函数的极值的判别及其应用
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函数的极值的判别及其应用
【摘要】综述函数的极值条件，结合一元、二元函数极值的部分判别方法推广到多元函数极值的判别，提出判别多元函数极值的几个方法，并利用极值的条件解决一些生活中的实际问题。
【关键词】函数；极值；充分条件
函数极值不仅在实际问题中占重要地位，而且也是函数性态的一个特征。对函数极值的判断定是多元微分的一个重要内容，函数极值的应用更是一个实际行的问题。数学分析中给出了一元函数的一个必要条件和三个充分条件；二元函数极值的一个必要条件和两个充分条件；高等数学研究中在此基础上给出了多元函数局部极值的一个充分条件和二元函数极值的一种判别方法，本文在此基础上总结一元函数、二元函数以及多元函数极值的判别方法，并运用函数极的判别方法解决一些实际数学问题。
1.一元函数极值的判定及应用
1.1一元函数极值的判定条件
1.1.1极值的第一充分条件。设f在点x0连续，在某邻域U0（x0；δ）内可导。
（ⅰ）若当x∈（x0-δ，x0）时 （x）≤0，当x∈（x0，x0+δ）时 （x）≥0，
则f在点x0取得极小值。
（ⅱ）若当x∈（x0-δ，x0）时 （x）≥0，当x∈（x0，x0+δ）时 （x）≤0，
则f在点x0取得极大值。
1.1.2极值的第二充分条件。设f在x0的某邻域U（x0；δ）内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且 （x0）=0， （x0）≠0.
（ⅰ）若 （x0）0，则f在点x0取得极小值。
1.1.3极值的第三充分条件。设f在x0的某邻域U（x0；δ）内存在直到n-1阶导函数，在x0处n阶可导，且f（k）（x0）=0（k=1，2，3…，n-1），f（n）（x0）≠0，则
（ⅰ）当n为奇数时， f在x0取得极值，且当f（n）（x0）＜0时取得极大值，f（n）（x0）>0时取得极小值。
（ⅱ）当n为偶数时，f在x0处不取极值。
1.2应用举例：
艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知当速度为每小时10千米，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元。问轮船的速度为多少时，每航行1千米所消耗的费用最小？
解：设速度为每小时x千米，根据题意每航行1千米的耗费为
y= （kx3+96）.
由已知当x=10时，k•103=6，故得比例系数k=0.006。所以有
y= （0.006x3+96），x∈（0，+∞）
令=0.012x- = （x3-8000）=0，
求得稳定点x=20。由极值第一充分条件检验得x=20是极小值点。由于在（0，+∞）上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点。所以求得当船速为20（km/h）时，每航行1km的耗费为最少，其值为ymin=0.006×202+ =7.2（元）。
2.二元函数极值的判定及应用
2.1二元函数极值的判定条件
2.1.1极值必要条件。若函数f在点p0（x0，y0）存在偏导数，且在p0取得极值，则有
fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0.
反之，若函数f在p0点满足fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，则称点p0为的稳定点。
2.1.2极值第一充分条件。设二元函数在p0（x0，y0）的某邻域U（p0）内具有二阶连续偏导数，且p0是f的稳定点，则当Hf（p0）是正定矩阵时，f在p0取得极小值，当Hf（p0）是负定矩阵时，f在p0取得极大值，当Hf（p0）是不定矩阵时，f在p0不取极值。
2.1.3极值第二充分条件。设二元函数在p0（x0，y0）的某邻域U（p0）内具有二阶连续偏导数，且p0是f的稳定点，则有：
（ⅰ）当fxx（p0）>0，（fxxfyy-f2xy）（p0）>0时，f在点p0取得极小值；
（ⅱ）当fxx（p0）0时，f在点p0取得极大值；
（ⅲ）当（fxxfyy-f2xy）（p0）＜0时，f在点p0不能取得极值；
（ⅳ）当（fxxfyy-f2xy）（p0）=0时，不能肯定f 在点p0是否取得极值。
2.2应用举例：
求空间中任一点（x，y，z）与n个点Pi（xi，yi，zi）i=1，2，3，…，n的最短距离。
解：= + +…+ + +…+ + +…+ ，
>0.
当 ， ， 时， 能取得最小值。
3.多元函数极值的判定及应用
3.1多元函数极值的判定条件
3.1.1多元函数的二阶充分条件。设f（x1，x2，…，xn）是凸函数域D上具有二阶连续偏导数的n元函数，P0（x10，x20，…，xn0）是它的一个稳定点，对任意点P（x1，x2，…，xn），记该点的二阶导数为
记做Hf（P）。则
当Hf（P）在稳定点P0的某邻域上正定（负定）时f在P0处取严格极小（极大）值；当Hf（P）在稳定点P0的某邻域上半正定（半负定）时f在P0处取严格极小（极大）值。
3.1.2多元函数的一阶充分条件。设多元函数= f（x1，x2，…，xn）在点P0（x10，x20，…，xn0）的δ邻域B|（P0）=|（x1，x2，…，xn）|00，则f在P0
点达到最大只值。
证明：设多元函数= f（x1，x2，…，xn）在点P0（x10，x20，…，xn0）的δ邻域B|（P0）内有连续的偏导数，P（x1，x2，…，xn）是该邻域内任意一点。
引入函数 （t）=f（x10+t x1，x20+t x2，…xn0+t xn）（0 t 1）
则 （0）=f（x10，x20，…，xn0）；
（1）=f（x1，x2，…，xn）且 （t）在[0，1]内连续，在（0，1）内可微。应用一元函数拉格朗日中值定理，存在某t0 （0，1），使得，
（1）－ （0）= （t0）
-
= + + +
其中 ， ， ，
由于 ，故有
00， >0， >0时，函数取得极小值，
0， 0，q>0，r>0）的极值。
解：因为 ， ， ，要想取得极值，首先 ，
即x=0，y=0，z=0，所以在原点可能有极值。
又 ，
>0， >0， >0，
所以由定理知函数（0，0，0）点取得极小值。
例1 讨论函数 （p>0，q>0，r>0）的极值。
解：因 ，要想取得极值，首先 ，
即x=0，y=0，z=0，故在原点可能有极值，
又
>0， <0，
<0，所以由定理知函数在（0，0，0）无极值。
参考文献：
[1]华东师范大学数学系，数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2002。
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