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人教A版选修2-2 变化率问题及导数的概念导学案 .docx

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高中数学学习材料

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变化率问题及导数的概念导学案

一、 学习目标：

1. 会说出平均变化率的概念和几何意义、物理意义；

2. 会求函数在某点处附近的平均变化率；

3. 了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念。

二、掌握以下概念和原理：

问题1 气球膨胀率问题：

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是__________.

如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.

（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了__________.气球的平均膨胀率为___________.

（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.气球的平均膨胀率为___________.

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?___________.

问题2 高台跳水问题：

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系___________.思考计算：5.00t和21t的平均速度v

在5.00t这段时间里，________.；在21t这段时间里，_________.

探究：计算运动员在49650t这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；

问题3 平均变化率

已知函数xf，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数xf从1x到2x______.习惯上用x表示h

t o12xx，即x=__________,可把x看做是相对于1x的一个“增量”，可用1xx代替2x，类似有)(xf_________,于是，平均变化率可以表示为_____________

思考：观察函数f(x)的图象说出平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?

总结计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量

Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()fxfxfxxx.

注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；②x2= x1+Δx；③Δf=Δy=y2-y1；

问题4 瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为________。一般地，若物体的运动规律为)(tfs，则物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到tt这段时间内，当_________时平均速度的极限，即tsvx0lim=___________________

问题5 导数的概念

函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxfxxfxfxx

我们称它为函数()yfx在0xx处的______，记作'0()fx或________，即________________________

探究求导数的步骤：

三、基础训练：

1、函数2xxf在区间3,1上的平均变化率是（ ）

A、4 B、2 C、41 D、43

2、经过函数22xy图象上两点A、B的直线的斜率（1,5.1BAxx）为_______;函数22xy在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________

3、如果质点M按规律23ts运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______

4、已知函数)(xfy，下列说法错误的是（ ）

A、)()(00xfxxfy叫函数增量 （即___变化率） ;)()()2(00xxfxxfxy算比值时）（在求0.)3(0xxyyxx);()()1(00xfxxfy求增量B、xxfxxfxy)()(00叫函数在[xxx00,]上的平均变化率

C、)(xf在点0x处的导数记为y D、)(xf在点0x处的导数记为)(0xf

5、（1）求函数xy在1x处的导数 （2）求22xy在点x=1处的导数.

四、合作、探究：

探究1. 已知函数xxxf2)(的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB则xy .

借题发挥：求2xy在0xx附近的平均变化率.

探究2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:C)为2()715(08)fxxxx,计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义. （课本例题）

探究3、 (1)求函数23xy在1x处的导数.

(2)求函数xxxf2)(在1x附近的平均变化率,并求出该点处的导数.

分析: 先求)()(00xfxxfyf,再求xy,最后求xyx0lim.

解:

反思总结：①导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同

②定义的变化形式：xf'=xxxfxfxyxx)()(lim)(lim0000；

xf'=00)()(lim)(lim00xxxfxfxyxxxx；xf'=xxfxxfx)()(lim000；

0xxx，当0x时，0xx，所以0000()()()limxfxfxfxxx

③求函数xfy在0xx处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

五、课堂检测：

1、质点运动规律为32ts,则在时间)3,3(t中相应的平均速度为 .

2、若质点A按规律22ts运动，则在3t秒的瞬时速度为

3、设函数)(xf可导，则xfxfx3)1()1(lim0=（ ）

A、)1(f B、)1(31f C、不存在 D、以上都不对

4、函数xxy1在1x处的导数是______________

5、物体按照43)(2ttts的规律作直线运动,求在s4附近的平均变化率.

6、过曲线3)(xxfy上两点)1,1(P和)1,1(yxQ作曲线的割线, 求出当Δx=0.1时割线的斜率.

7、已知函数12)(2xxfy的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x，1(fx）），求xy

8、已知一次函数)(xfy在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。

9、已知自由下落物体的运动方程是221gts，(s的单位是m,t的单位是s)，求：

（1）物体在0t到tt0这段时间内的平均速度；（2）物体在0t时的瞬时速度；

（3）物体在0t=2s到st1.21这段时间内的平均速度；（4）物体在st2时的瞬时速度。

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人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念

人教版高中数学选修2-2习题第一章导数及其应用1.1.2导数的概念

第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

导数的观点

A 级 基础稳固

一、选择题

1． y＝ x2 在 x＝ 1 处的导数为 ()

A． 2x B． 2 C． 2＋ x D． 1

分析：由于 f(x)＝ x2，x＝ 1，因此 y＝ f(1＋ x)－ f (1)＝ (1＋ x)2－ 1＝ 2 x＋ ( x)2，所

以 y＝ (2＋ x)＝ 2.

x

答案： B

2．一物体运动知足曲线方程 s＝4t 2＋ 2t－ 3，且 s′(5)＝ 42(m/s)，其实质意义是 ( )

A．物体 5 秒内共走过 42 米

B．物体每 5 秒钟运动 42 米

C．物体从开始运动到第 5 秒运动的均匀速度是 42 米/秒

D．物体以 t＝ 5 秒时的刹时速度运动的话，每经过一秒，物体运动的行程为 42 米

分析：由导数的物理意义知， s′ (5)＝ 42(m/s)表示物体在 t＝ 5 秒时的刹时速度．

答案： D

3．设函数 f (x)在点 x0 邻近有定义， 且有 f(x0＋ x)－ f(x0 )＝ a x＋ b( x)2，(a，b 为常数 )，

则 ()

A． f′ (x)＝ a B． f′ (x)＝ b

C． f′ (x0)＝ a D． f′ (x0)＝ b

分析：由于 f′(x ＝ f（ x0＋ x）－ f（ x0） ＝

0) x

a x＋ b（ x） 2

＝ (a＋ b x)＝ a，因此 f′(x

高中数学选修2《几个常用函数的导数》导学案

高中数学选修2《几个常用函数的导数》导学案

高二年级数学（选修2-2）导学案

第一章第二节1.2.1几个常用函数的导数2课时

教学内容 1.2.1几个常用函数的导数

编制人 审核人

执教教师

学习

目标 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；

2.学会利用公式，求一些函数的导数；

3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.

重点难

点分析 重点：四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式及应用

难点： 四种常见函数yc、yx、2yx、1yx的导数公式

教学过程

一、自主预习（独学） 教学思路（二次备课）

（（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：导数的几何意义是：曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率.因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为

复习2：求函数)(xfy的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量y

（2）求平均变化率yx

（3）取极限，得导数/y＝()fxxyx0lim

=

二、合作探究 归纳展示（对学、群学）

探究一：函数()yfxc的导数

根据导数定义，因为()()0yfxxfxccxxx

所以00limlim00xxyyx

函数 导数

yc 0y

0y表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都

为0．若yc表示路程关于时间的函数，则0y可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

探究二：函数()yfxx的导数

因为()()1yfxxfxxxxxxx

所以00limlim11xxyyx

【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

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第五章 一元函数的导数及其应用

《5.1.1变化率问题》教学设计

第2课时

1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.

2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．

教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法

教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念

PPT课件．

【新课导入】

问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：

（1）本节将要探究哪类问题？

（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？

师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．

预设的答案：

（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．

（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．

设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．

问题2：什么叫直线与圆相切？

师生活动：学生回顾并回答．

预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？

设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课． ◆ 教学过程 ◆ 课前准备 ◆ 教学重难点

◆ ◆ 教学目标 【探究新知】

知识点1：曲线在某点处的切线

我们以抛物线f（x）=x2为例进行研究．

问题3：如何定义抛物线2()fxx在点0(11)P，处的切线？

师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()fxx在点0(11)P，处的切线，我们通常在点0(11)P，的附近任取一点2()Pxx，，考察抛物线2()fxx的割线0PP的变化情况.

2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义教案 新人教A版选修2-2.doc

2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义教案 新人教A版选修2-2.doc

2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义教案 新人教A版选修2-2

教学目标：

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2．理解曲线的切线的概念；

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率、割线的斜率

（二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数0()fx的几何意义是什么呢？

二．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当(,())(1,2,3,4)nnnPxfxn沿着曲线()fx趋近于点00(,())Pxfx时，割线nPP的变化趋势是什么？

图3.1-2 我们发现,当点nP沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线nPP趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx,当点nP沿着曲线无限接近点P时，nk无限趋近于切线PT的斜率k，即0000()()lim()xfxxfxkfxx

说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在0xx处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.