线性代数第九讲PPT课件

第九章 线性变换

9.1 判别下述所定义的映射是否线性变换?

（1） 从R3到R2的映射：;,2,,3221321TTT

（2）V自身上的映射：,axxT其中;Va

（3）R3自身上的映射：;,,,,233221321TTT

（4）xF自身上的映射：;1xfxfT

（5）xF自身上的映射：;,00FxxfxfT

（6）复数域C自身上的映射：T；

（7）nnF自身上的映射：BXCXF，其中B、CnnF

解：（1）任取3321321,,.,,RbT

（1）因为 332211,,TbaT

33222211,2

bTaT32213221,2,2

aTTaT32213221321,2,2,,

所以，T为线性变换.

（2）任取Vyx,，因为

ayxyxT，ayxyTxT2

所以当0a时，T不是线变换.

（3）因为：任3321,,Ra

aTaT23232212,,

所以：T不是线性变换.

（4）因为：任xFxgxf.

xgTxfTxgxfxgxfT00

xfTxfxfT0 所以T为线性变换.

（5）任xFxgxf.

xgTxfTxgxfxgxfT11

全排列：n个不同的元素的所有不同的排列方式。

例1：求1，2，3，4的全排列。

解：1，2，3，4的全排列是：1234，1243，1423，1432，2134，2143，2314，2341，2413，2431，3124，3142，3214，3241，3412，3421，4123，4132，4213，4231，4312，4321。

全排列数：n个不同的元素的全排列数列的个数。Pn=n!

例2：求1，2，3，4的全排列数。

解：由例1可以数出来，1，2，3，4的全排列数P=24.

或：P=4! =24.

逆序数：每一位前比自己大的数的个数的和。逆序数为奇数的数列为奇数列，为偶数的是偶数列。

例3：求35142的逆序数。

解：在哦3前比3大的数没有。在5前面比5大的数没有。在1前比1大的数有2个。在4前面比4大的数有1个，在2前面比2大的数有3个。所以t（35142）=0+0+2+1+3=6，为偶数列。

n阶行列式的计算方法1:

对于行列式D= a11 a12 … a1na21 a22 … a2n…an1 an2 … ann ，其值

D= (−1)t(p1，p2，…pn)a1p1a2p2…anpn，其中p1，p2，…pn为1，2，…，n的一种排列，t为这种排列的逆序数。

例4：求行列式D= a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33 。

解：D= −1 t 123 a11a22a33+ −1 t 132 a11a23a32+ −1 t 213 a12a21a33+ −1 t 231 a12a23a31

+(−1)t(312) a13a21a32+(−1)t(321) a13a22a31

=a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31

行列式的性质：

（1）转置行列式的值与原行列式相等。即DT=D.

线性代数教案课件

第一章：线性代数简介

1.1 线性代数的意义和应用

1.2 数学符号和基本概念

1.3 矩阵和向量的基本运算

1.4 线性方程组和矩阵的解法

第二章：矩阵和行列式

2.1 矩阵的定义和性质

2.2 矩阵的运算规则

2.3 行列式的定义和性质

2.4 行列式的计算方法和应用

第三章：向量空间和线性变换

3.1 向量空间的概念和性质

3.2 线性变换的定义和性质

3.3 矩阵与线性变换的关系

3.4 线性变换的应用

第四章：特征值和特征向量

4.1 特征值和特征向量的定义

4.2 特征值和特征向量的计算方法

4.3 矩阵的对角化和对角化公式

4.4 特征值和特征向量的应用

第五章：线性方程组和矩阵的秩 5.1 线性方程组的解法和性质

5.2 矩阵的秩的定义和性质

5.3 矩阵的秩的计算方法

5.4 线性方程组和矩阵秩的应用

第六章：二次型

6.1 二次型的定义和标准形

6.2 二次型的矩阵表示和性质

6.3 配方法和消元法求解二次型

6.4 二次型的几何意义和应用

第七章：线性代数在几何中的应用

7.1 向量空间和线性变换在几何中的应用

7.2 向量的几何运算和性质

7.3 矩阵的几何意义和应用

7.4 线性方程组和矩阵秩在几何中的应用

第八章：线性代数在概率论和统计中的应用

8.1 随机向量和矩阵的概率分布

8.2 协方差矩阵和相关系数矩阵

8.3 线性回归和最小二乘法

8.4 线性代数在数据分析中的应用

第九章：线性代数在经济和管理中的应用

9.1 线性规划和单纯形法

9.2 投入产出分析和线性代数 9.3 线性代数在供应链管理中的应用

9.4 线性代数在金融分析中的应用

第十章：线性代数的进一步研究

10.1 特征值和特征向量的进一步研究

10.2 矩阵的对角化和谱分解

10.3 线性变换的进一步研究

10.4 线性代数在其他领域的应用

重点和难点解析

1. 第一章中，线性代数的意义和应用是一个重点环节。需要详细解释线性代数在各个领域的重要性，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域的应用。

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考研数学线性代数讲义

目录

第一讲 基本概念

线性方程组 矩阵与向量 初等变换和阶梯形矩阵 线性方程组的矩阵消元法

第二讲 行列式

完全展开式 化零降阶法 其它性质 克莱姆法则

第三讲 矩阵

乘法 乘积矩阵的列向量和行向量 矩阵分解 矩阵方程 逆矩阵 伴随矩阵

第四讲 向量组

线性表示 向量组的线性相关性 向量组的极大无关组和秩 矩阵的秩

第五讲 方程组

解的性质 解的情况的判别 基础解系和通解

第六讲 特征向量与特征值 相似与对角化

特征向量与特征值—概念,计算与应用 相似 对角化—判断与实现

附录一 内积 正交矩阵 施密特正交化 实对称矩阵的对角化

第七讲 二次型

二次型及其矩阵 可逆线性变量替换 实对称矩阵的合同 标准化和规范化 惯性指数 正定二次型与正定矩阵

附录二 向量空间及其子空间

附录三 两个线性方程组的解集的关系

附录四 06,07年考题

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第一讲 基本概念

1．线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,

… … … …

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,

其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.

线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,kn)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式.

线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.

对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.