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.专心. 第1课时 指数函数的性质与图像
课
标
解
读 课标要求 核心素养
1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法.(重点、难点)
2.能画出具体指数函数的图像,并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质.(重点) 1.通过指数函数概念的学习,培养数学抽象的核心素养.
2.借助指数函数的图像与性质的学习,提升直观想象、逻辑推理的核心素养.
某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……,依此类推.
问题1:1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞?分裂x次得到多少个细胞?
答案 22=4个,2x个.
问题2:分裂多少次可得到16个呢?如何求解?
答案 设分裂y次,由2y=16,得2y=24,解得y=4.
1.指数函数的定义
一般地,函数①y=ax称为指数函数,其中a为②常数,a>0且a≠1.
思考:指数函数中为什么规定a>0且a≠1?
提示 ①如果a=0,那么当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,ax无意义;②如果a<0,例如f(x)=(-4)x,那么x=12,14,…时,该函数无意义;③如果a=1,那么y=1x是一个常量,没有研究的价值.
为了避免上述各种情况的出现,所以规定a>0且a≠1.
2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像和性质
a>1 0
图像
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.专心. 性
质 定义域 R
值域 (0,+∞)
过定点 ③(0,1)
函数值
的变化 当x>0时,
④y>1;
当x<0时,
⑤00时,⑥0
当x<0时,⑦y>1
单调性 在R上是⑧增函数 在R上是⑨减函数
探究一 指数函数的概念
例1 (易错题)函数y=(a-2)2ax是指数函数,那么( )
A.a=1或a=3
B.a=1
C.a=3
D.a>0且a≠1
易错辨析:忽视指数函数对底数、系数的要求致误.要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件.
答案 C
解析 由指数函数的定义知{(𝑎-2)2=1,𝑎>0,𝑎≠1,
1
专题4.1 指数函数、对数函数与幂函数（精讲精析篇）
提纲挈领
点点突破
热门考点01 指数幂的化简与求值
指数幂运算的一般原则：
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
【典例1】计算：．
【典例2】已知则的值为__________．
【特别提醒】
根式、指数幂的条件求值，是代数式求值问题的常见题型，一般步骤是：
(1)审题：从整体上把握已知条件和所求代数式的形式和特点；
(2)化简：①化简已知条件；②化简所求代数式；
（3）求值：往往通过整体代入，简化解题过程.如本题求值问题实质上考查整体思想，考查完全平方公式、立方和（差）公式的应用，如，，，解题时要善于应用公式变形． 2 热门考点02 指数函数的图象及应用
常考题型及技法
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
【典例3】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数1(0,1)xyaaaa的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【典例4】(2019·天津河西区一模)已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有( )
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0
4.1.1 实数指数幂及其运算
课标解读 课标要求 核心素养
1.理解n次方根及根式的概念.
2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(重点)
3.掌握根式与分数指数幂的互化.(重点、易错点)
4.掌握有理指数幂的运算性质.(重点、难点) 1.通过根式与分数指数幂互化的学习,培养数学运算的核心素养.
2.通过利用指数式的条件解决求值问题,提升逻辑推理的核心素养.
公元前五世纪,古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派,其学派中的一个成员希帕索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线的长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数表示,也不能用分数表示,希帕索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了.
问题:若x2=3,则这样的x有几个?它们叫做3的什么?如何表示?
答案 这样的x有2个,它们都称为3的平方根,记作±.
1.有关幂的概念
一般地,an中的a称为①底数,n称为②指数. 2.根式的相关概念和性质
(1)根式的概念:
一般地,给定大于1的正整数n和实数a,如果存在实数x,使得xn=a,则③x称为a的n次方根;当有意义的时候,④称为根式,n称为⑤根指数,a称为⑥被开方数.
(2)根式的性质:
(i)()n=⑦a.
(ii)=
思考1:类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个?当n为奇数时呢?
提示 a为正数:
a为负数:
零的n次方根为零,记为=0.
3.分数指数幂 (1)定义:一般地,如果n是正整数,那么:当有意义时,规定=⑧;当没有意义时,称没有意义.
(2)意义:
分数
指数
幂 正分数
指数幂 =(a>0), =()m=⑨
负分数
指数幂 a-s=⑩(as有意义且a≠0)
0的分数
指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
(3)运算法则:
(i)前提:s,t为任意有理数.
(ii)法则:asat=as+t;(as)t=ast;(ab)s=asbs.
复习课(四) 指数函数与对数函数
考点一 指数式与对数式的运算
1．分数指数幂
2．对数的运算性质
已知a>0，b>0，a≠1，M>0，N>0，m≠0.
(1)logaM＋logaN＝loga(MN)．
(2)logaM－logaN＝logaMN.
(3)logambn＝nmlogab.
【典例1】 (1)化简：÷1－23ba×3ab；
(2)计算：2log32－log3329＋log38－25log53.
(2)原式＝log34－log3329＋log38－52log53
＝log34×932×8－52log53＝log39－9＝2－9＝－7.
指数与对数的运算应遵循的原则
(1)指数式的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的．
(2)对数式的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行．
[针对训练]
1．求值：
[解] (1)原式＝＋32－2＝32－1－32－2＋232
＝32－1－49＋49＝12.
(2)原式＝－12log52·12log25＋log33－2log22＋2＝－14＋1－2＋2＝34.
考点二 指数函数、对数函数的图象
函数的图象以一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数这些基本初等函数的图象为基础，通过平移、对称得到较为复杂函数的图象，主要涉及单调性、奇偶性和特殊点的研究．
【典例2】 (1)已知函数f(x)＝则y＝f(x＋1)的图象大致是( )
(2)设a，b，c均为正数，且2a＝，12c＝log2c，则( )
A．a
C．c
[解析] (1)
先作出f(x)＝
的大致图象，如右图所示，再把f(x)的图象向左平移1个单位长度，可得到y＝f(x＋1)的图象．
(2)
