2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第七章 第三节 平行关系

1 课时作业

A组——基础对点练

1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，nα，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：若m，nα，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，nα，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．

答案：A

2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )

A．m∥l1且n∥l2 B．m∥β且n∥l2

C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α

解析：由m∥l1，mα，l1β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．

答案：A

3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的( )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：若mα且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而mα且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．

答案：B

4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )

A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β

B．若m∥n，mα，nβ，则α∥β

C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β

D．若m∥n，m∥α，则n∥α

解析：对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，mα，nβ，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.

答案：C

5．已知正方体ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)．

2 ①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.

解析：连接AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D1，BD，因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因AD1∥BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1，故AD1∥平面BDC1，故④正确．

答案：①②④

6．如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN平行的是________．

解析：连接AM并延长，交CD于E，连接BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，连接MN，由EMMA＝ENNB＝12，得MN∥AB.因此，MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.

答案：平面ABC、平面ABD

7．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．

(1)求四棱锥O-ABCD的体积；

(2)证明：直线MN∥平面OCD.

解析：(1)∵OA⊥底面ABCD，∴OA是四棱锥O-ABCD的高．∵四棱锥O-ABCD的底面是边长为1的菱形，∠ABC＝π4，∴底面面积S菱形ABCD＝22.

∵OA＝2，∴体积VO-ABCD＝23.

(2)证明：取OB的中点E，连接ME，NE(图略)．

∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD.

又∵NE∥OC，∵ME∩EN＝E，CD∩OC＝C，

3 ∴平面MNE∥平面OCD.

∵MN平面MNE，

∴MN∥平面OCD.

8.(2018·石家庄质检)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M为AD的中点，N为PC上一点，且PC＝3PN.

(1)求证：MN∥平面PAB；

(2)求点M到平面PAN的距离．

解析：(1)证明：在平面PBC内作NH∥BC交PB于点H，连接AH(图略)，

在△PBC中，NH∥BC，且NH＝13BC＝1，AM＝12AD＝1.

又AD∥BC，∴NH∥AM且NH＝AM，

∴四边形AMNH为平行四边形，

∴MN∥AH，

又AH平面PAB，MN平面PAB，

∴MN∥平面PAB.

(2)连接AC，MC，PM(图略)，平面PAN即为平面PAC，设点M到平面PAC的距离为h.

由题意可得CD＝22，AC＝23，

∴S△PAC＝12PA·AC＝43，

S△AMC＝12AM·CD＝2，

由VM-PAC＝VP-AMC，

得13S△PAC·h＝13S△AMC·PA，

即43h＝2×4，∴h＝63，

∴点M到平面PAN的距离为63.

9．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.

4

(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；

(2)证明：直线MN∥平面BDH；

(3)过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．

解析：(1)点F，G，H的位置如图所示．

(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH，AC，BH，MN.

∵M，N分别是BC，GH的中点，

∴OM∥CD，且OM＝12CD，

NH∥CD，且NH＝12CD，

∴OM∥NH，OM＝NH，

则四边形MNHO是平行四边形，

∴MN∥OH，

又MN平面BDH，OH平面BDH，

∴MN∥平面BDH.

(3)由(2)知OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都相等，体积比等于底面积之比，即3∶1.

B组——能力提升练

1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：

①若a∥b，bα，则a∥α；

②若a∥b，a∥α，则b∥α；

5 ③若a∥α，b∥α，则a∥b.

其中真命题的个数是( )

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：对于①，若a∥b，bα，则应有a∥α或aα，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或bα，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．

答案：A

2．已知直线a，b异面，给出以下命题；

①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；

②一定存在平行于a的平面α使b∥α；

③一定存在平行于a的平面α使bα；

④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．

则其中正确的是( )

A．①④ B．②③

C．①②③ D．②③④

解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且bα，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面 (除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.

答案：D

3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是(

)

6 ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；

②平面SBC内存在直线与SA平行；

③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：由题图，得SA⊥SE，若存在点E使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．故选B.

答案：B

4．(2018·郑州市质检)如图，直三棱柱ABC-A′B′C′中，△ABC是边长为2的等边三角形，AA′＝4，点E，F，G，H，M分别是边AA′，AB，BB′，A′B′，BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面ACC′A′，则动点P的轨迹长度为( )

A．2 B．2π

C．23 D．4

解析：连接MF，FH，MH，因为M，F，H分别为BC，AB，A′B′的中点，所以MF∥平面AA′C′C，FH∥平面AA′C′C，所以平面MFH∥平面AA′C′C，所以M与线段FH上任意一点的连线都平行于平面AA′C′C，所以点P的运动轨迹是线段FH，其长度为4，故选D.

答案：D

5．在三棱锥PABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为________．

解析：过点G作EF∥AC，分别交PA、PC于点E、F，过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，分别交AB、BC于点N、M，连接MN(图略)，则四边形EFMN是平行四边形，所以EF3＝23，即EF＝MN＝2，FMPB＝FM6＝13，即FM＝EN＝2，所以截面的周长为2×4＝8.

答案：8

6．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于体对角线BD1的截面，则截面