3 线性方程组解法2

线性方程组的解（续1）
求逆运算和行列式计算由于运算量大，实 际求解过程中基本不使用，仅作为理论上 的定性讨论 克莱姆法则在理论上有着重大意义，但在 实际应用中存在很大的困难，在线性代数 中，为解决这一困难给出了高斯消元法 还有三角分解法和迭代求解法

11.03.2019 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲

11.03.2019 华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
3.4 高斯消去法和选主元（续1）

考虑一个简单的例子：
3x 1 2x 2 7 4x 1 x 2 1

求解第二个方程，得
x2 5

第二个方程减去第 一个方程除以3再乘 以4得到的新方程， 得到新的方程组：
3x 1 2x2 7 5 25 x2 3 3
上三角线性方程组的求解（续1）
(2) 式可简写成 u11 U
11.03.2019
U x b ， 其中
u12 u1n u 22 u 2 n u nn
华南师范大学数学科学学院 谢骊玲
3.4 高斯消去法和选主元
求解有N个方程和N个未知数的一般方程组 AX=B的一般做法：构造一个等价的上三角 方程组UX=Y，并利用回代法求解 如果两个N×N线性方程组的解相同，则称 二者等价 对一个给定方程组进行初等变换，不会改 变它的解
2 x1 x2 4 x3 16 1 x2 5x3 -14 2 x1 3x2 3x3 16
2 x1 x 2 4 x3 16 1 x 2 5 x3 -14 2 5 x 2 x3 8 2
11.03.2019
2x1 x2 4x3 16 x2 10x3 -28 26x3 78

第三章 线性方程组本章说明与要求:本章主要介绍线性方程组的基本概念以及求解线性方程组的消元法，并由此引出矩阵及其初等变换的有关概念．讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，对于线性方程组(I )，需要研究以下两个问题：(1) 怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？(2) 方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？。

本章重点：解线性方程组；线性方程组解的判定.。

本章难点：用矩阵的初等变换解线性方程组；线性方程组解的判定.§1 线性方程组的消元法解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上是解一般n 元线性方程组的最有效的方法．下面通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组．例1．求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212253321321321x x x x x x x x x(1)解：交换第一、三两个方程的位置： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=--2531252321321321x x x x x x x x x第一个方程乘以(–1)加于第二个方程，第一个方程乘以(–3)加于第三个方程，得：⎪⎩⎪⎨-=+-=+1385433232321x x x x第二个方程乘以(–5)加于第三个方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=--774352332321x x x x x x(2) 第三个方程乘以(–71)，求得x 3=–1，再代入第二个方程，求出x 2=–1，最后求出x 1=2．这样就得到了方程组(1)的解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==112321x x x方程组(2)称为阶梯形方程组．如果在本例中，把原方程组中的第一个方程改为2x 1–3x 2+ x 3=6，得到一个新的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212632321321321x x x x x x x x x(3)用类似的方法，可以把方程组化为 ⎩⎨⎧-=+=+-431232321x x x x x (4)即 ⎩⎨⎧--=--=32313453x x x x 显然，此方程组有无穷多个解．如果在本例中，把原方程组的第一个方程改为2x 1–3x 2+ x 3=5，作出新的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212532321321321x x x x x x x x x(5)用类似的方法，可得到⎪⎩⎪⎨-=-=+104332321x x (6)显然方程组无解． 上面的方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解．分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，也只是由以下三种基本的变换所构成：1. 交换方程组中某两个方程的位置；2. 用一个非零数乘某一个方程；3. 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程．方程组(I)的全部解称为(I)的解集合．如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组．现在证明：初等变换把方程组变成与它同解的方程组．考虑线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)我们只对第三种变换来证明．为简便起见，不妨设把第二个方程乘以数k 后加到第一个方程上，这样，得到新方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=++++++mn mn m m n n n n n b x a x a x a b x a x a x a kb b x ka a x ka a x ka a 22112222212121212221212111)()()( (I ' ) 设x i =c i (i =1，2，…，n )是(I)的任意一个解．因(I)与(I ' )的后m –1个方程是一样的，所以，x i =c i (i =1，2，…，n )满足(I ' )的后m –1个方程 ．又x i =c i (i =1，2，…，n )满足(I)的前两个方程，所以有⎩⎨⎧=+++=+++22222211211122121111b x c a x c a x c a b x c a x c a x c a n n n n n n 把第二式的两边乘以k ，再与第一式相加，即为21212221212111)()()(kb b c ka a c ka a c ka a n n n +=++++++这说明x i =c i (i =1，2，…，n )又满足(I')的第一个方程，故x i =c i (i =1，2，…，n )是(I')的解．类似地可以证明(I ')的任意一个解也是(I)的解，这就证明了(I) 与(I ')是同解的．容易证明另外两种初等变换，也把方程组变成与它同解的方程组．下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组．对于方程组(I)，首先检查x 1的系数．如果x 1的系数a 11， a 21， … ， a m 1全为零，那么方程组(I)对x 1没有任何限制，x 1就可以任意取值，而方程组(I)可看作x 2， …， x n 的方程组来解．如果x 1的系数不全为零，不妨设a 11≠0不等于零，否则可利用初等变换1，交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x 1的系数不为零．然后利用初等变换3，分别把第一个方程的)(111a a i -倍加到第i 个(i =2，3，…， m )方程，于是方程组(I)变成 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+++m n mn m n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a 222222*********(Ⅱ) 其中 n j m i a a a a a j i ij ij ,,2 ,,,2 ,'1111⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-= 显然方程组(Ⅱ)与(Ⅰ)是同解的．对方程组(Ⅱ)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组．为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=++++=++++++000001222222111212111r r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c (Ⅲ)其中c ii ≠0， i =1，2，…，r ．方程组(Ⅲ)中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解．我们知道，(I)与(Ⅲ)是同解的，根据上面的分析，方程组(Ⅲ)是否有解就取决于第r +1个方程0 = d r +1是否矛盾，于是方程组(I)有解的充分必要条件为d r+1= 0．在方程组有解时，分两种情形：1) 当r =n 时，阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n d x c d x c x c d x c x c x c 2222211212111 (Ⅳ)其中c ii ≠0， i =1，2，…， n ．由克莱姆法则(Ⅳ)有唯一解，从而(I)有唯一解．例如 前面讨论过的方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212253321321321x x x x x x x x x经过一系列的初等变换后，变为阶梯形方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=--774352332321x x x x x x这时方程的个数等于未知量的个数，方程组的唯一解是⎪⎩⎪⎨⎧-=-==112321x x x2) 当 r <n 时，这时阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++++=++++++++++++211221122222111111212111d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c x c x c n rn r rr r rr n n r r r r n n r r r r其中 c ii ≠0， i =1，2，…， r ， 写成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=++---=+++++++++n rn r rr r rr n n r r r r n r r n r r x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c 112211222222111111212111(Ⅴ)当x r+1，…，x n 任意取定一组值，就唯一确定出x 1，…，x r 值，也就是定出方程组(Ⅴ)的一个解，一般地，由(Ⅴ)可以把x 1，x 2…，x r 的值由x r+1，…，x n 表示出来．这样表示出来的解称为方程组(I)的一般解，因x r+1，…，x n 可以任意取值，故称它们为自由未知量．显然，(Ⅴ)有无穷多个解，即(I)有无穷多个解．如上面讨论过的方程组(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212632321321321x x x x x x x x x经过一系列的变换后，得到阶梯形方程组⎩⎨⎧-=+=+-431232321x x x x x 将x 1，x 2用x 3表示出来即有⎩⎨⎧--=--=32313453x x x x 这就是方程组(3)的一般解，而x 3是自由未知量．用消元法解线性方程组的过程，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0 = 0”，则将其去掉．如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多个解．当线性方程组(1)中的常数项b 1= b 2=…= b m = 0时，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a(Ⅵ)称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组是一定有解的．因为x 1= x 2=…= x n =0就是它的一个解．这个解称为齐次方程组的零解．我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理．定理 在齐次线性方程组(Ⅵ)中，如果m<n ，则它必有非零解．证明：因为(Ⅵ)一定有解，又r ≤m<n ，所以它有无穷多个解，因而有非零解．§2 线性方程组有解判别定理从消元法解线性方程组的过程中可看到，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．因此，在用消元法解线性方程组时，为了书写简便起见，可以只写出方程组的系数和常数项．通常把方程组(I)的系数和常数项写成下列表格的形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211表中的第i 行代表方程组(I)的第i 个方程，第j 列表示x j 的系数，最后一列表示常数项．这个表称为线性方程组(I)的增广矩阵．去掉最后一列，得到另一个表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211它称为线性方程组的系数矩阵．已知用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是1) 交换矩阵的某两行的位置；2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行；3) 用一个数乘某一行后加到另一行上．这三种变换称为矩阵的初等行变换．类似地，有1’) 交换矩阵的某两列的位置；2’) 用一个非零的数去乘矩阵的某一列；3’) 用一个数乘某一列后加到另一列上．1’) ，2’) ，3’)称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵．这一节我们利用矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(1)的系数矩阵和增广矩阵分别为A 和A ， 即 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211， A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211． 定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r (A )=r (A )证：必要性如果方程组(1)有解，则β可由α1，α2，…，αn 线性表出，从而向量组α1，α2，…，αn ，β 可由α1，α2，…，αn 线性表出．又显然α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是 {α1，α2，…，αn }≅{α1，α2，…，αn ，β}．所以 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，因此 r (A )=r (A )充分性 若 r (A )=r (A )，则有 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，又向量组 α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是由§4的定理4知{}n ααα,,,21 ≅{}βααα,,,,21n ，因此β可由n ααα,,,21 线性表出，这就表明线性方程组(1)有解．此定理与前面§1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1222221111211r r rn rr n r n r d d c c d c c c d c c c c 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 222221111211r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c其中c ii ≠0，i =1，2，…， r ，d r+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当d r+1≠0时，r (A )≠r (A )，方程无解；当d r+1=0时，r (A )＝r (A )，方程组有解．例1 判断方程组有解还是无解．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++=+--72512420563432143214321x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→----→---=5000011216700563172432140112167005631712151241205631A 显然，r (A )=3，而r (A )=2，所以方程组无解．下面讨论线性组在有解的条件下解的情况．设线性方程组(1)有解，则r (A )=r (A )=r ，因而A 必有一个r 阶子式D ≠0(当然它也是A 的不为零的r 阶子式)．为方便叙述起见，不妨设D 位于A 的左上角．显然这时D 所在的行是A 的一个极大无关组，第r +1， r +2， …， m 行都可由它们线性表出．因此方程组(1)与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++r n rn r r n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(2)同解．当r =n 时，由克拉默法则，方程组(2)有唯一解，即线性方程组有唯一解． 当r<n 时，把方程组(2)改写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=+++---=+++---=+++++++++n rn r r r r r rr r r n n r r r r n n r r r r x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a 112211212222222121111111212111 (3)此方程组作为x 1，x 2，…，x r 的方程组时，其系数行列式正是D ，而D ≠0，由克拉默法则，对于x r+1，x r+2，…，x n 的任意一组值，方程组(3)都有唯一解，也就是方程组(1)都有唯一解．x r+1，x r+2，…，x n 就是方程组(1)的一组自由未知量．对于(3)用克拉默法则，可解出x 1，x 2，…，x r ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++'+'='++'+'='++'+'=++++++n rn r rrr r n n r r n n r r x c x c d x x c x c d x x c x c d x 11211222111111 (4)这就是线性方程组(1)的一般解．从上面的讨论可得：定理2 当线性方程组有解时，(1) 若r (A )=r =n ，则方程组有唯一解．(2) 若r (A )=r<n ，则方程组有无穷多解．例2 求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-1223223553132432143214321x x x x x x x x x x x x解：对增广矩阵A 作初等行变换化为阶梯形矩阵→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=104101041011321122322355311321A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000001041011501000001041011321由于r (A )=r (A )=2<4，所以方程组有解无穷多解，而且方程的全部解为⎩⎨⎧+-=++-=424314151x x x x x x 3、x 4为自由未知量．对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A 与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．推论1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩r (A )=r<n ． 推论2 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数行列式D =0 例3 λ取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++0)3()1(30)1(02)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλ 有非零解？并求其一般解．解：计算系数行列式λλλλλλλλλλλλλλλλλλ 0 0 1 1 0 21 1 1 0 1 1 02 1 31 1 02 13 )1(31 1 2 1 3-=+--=+-=++-+=D =λ2(λ–1)令D =０，知λ=0或 λ=1时，方程组有非零解．(1) 当λ=０时，易求得一般解为⎩⎨⎧=-=3231x x x x x 3为自由未知量．(2) 当λ=1时，易求得一般解为⎩⎨⎧=-=32312x x x x x 3为自由未知量．思考题：1. 当λ为何值时，下述齐次线性方程组有非零解？并且求出它的一般解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ 2. 当a 与b 取什么值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231 有解？在有解的情况下，求它的一般解．§3 线性方程组的应用线性方程组是线性代数的核心内容之一，它不仅可以广泛地应用于科学、工程计算和统计分析等领域，同时也应用于财经类的后继课程. 很多实际问题的处理最后也往往归结为比较容易处理的线性方程组的问题, 由于数学软件的优化普及, 使线性方程组能够更好地解决我们现实中的问题. 本节将简要介绍线性方程组在几何学、运筹学、经济学等方面的基本应用.一、在解析几何中的应用解析几何是数与形的有机结合, 它将几何体用代数形式巧妙的表示出来, 然后通过研究代数方程的相关性质, 从而揭示几何图形的内在本质. 例1 已知平面上三条不同直线的方程分别为1L ：230ax by c ++=,2L ：230bx cy a ++=, 3L ：230cx ay b ++=,试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.证 必要性 设三直线1L , 2L , 3L 交于一点, 则线性方程组232323ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩(1) 有唯一解, 故系数矩阵222a b A b c c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与增广矩阵232323a b c A b c a c a b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩均为2, 于是det()0A =, 即22223det()236()()23ab cA bc a a b c a b c ab ac bc cab-=-=++++----=0, 所以0a b c ++=.充分性 由0a b c ++=, 则从必要性的证明可知, det()0A =, 故()3r A <. 而22222132()2[()]2[()]0224a bac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠,因此()()2r A r A ==. 所以线性方程组(1)有唯一解, 即三直线1L ,2L ,3L 交于一点. 例2 要使得平面上三点()111,x y P , ()222,x y P , ()333,x y P 在同一条直线上, 则需满足什么条件？解 三点位于平面同一条直线上, 不妨令直线为0ax by c ++=, ,,a b c 不全为零. 三点坐标满足齐次线性方程组112233000ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 从而有以,,Y X Z 为未知量的方程组112233000x Yy x Yy x Yy X ++Z =⎧⎪X ++Z =⎨⎪X ++Z =⎩ 存在非零解 ,,a Y b Z c X ===； 由线性方程组解的判别方法可知：齐次线性方程组有非零解等价于1122331131x y r x y n x y ⎛⎫⎪<= ⎪ ⎪⎝⎭(n 为未知量的个数)； 因此, 平面上三点,()i i i x y P (1,2,3i =)在1122331131x y r x y n x y ⎛⎫⎪<= ⎪ ⎪⎝⎭条件下共线. 二、在运筹学中的应用在运筹学中, 很多问题往往要用到线性方程组中的知识去运算求解．例3 有三个生产同一产品的工厂1A 、2A 和3A , 其年产量分别为40吨、20吨和10吨, 该产品每年有两个用户1B 和2B , 其用量分别为45吨和25吨, 由各产地i A 到各用户j B 的距离ij C (千米), 如下表所示(1,2,3,1,2i j ==). 各厂的产品如何调配才能使运费最少？(按每吨产品每千米的运费为1元计算)解 为了解决这个问题, 我们假设各厂i A 调运到各用户j B 的产品数量为ij x (1,2,3,1,2i j ==).容易看出, 三个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等, 所以对产地来说产品应全部调出, 因此有111240x x +=, (2)212220x x +=, (3) 313210x x +=, (4)同时对用户来说调来的产品刚好是所需要的, 因此又有11213145x x x ++=, (5) 12223225x x x ++=, (6)以上方程(2)-(6)就是ij x 应满足的一些条件． 要使运费最小, 即使得112131122232455892587236s x x x x x x =+++++达到最小.于是, 题目要解决的问题是：如何选择非负数ij x ,1,2,3,1,2i j ==, 使之满足(2)-(6), 而是总运费s 最小.三、在经济学中的应用例4 假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配见下表, 每一列中的元素表示占该行业总产出的比例. 以第二列为例, 能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业, 10%分配到机械行业, 余下的供本行业使用. 因为考虑了所有的产出, 所以每一列的小数加起来必须等于 1. 把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格(即货币价值)分别用123,,p p p 表示. 试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格.产出分配购买者五金化工 能源 机械 0.2 0.8 0.4 五金化工 0.3 0.1 0.4 能源 0.50.10.2机械假设一个国家的经济分为很多行业, 例如制造业、通讯业、娱乐业和服务行业等. 我们知道每个部门一年的总产出, 并准确了解其产出如何在经济的其它部门之间分配或“交易”.把一个部门产出的总货币价值称为该产出的价格(price). 我们有如下结论： 存在赋给各部门总产出的平衡价格, 使得每个部门的投入与产出都相等.解 表可以看出, 沿列表示每个行业的产出分配到何处, 沿行表示每个行业所需的投入. 例如, 第1行说明五金化工行业购买了80%的能源产出、40%的机械产出以及20%的本行业产出, 由于三个行业的总产出价格分别是123,,p p p , 因此五金化工行业必须分别向三个行业支付1230.2,0.8,0.4p p p 元. 五金化工行业的总支出为1230.20.80.4p p p ++. 为了使五金化工行业的收入1p 等于它的支出, 因此希望11230.20.80.4p p p p =++.采用类似的方法处理上表中第2、3行, 同上式一起构成齐次线性方程组1123212331230.20.80.40.30.10.40.50.10.2p p p p p p p p p p p p=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 该方程组的通解为1233 1.4170.9171.000p p p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 此即经济系统的平衡价格向量, 每个3p 的非负取值都确定一个平衡价格的取值. 例如, 我们取3p 为 1.000亿元, 则1 1.417p =亿元，20.917p =亿元. 即如果五金化工行业产出价格为1.417亿元， 则能源行业产出价格为0.917亿元, 机械行业的产出价格为1.000亿元, 那么每个行业的收入和支出相等. 在研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组. 例如, 城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售, 许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程．例5 下图给出了某城市部分单行道的交通流量（每小时过车数）．假设 (1) 流入网络的流量等于全部流出网络的流量；(2) 全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量. 请确定该交通网络未知部分的具体流量.100x x解 首先写出表示流量的线性方程组, 然后求出方程组的通解. 图中各节点的流入量和流出量见下表：网络节点 流入量流出量A 24x x + 1300x +B 100400+ 26x x +C 7200x +3400x +D 300500+ 45x x +E 56x x +200600+F 400600+ 78x x +G 300600+ 9500x +H 9200x + 10xJ 10500x +400700+整个系统20001381000x x x +++根据假设(1)和(2), 经过简单整理, 可得到该网络流系统满足的线性方程组为124263745567891013830050020080080010004006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪+=⎪⎪-+=⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪=⎪⎪=⎪⎪++=⎩ 交通流量模式(即方程组的通解)为124385464789102005008008001000400600x x xx x x x x x x x x x =⎧⎪=-⎪⎪=-⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎪=⎪⎪=⎩,48,x x 是自由变量.。

3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。

有解时再化为行最简形求解。

(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。

(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。

2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。

3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。

例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。

1 br ,1 00 00
00
b1, n r b2 , n r
br ,nr 0 0
0
dd11
dd22
B 对应的线性方程组为
ddrn
d
r
01
x1 d1 ,
x2
d2,
00
00
m( n1)
xn dn .
前前nr 列
后n-r列
第二步：往证 R(A) = R(A, b) = n 唯一解． 若 R(A) = R(A, b) = n， 则 dr+1 = 0 且 r = n，从而 bij 都不出现. 故原线性方程组有唯一解．
第3章 线性方程组的解
3.1 线性方程组解的判定
一、线性方程组的表达式
1. 一般形式
3
x1 x1
4x2 x3 x2 2x3
5 1
2. 增广矩阵的形式
3 4 1 5
1
1
2 1
3. 向量方程的形式
4. 向量组线性组合的形式
3
1
4 1
1
2
x1 x2 x3
5 1
方程组可简化为 AX = b ．
9
0
0
00
0
R(A) = R(A, b) = 3 < 4，故原线性方程组有无穷多解．
2 1 1 1 2 1 0 1 0 4
解（续）：
B
1
1 2
1
4
r
~
0
1
1
0
3
4 6 2 2 4 0 0 0 1 3
3
6 9
7
9
0
0
00
0
即得与原方程组同解的方程组
x1