方法,并进行适当的比较和讨论,开阔学生的视野,提高学生的思维能力. 【重点】 1.等腰三角形的性质. 2.等腰三角形的判定. 3.直角三角形的性质. 4.直角三角形的判定. 5.线段的垂直平分线的性质定理. 6.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理. 7.角平分线的性质定理. 8.角平分线的性质定理的逆定理. 【难点】 1.等腰三角形的性质的证明. 2.添加辅助线的方法. 3.勾股定理的证明. 4.勾股定理的逆定理的证明. 5.三线共点的证明方法. 6.用尺规作等腰三角形. 7.应用本章的知识证明或者解决有关的问题.

推理与论证的学习方法是在不同层次中展开的,在探索图形性质的活动中,学习合情推理;在交流的过程中,学习有条理思考;在积累了一定的活动经验与掌握一些图形的性质的基础上,从几个基本事实出发,证明一些有关三角形、四边形的基本性质,从而体会证明的必要性,理解证明的基本过程,掌握演绎推理的基本格式.这些内容有利于学生主动地进行观察、试验、猜测、验证、推理、交流与反思等数学活动. 因此在前几册的学习中,学生们已经经历了探索图形性质的过程,并且发现了图形的很多性质,但没有给出严格的证明.从平行线的证明开始,逐渐地开始证明已探索过的图形的性质,同时也证明一些新的结论.在本章的教学中应重点注意在证明思路和方法上对学生的引导,帮助学生分析如何添加辅助线、如何构造辅助图形.在这个过程中,原来在进行图形的折叠、拼剪等探索图形性质时所使用的方法对证明的思路也是很重要的,应注意引导和启发. 很多图形的性质及结论的证明方法和途径都不是唯一的,辅助线的添加方法也是多样的,因此,在教学时要注意引导学生探索证明的不同方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,发散逻辑思维.另外,通过一定数量的推理证明的训练,逐步使学生掌握证明方法和思路.具体建议如下: 1.等腰三角形:教材直截了当地提出等腰三角形的性质,进而去探讨证明的思路,我认为创设问题的情境不足,学生准备不充分.我采用先折纸,再复习等腰三角形的性质,而后提出证明,并分析证明的思路,让学生在循序渐进的过程中学习. 2.直角三角形:利用图形割补的方法可以证明勾股定理,但证明有一定的难度,因此在“读一读”中介绍了两种方法,可供有兴趣的学生阅读,而不作为对所有学生的要求. 3.勾股定理的逆定理的证明方法新颖,对学生来说有一定难度,教学中只要学生能接受证明的方法和过程即可,不必做更多要求. 4.线段的垂直平分线:对于作图学生没有困难,但要求学生会写已知、求证、及说明作图的理由,学生就会感到困难,在教学中,应注意引导学生会说明理由,学生的思路可能较多,应鼓励学生多种思维发展;应让学生在作图的基础上,学会用尺规作已知直线的垂线(过直线上一点或直线外一点)、已知底边和底边上的高作等腰三角形,作三角形三边的垂直平分线.注意利用线段的垂直平分线的性质及判定定理解决有关的实际问题及简单的证明与计算. 5.角平分线:学生已经探索过角平分线上的点的性质,此处可先让学生回顾其性质和探索过程,并尝试证明.在前面的学习中,学生已经了解了如何构造一个命题的逆命题.学习线段的垂直平分线时,也经历了构造其逆命题的过程,因此,学生会类比构造角平分线性质定理的逆命题.在叙述其逆命题时,可不加什么条件,但验证其真假时,教师应引导学生注意角平分线是在角的内部的射线,所以就要附加“在角的内部”这个条件. 1 等腰三角形 4课时 2 直角三角形 2课时 3 线段的垂直平分线 2课时 4 角平分线 2课时 回顾与思考 1课时

1 等腰三角形

1.理解并能说出全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质. 2.能够证明判定三角形全等的“角角边”定理和等腰三角形的性质,掌握证明的基本步骤和书写格式. 3.能用三角形全等的判定定理和等腰三角形的性质证明或解决有关的问题. 4.理解并能说出等腰三角形的判定定理,且能用其判定一个三角形是否为等腰三角形. 5.能说出并能够证明等边三角形的性质和判定方法,且能够用其证明或解决有关的问题. 6.能说出并能够证明在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,且能够应用其证明或解决有关的问题. 7.了解反证法的思想和方法.

1.经历“角角边”定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定的探索证明过程,感受数学的严谨性. 2.在探索和证明中,提高学生的数学语言表达能力.

在探索证明中,培养学生严谨求学的态度和尊重理论事实的正确价值观. 【重点】 1.等腰三角形的性质定理及判定定理的证明及其应用.

2.等边三角形的性质定理和判定定理的证明及其应用. 【难点】 1.对本节定理的证明方法和辅助线的添加方法的探索. 2.对反证法的认识和了解. 第课时

1.了解作为证明基础的几条公理的内容. 2.使学生经历“探索—— 发现——猜想——证明”的过程,学会用综合法证明等腰三角形的有关性质定理.

让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.

经历作辅助线的证明过程,进一步发展学生的合情推理意识,培养主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

【重点】 等腰三角形的性质及推论. 【难点】 命题的书写格式.

【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 复习三角形全等的判定方法.

导入一: 请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条: 1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS); 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA); 5.三边对应相等的两个三角形全等(SSS). 在此基础上回忆三角形全等的另一个判别条件: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS),并要求学生利用前面所提到的公理进行证明. 已知:如图所示,在△ABC和△DEF中,有∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF. 求证△ABC≌△DEF. 证明:∵∠A=∠D,∠B=∠E(已知), 又∠A+∠B+∠C=180°,∠D+∠E+∠F=180°(三角形内角和等于180°), ∴∠C=180°-(∠A+∠B),∠F=180°-(∠D+∠E), ∴∠C=∠F(等量代换). 又∵BC=EF(已知), ∴△ABC≌△DEF(ASA). [设计意图] 经过一个假期,学生对上学期所学知识难免有所遗忘,因此,在第一课时,回顾有关内容,既是对前面学习内容的一个简单梳理,也为后续有关证明做足了知识准备. 导入二: 我们已经证明了有关平行线的一些结论,运用下面的公理和已经证明的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论. 我们已学过的部分基本事实: 1.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2.两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等; 3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (SAS); 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 (ASA); 5.三边对应相等的两个三角形全等 (SSS). 通过上面的这些结论,我们能否证明等腰三角形的底角相等呢? [设计意图] 帮助学生理解公理在证明定理过程中的作用,同时通过设问引入本课时的学习内容.

一、等腰三角形的两底角相等 [过渡语] 等腰三角形有哪些性质?以前是如何探索这些性质的,你能再次通过折纸活动验证这些性质吗?并根据折纸过程,得到这些性质的证明吗? 让学生按图示的方法先独自折纸观察,再探索并写出等腰三角形的性质.

定理:等腰三角形的两底角相等. 这一定理可以简述为:等边对等角.

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC. 求证∠B=∠C. 〔解析〕 我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上,折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.这启发我们,可以作一条辅助线把原三角形分成两个全等的三角形,从而证明这两个底角相等.

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北师大八年数学下册第一章

北师大八年数学下册第一章

第一章三角形的证明一等腰三角形1 定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形2 性质：一定理：等腰三角形的两底角相等，简述为等边对等角二定理的推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合，简称三线合一三线合一的拓展：1 等腰三角形两腰上的中线，高线，两个底角的平分线分别相等2 等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高3 等腰三角形顶角的平分线（底边上的高，中线）上的任意一点到两腰的距离相等4 等腰三角形是轴对称图形，三线就是它的对称轴3 判定：一定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形二定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为等角对等边二等边三角形1 性质：一等边三角形的三条边都相等二等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°2 判定：一三条边都相等的三角形是等边三角形二三个角都相等的三角形是等边三角形三有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形3 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。

但它的对称轴有三条三证明两个三角形全等的方法：SSS, SAS, ASA, AAS,直角三角形HL四反证法一般步骤：1 假设命题的结论不成立2 推导出矛盾3 否定假设，肯定命题的结论五含30°角的直角三角形的性质：定理：在直角三角形中，如果一个锐角等30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半例1 点A,D,B,E在同一条直线上，AD=BE,∠ACB=∠DFE,AC∥DF,那么图中与EF相等的线段是，并证明例2 在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB,则∠A的度数为例3 已知点D,E在△ABC的边BC上，AD=AE,AB=AC,求证：∠BAD=∠CAE例4 用反证法证明：一个三角形中不能有两个钝角例5 已知点D,E在线段BC上，BD=CE,∠B=∠C，∠ADB=120°求证△ADE是等边三角形例6 在△ABC中，∠ACB=90°，CD,CE三等分∠ACB,CD⊥AB，求证1 AB=2BC 2 CE=AE=EB例7 在△ABC中，AB=AC,O是△ABC中的一点，且OB=OC，求证AO⊥BC例8在某次海上搜救演习活动中，一救护船在A处测得海岛B在北偏东35°方向，上午11时，该救护船从A处出发，以20海里每小时的速度向正北方向航行到C处，此时测得海岛B在北偏东70°方向，且救护船距离海岛20海里，求该救护船到达C处的时间（先做图，以A处为原点坐标，后计算）例9 已知线段a和一个锐角b，求作一个等腰三角形，使等腰三角形的底角为b，底边为a（保留做图痕迹）例10 已知一个等腰三角形一腰上的高于另一腰所成的夹角为45°，则此等腰三角形的顶角度数为例11 某市旧城改造中计划在市内一块三角形空地上种植草皮，已知这种草皮的为100元每平方米那么购买这种草皮至少需要多少钱例12 用反证法证明一个三角形中至少有一个角不小于60°二直角三角形1 定义：有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形2 性质：一定理：在直角三角形中如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半二定理：直角三角形的两个锐角互余三勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方3 判定：一定义：有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形二定理：有两个角互余的三角形是直角三角形三勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形4 逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题是另一个命题的逆命题5 逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理例1 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°AC=2,求AB,BC的长例2 命题平行四边形的对角线互相平分的逆命题例3 AD为△ABC边BC上的高，E为AC上的一点，BE交AD于点F，且有BF=AC,FD=CD,求证BE⊥AC例4 在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数例5 已知∠A=60°，∠B=∠ADC=90°，AB=2,CD=1,求BC和AD的长例6 在四边形ABCD中，AB=2,BC=5,CD=5,DA=4,∠B=90°，求四边形的面积例7 公路L的同侧有A,B两个送奶站，C为公路L上一供奶站，CA和CB为供奶站供奶路线，现已测得AC=8KM,BC=15KM,AB=17KM,∠1=30°，若有一人从C处出发，沿公路L行走，速度为2.5KM/H，问多长时间后这个人距B送奶站最近例8 一个圆柱，高为10cm，底面圆的直径为8cm,动点P从点A出发，沿圆柱侧面移动到BC的中点S的最短距离是多少（π取3）例9 写出下面命题的逆命题，并判断这对命题的真假。

北师版八年级数学下册作业课件(BS) 第一章 三角形的证明 专题课堂 三角形的证明

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3．(嘉兴中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB， DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点 E，F， ∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵D 为 AC 的中点，∴AD＝CD， 在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中，ADDE＝＝DCFD，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)， ∴∠A＝∠C，∴BA＝BC，∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝AC，∴△ABC 是等边三角形
6．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E， 交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是_____1.5
7．如图所示，D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上， 且DM＝DN，∠BMD＋∠BND＝180°. 求证：BD平分∠ABC.
证明：作DE⊥AB，DF⊥BC，E，F为垂足，可证△DEM≌△DFN， 则∴DE＝DF，∴BD平分∠ABC
证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠EAB＝∠BAD，∴∠EAB＝∠CAD，在△AEB和△AFC中， AE＝AF，∠EAB＝∠FAC，AB＝AC， ∴△AEB≌△AFC(SAS)，∴BE＝CF
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分 ∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，求BC的长．
1．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2， 点 D 为 AC 的中点，点 E，F 分别是线段 AB，CB 上的动点， 且∠EDF＝90°，若 ED 的长为 m， 则△BEF 的周长是(__2_m__＋__2_) (用含 m 的代数式表示)．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，作∠EAB＝∠BAD， AE交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF. 求证：BE＝CF.
三角形的证明

三角形的证明

第一章三角形的证明第一讲：1.等腰三角形(1)——等腰三角形的性质(知识回顾)知识点一三角形全等的证明方法：1、 2、 3、 4、例1如图所示,分别过点C,B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E,F.求证:BF=CE1.如图,AC与BD交于点O,AB∥CD,若用“ASA”或“AAS”判定△AOB≌△COD,还需要添加的一个条件是.2、两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O 为边AC和DF的交点.求证:OF=OC.知识点二等腰三角形的性质定理定理:等腰三角形的两底角相等.这个定理简称为等边对等角.例2如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=AD,DC=AC,求∠B的度数3、若等腰三角形底边上的高与底边的比为1∶2,则它的顶角等于（）A.90°B.60°C.120°D.150°4.已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形顶角的度数是( )A.50°B.80C.50°或80°D.40°或65°知识点三等腰三角形性质定理的推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.这条性质通常称为等腰三角形的“三线合一”.是证明那三条线证明: 等腰三角形两底角的平分线相等，高线相等已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．求证：BD=CE．拓展点一等腰三角形特殊性质的证明例1求证:等腰三角形两腰上的高的交点到底边两端的距离相等.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,CE,BD交于点O,求证:OB=OC.知识点四等边三角形的性质定理定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.例4 如图,点P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.拓展点二等边三角形与三角形全等的综合题5、如图,已知△ABC和△ADE都是等边三角形,连接CD,BE.求证:CD=BE习题1、下列各组几何图形中，一定全等的是（）A、各有一个角是550的两个等腰三角形；B、两个等边三角形；C、腰长相等的两个等腰直角三角形；D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.2、如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A、∠A=∠B ;B、BF=CE;C、AE∥DF;D、AE=DF.3、如果等腰三角形的一个内角等于50°，则其余两角的度数为。

新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明 章节全部知识框架

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判定
③勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。 性质:垂直平分线上的任意点到线段两端点的距离相等。 （等腰三角形中三线合一的线段就是底边上的垂直平分线）
垂直 平分 线
判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 （可用于证明点在直线上或三线共点的问题） 三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线交于一点，且这点到三顶点的距离相等（外心） ①作线段垂直平分线：以端点为圆心，以大于线段一半长为半径画弧，并连结四弧的交点的直线 尺规作图
判定
③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形. A、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合 B、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合 C、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。 （不能直接使用结论证
直角三角形 等边三角形 等腰三角形
性质
③两角相等（相等的两个角称为底角）→等角对等边。
前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边 对等角。可用于证明线段或角相等（等腰三角形）
④“三线合一” ：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。 ⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。 （对称性全等） ①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。
全等三角形
一般三角形全等的判定定理： SSS SAS ASA AAS
判定
两直角三角形全等的判定定理： HL 定理 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。 ②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。