全国通用高考数学大一轮复习第七篇立体几何与空间向量第6节空间向量的运算及应用习题理05260138

1 第6节 空间向量的运算及应用

【选题明细表】

知识点、方法 题号

夹角和距离

5,8

空间向量的线性运算

3,4,7

空间向量的坐标运算及数量积

2,6,9,10,11

综合问题

1,12,13,14,15,16

基础对点练(时间:30分钟)

1.已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b不能构成空间基底的向量是( C )

(A) (B)

(C)

(D)或

解析:根据题意得=(a-b),所以,a,b共面.构成空间向量基底的向量不共面.所以选C.

2.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于( B )

(A)(0,3,-6) (B)(0,6,-20)

(C)(0,6,-6) (D)(6,6,-6)

解析:由b=x-2a,得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).

3. 如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且分MN所成的比为2,现用基向量,,表示向量,设=x+y+z,则x,y,z的值分别是( D )

(A)x=,y=,z= (B)x=,y=,z= 2 (C)x=,y=,z= (D)x=,y=,z=

解析:设=a,=b,=c,

因为G分MN所成的比为2,

所以=,

所以=+=+(-)

=a+(b+c-a)

=a+b+c-a

=a+b+c.

4. 如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( A

)

(A)-a+b+c (B)a+b+c

(C)-a-b+c (D)a-b+c

解析:=+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c. 3 5.(2016·福州质检)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=,N为B1B的中点,则||为( A )

(A)a (B)a

(C)a (D)a

解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,

则A(a,0,0),C1(0,a,a),

N(a,a,).

设M(x,y,z).

因为点M在AC1上且=,

所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),

所以x=a,y=,z=.

所以M(,,),

所以||=

=a.

故选A. 4 6.(2016·西安质检)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为( C )

(A)a2 (B)a2

(C)a2 (D)a2

解析:·=(+)·=(·+·)=(a2cos 60°+a2

cos 60°)=a2.选C.

7.已知G是△ABC的重心,O是空间与G不重合的任一点,若++=λ,则λ等于( B )

(A)1 (B)3 (C) (D)2

解析:若设BC边的中点为M,则++=+2=++2=+2+2=3,所以λ=3.

8. 如图,在大小为45°的二面角AEFD中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是( D

)

(A) (B)

(C)1 (D)

解析:因为=++,所以||2=||2+||2+||2+2·+

2·+2·=1+1+1-=3-,故||=.

9.导学号 18702390在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1, 5 6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为 .

解析:由题意知·=0,||=||,

又=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6),

所以

解得x=2.

答案:2

10.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是

.

解析:设P(x,y,z),

所以=(x-1,y-2,z-1),

=(-1-x,3-y,4-z),

由=2得点P坐标为(-,,3),

又D(1,1,1),

所以||=.

答案:

11.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动,当·取最小值时,点Q的坐标是 .

解析:由题意,设=λ,

即=(λ,λ,2λ),

则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ), 6 所以·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-)2-,当λ=时有最小值,此时Q点坐标为(,,).

答案:(,,)

能力提升练(时间:15分钟)

12.导学号 18702391A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·

=0,·=0,·=0,M为BC的中点,则△AMD是( C )

(A)钝角三角形 (B)锐角三角形

(C)直角三角形

(D)不确定

解析:因为M为BC的中点,

所以=(+).

所以·=(+)·

=·+·=0.

所以AM⊥AD,△AMD为直角三角形.

13. 导学号 18702393如图所示,已知空间四边形OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC=,则cos<,>的值为 .

解析:设=a,=b,=c,

由已知条件==, 7 且|b|=|c|,

·=a·(c-b)=a·c-a·b

=|a||c|-|a||b|=0,

所以⊥,

所以cos<,>=0.

答案:0

14.导学号 18702392已知a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),

B(-2,-2,2).

(1)求|2a+b|;

(2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥b?(O为原点)

解:(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),

故|2a+b|==5.

(2)令=t(t∈R),

所以=+=+t

=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),

若⊥b,则·b=0,

所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=.

所以-3+t=-,-1-t=-,4-2t=,

因此存在点E,使得⊥b,此时E点的坐标为(-,-,). 8 15.导学号 18702394正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.

证明: 如图所示,取BC的中点O,连接AO.

因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.

取B1C1的中点O1,以O为原点,以,,为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,

),B1(1,2,0).=(-1,2,),=(-2,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),因为n⊥,n⊥,

故⇒

令x=1,得y=2,z=-,

故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量.

而=(1,2,-),

所以∥n.

故AB1⊥平面A1BD.

16. (2016·青岛模拟)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角A1-ABC是直二面角.

9 求证:(1)A1B1⊥平面AA1C;

(2)AB1∥平面A1C1C.

证明: 因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,

所以AA1⊥平面BAC.

又因为AB=AC,BC=AB,

所以∠CAB=90°,

即CA⊥AB,

所以AB,AC,AA1两两互相垂直.

建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,

设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).

(1)=(0,2,0),=(0,0,-2),=(2,0,0),

设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z),

则即

即取y=1,则n=(0,1,0).

所以=2n,

即∥n.

所以A1B1⊥平面AA1C.

(2)易知=(0,2,2),=(1,1,0),=(2,0,-2),

设平面A1C1C的一个法向量m=(x1,y1,z1),

则

即 10 令x1=1,则y1=-1,z1=1,

即m=(1,-1,1).

所以·m=0×1+2×(-1)+2×1=0,

所以⊥m,

又AB1⊄平面A1C1C,

所以AB1∥平面A1C1C.

好题天天练

导学号 18702395已知向量p=+,其中a,b均为非零向量,则|p|的取值范围是

.

解题关键:正确理解向量的模以及正确运用绝对值不等式.

解析:因为,分别表示与a,b同向的单位向量,

又|||-|||≤|+|≤||+||,

所以|p|的取值范围是[0,2].

答案:[0,2]