2018-2019学年高二数学上册基础巩固检测题32
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第二章 数列
2.2 等差数列
第1课时 等差数列的概念与通项公式
A级 基础巩固
一、选择题
1．有穷等差数列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的项数是( )
A．n B．3n＋11
C．n＋4 D．n＋3
解析：在3n＋11中令n＝1，结果为14，它是这个数列的第4项，前面还有5，8，11三项，故这个数列的项数为n＋3.
答案：D
2．若{an}是等差数列，则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是( )
A．bn＝a2n B．bn＝an＋n2
C．bn＝an＋an＋1 D．bn＝nan
解析：{an}是等差数列，设an＋1－an＝d，则数列bn＝an＋an＋1满足：
bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d.
答案：C
3．数列{an}中，an＋1＝an1＋3an，a1＝2，则a4为( )
A.87 B.85 C.165 D.219
解析：因为1an＋1＝1＋3anan，
所以1an＋1＝1an＋3，
所以1an＋1－1an＝3，
所以1an＝12＋3(n－1)，
1a4＝12＋3(4－1)＝192，
所以a4＝219.
答案：D
4．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( )
A．100 B．99 C．98 D．97
解析：由已知，9a1＋36d＝27，a1＋9d＝8，所以
a1＝－1，d＝1，a100＝a1＋99d＝－1＋99＝98，故选C.
答案：C
5．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值等于( )
A．0 B．log25 C．32 D．0或32
解析：依题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，
所以(2x－1)2＝2(2x＋3)，
所以(2x)2－4·2x－5＝0，
所以(2x－5)(2x＋1)＝0，
所以2x＝5或2x＝－1(舍)，
所以x＝log2 5.
答案：B
二、填空题
6．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有________个．
解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，又因为Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0
所以二次函数的图象与x轴的交点有1或2个．
答案：1或2
7．若关于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为14的等差数列，则m＋n的值为________．
解析：设x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分别为x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＝x3＋x4＝1.设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质，数列的第4项为x2，由题意知x1＝14，
所以x2＝34，数列的公差d＝34－144－1＝16，
所以数列的中间两项分别为14＋16＝512，512＋16＝712.
所以x1·x2＝m＝316.x3·x4＝n＝512×712＝35144.
所以m＋n＝316＋35144＝3172.
答案：3172
8．数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．若an＝bn，则n的值为________．
解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，
令an＝bn，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.
答案：5
三、解答题
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
解：(1)因为a5＝－1，a8＝2，
所以a1＋4d＝－1，a1＋7d＝2，解得a1＝－5，d＝1.
(2)设数列{an}的公差为d.由已知得，
a1＋a1＋5d＝12，a1＋3d＝7，解得a1＝1，d＝2.
所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，
所以a9＝2×9－1＝17.
10．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
解：由题意知a1＋a2＝a3，a1a2＝a4，
所以2a1＋d＝a1＋2d，a1（a1＋d）＝a1＋3d.
解得a1＝2，d＝2，
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式为an＝2n.
B级 能力提升
1．已知x≠y，且两个数列x，a1，a2，…，am，y与x，b1，b2，…，bn，y各自都成等差数列，则a2－a1b2－b1等于( )
A.mn B.m＋1n＋1 C.nm D.n＋1m＋1
解析：设这两个等差数列公差分别是d1，d2，则a2－a1＝d1，b2－b1＝d2，第一个数列共(m＋2)项，所以d1＝y－xm＋1；
第二个数列共(n＋2)项，所以d2＝y－xn＋1，这样可求出a2－a1b2－b1＝d1d2＝n＋1m＋1.
答案：D
2．在数列{an}中，a1＝3，且对于任意大于1的正整数n，点(an，an－1)都在直线x－y－3＝0上，则an＝________．
解析：由题意得an－an－1＝3，所以数列{an}是首项为3，公差为3的等差数列，所以an＝3 n，an＝3n2.
答案：3n2
3．已知函数f(x)＝3xx＋3，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．
(1)求证：1xn是等差数列；
(2)当x1＝12时，求x2 015.
(1)证明：因为f(x)＝3xx＋3，数列{xn}的通项，
xn＝f(xn－1)，
所以xn＝3xn－1xn－1＋3，
所以1xn＝1xn－1＋13，
所以1xn－1xn－1＝13，
所以1xn是等差数列．
(2)解：x1＝12时，1x1＝2，
所以1xn＝2＋13(n－1)＝n＋53，
所以xn＝3n＋5，
所以x2 015＝32 020.
