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求解线性方程组的直接解法5.2LU分解① Gauss消去法实现了LU分解顺序消元结束时的上三角矩阵U和所用的乘数,严格下三角矩阵。
将下三角矩阵的对角元改成1,记为L,则有A=LU,这事实是一般的,我们不难从消去的第k个元素时的矩阵k行及k列元素的历史得到这一点.因为从消元的历史有u kj=a kj-m k1u1j- m k2u2j -…- m k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,nm ik=(a ik-m i1u1k- m i2u2k -…-m i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n于是a kj=m k1u1j+m k2u2j+…+m k,k-1u k-1,j+u kj, j=k,k+1,…,na ik=m i1u1k+m i2u2k+…+m i,k-1u k-1,k+m ik u kk i=k+1,k+2,…,n从前面两个式子我们可以直接计算L和U(见下段>.将矩阵分解为单位下三角矩阵和上三角矩阵之积称为矩阵的LU分解.顺序消元实现了LU分解,同时还求出了g, Lg=b的解.②直接LU分解上段我们得到(l ij=m ij>u kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,j, j=k,k+1,…,nl ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kk i=k+1,k+2,…,n2诸元素对应乘积,只不过算L的元素时还要除以同列对角元.这一规律很容易记住.可写成算法(L和U可存放于A>:for k=1:n-1for j=k:nu kj=a kj-l k1u1j-l k2u2j -…- l k,k-1u k-1,jendfor i=k+1:nl ik=(a ik-l i1u1k-l i2u2k -…-l i,k-1u k-1,k>/u kkendend这一算法也叫Gauss消去法的紧凑格式,可一次算得L,U的元素,不需逐步计算存储.考察上面的表格会发现还可安排其它计算次序,只要在这一次序下每个元素左边的L的元素与上方的U的元素已计算在先。
数值分析第三章线性方程组解法在数值分析中，线性方程组解法是一个重要的主题。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中未知数的次数只为一次。
线性方程组的解法包括直接解法和迭代解法两种方法。
一、直接解法1.1矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
这种方法将方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
1.2LU分解法LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
这种方法可以减少计算量，提高计算效率。
1.3 Cholesky分解法Cholesky分解法是对称正定矩阵进行分解的一种方法。
它将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和它的转置的乘积，然后通过解两个三角方程组求解线性方程组。
Cholesky分解法适用于对称正定矩阵的求解，具有较高的精度和稳定性。
二、迭代解法2.1 Jacobi迭代法Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过分解系数矩阵A为一个对角矩阵D和一个余项矩阵R，然后通过迭代更新未知数的值，直至达到一定精度要求为止。
Jacobi迭代法简单易懂，容易实现，但收敛速度较慢。
2.2 Gauss-Seidel迭代法Gauss-Seidel迭代法是一种改进的Jacobi迭代法。
它通过使用新计算出的未知数值代替旧的未知数值，达到加快收敛速度的目的。
Gauss-Seidel迭代法是一种逐步逼近法，每次更新的未知数值都会被用于下一次的计算，因此收敛速度较快。
2.3SOR迭代法SOR迭代法是一种相对于Jacobi和Gauss-Seidel迭代法更加快速的方法。
它引入了一个松弛因子，可以根据迭代的结果动态地调整未知数的值。
SOR迭代法在理论上可以收敛到线性方程组的解，而且收敛速度相对较快。
三、总结线性方程组解法是数值分析中的一个重要内容。
直接解法包括矩阵消元法、LU分解法和Cholesky分解法，可以得到线性方程组的精确解。
数值分析小论文线性方程组的直接解法线性方程组的直接解法是指通过一系列的代数运算直接求解线性方程组的解。
线性方程组是数值分析中非常重要的问题，广泛应用于工程、科学、计算机图形学等领域。
在线性方程组的直接解法中，最常用的方法是高斯消元法，它是一种基于矩阵变换的方法。
高斯消元法将线性方程组表示为增广矩阵，并通过一系列的行变换将增广矩阵转化为行阶梯形矩阵，从而得到方程组的解。
高斯消元法的主要步骤包括消元、回代和得到方程组的解。
消元是高斯消元法的第一步，通过一系列的行变换将增广矩阵的元素转化为上三角形式。
在消元过程中，我们首先找到主元素，即矩阵的对角线元素，然后将其它行的元素通过消元操作转化为0，从而使得矩阵逐步变成上三角形矩阵。
回代是高斯消元法的第二步，通过一系列的回代操作求解线性方程组。
回代操作是从上三角形矩阵的最后一行开始，通过依次求解每个未知数的值，最终得到方程组的解。
高斯消元法的优点是算法简单易于实现，可以在有限的步骤内求解线性方程组，适用于一般的线性方程组问题。
但是高斯消元法也存在一些问题，例如当矩阵的主元素为0时，无法进行消元操作，此时需要通过行交换操作来避免这种情况。
另外，高斯消元法对病态矩阵的求解效果较差，容易引起舍入误差累积，导致解的精度下降。
在实际应用中，为了提高求解线性方程组的效率和精度，人们常常使用一些改进的直接解法，例如列主元高斯消元法和LU分解法。
列主元高斯消元法通过选择最大主元来避免主元为0的情况，进一步提高了求解线性方程组的精度。
LU分解法将矩阵表示为两个矩阵的乘积，从而将线性方程组的求解问题转化为两个三角形矩阵的求解问题，提高了求解效率。
综上所述，线性方程组的直接解法是一种基于矩阵变换的方法，通过一系列的代数运算求解线性方程组的解。
高斯消元法是最常用的直接解法之一，它简单易于实现，适用于一般的线性方程组问题。
在实际应用中，可以通过改进的直接解法来进一步提高求解效率和精度。
线性方程组的直接解法程序设计一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过消元和回代的方式，将线性方程组转化为上三角形式，进而求解未知数的值。
程序设计步骤如下：1.读入线性方程组的系数矩阵A和常数向量b；2.进行初等行变换，将系数矩阵A转化为上三角矩阵U，并同时对常数向量b进行相应的变换；3.判断是否有唯一解，如果主对角线上存在零元素，则方程组无解；如果主对角线上所有元素都非零，则方程组有唯一解；4.进行回代计算，求解未知数的值。
高斯消元法的优点是简单直观，容易理解和实现。
但是在一些情况下，会出现主对角线上有零元素的情况，此时需要进行行交换，增加了额外的计算量。
二、LU分解法LU分解法是另一种常用的线性方程组直接解法。
它将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
程序设计步骤如下：1.读入线性方程组的系数矩阵A和常数向量b；2.进行LU分解，找到下三角矩阵L和上三角矩阵U；3.解第一个方程Ly=b，先求解向前替代方程，计算出y的值；4.解第二个方程Ux=y，再求解向后替代方程，计算出x的值。
LU分解法的优点是可以在多次需要解线性方程组的情况下重复使用LU分解的结果，提高计算效率。
但是LU分解法需要找到L和U的值，增加了额外的计算量。
三、数学实验在进行数学实验时，需要注意以下几点：1.线性方程组的系数矩阵应该是满秩的，以保证方程组有唯一解；2.对于大规模的线性方程组，可以使用稀疏矩阵存储和计算，减少内存和计算时间的消耗；3.在求解过程中，需要判断方程组是否有解，并且考虑特殊情况的处理；4.通过数学实验可以验证直接解法的正确性和有效性，分析计算结果的误差和稳定性。
综上所述，线性方程组的直接解法程序设计在计算方法和数学实验中都是重要的研究内容。
高斯消元法和LU分解法是常用的直接解法，通过编写程序并进行数学实验，可以深入理解和应用这些方法。
这些方法的有效性和稳定性对于解决实际问题具有重要意义。
第2章线性方程组的直接解法2.1实验目的理解线性方程组计算机解法中的直接解法的求解过程和特点，学习科学计算的方法和简单的编程技术。
2.2概念与结论1. n阶线性方程组如果未知量的个数为 n ,而且关于这些未知量x1,x2, …,x n的幂次都是一次的(线性的)那末, n 个方程a11x1+a12x2+ … +a1n x n=b1┆┆┆ (1)a n1x1+a n2x2+ … +a nn x n=b n构成一个含n个未知量的线性方程组,称为n阶线性方程组。
其中,系数a11,…,a1n,a21, …,a2n, …,a n1, …,a nn 和b1, …,b n都是给定的常数。
方程组(1)也常用矩阵的形式表示,写为Ax=b其中,A是由系数按次序排列构成的一个n阶矩阵,称为方程组的系数矩阵,x和b都是n维向量,b称为方程组的右端向量。
2. n阶线性方程组的解使方程组(1)中每一个方程都成立的一组数x1*,x2*, …,x n*称为式(1)的解,把它记为向量的形式,称为解向量.3.一些特殊的线性方程组1) 上三角方程组2) 三对角方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----nnnnnnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaaaaa212111121223221111312114.矩阵的Doolittle 分解5.Doolittle 分解的紧凑格式6．矩阵的Crout 分解⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n n n n n d d d x x x b a c b c b a c b a c b21211133322211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n nn n n n n u u u u u u l l l a a a a a a a a a222112112121212222111211111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111211221222111212222111211n n nn n n nn n n n n u u u l l l l l l a a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n nn n u l l l u u l l u u u l u u u u3213333231223222111312112.3程序中Mathematica 语句解释1．MatrixForm[a] 以矩阵的形式显示a2．Table[Random[Integer,{xa,xb}],{n}] 产生xa 到xb 之间的n 个随机整数的向量 3. x=Table[0,{n}] 定义变量x 为n 维向量 4. a=Table[0,{n},{n}] 定义变量a 为n ⨯n 矩阵5. Timing[expr] 给出计算表达式expr 所用的计算机时间2.4 方法、程序、实验解线性方程组的直接法是用有限次运算求出线性方程组 Ax=b 的解的方法。
线性方程组的直接法主要有Gauss 消元法及其变形、LU(如Doolittle 、Crout 方法等)分解法和一些求解特殊线性方程组的方法（如追赶法、LDLT 法等）。
这里只给出Gauss 消元法、Doolittle 分解法和追赶法的构造过程及程序。
1. Gauss 消元法1) Gauss 消元法的构造过程Gauss 消元法是一个古老的直接法,由它改进得到的选主元的消元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方程组的有效方法,它是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题的。
Gauss 消元法的求解过程可分为两个阶段:首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消去”过程;然后,用逆次序逐一求出三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,并称之为“回代”过程，其“消去”和“回代” 两个过程如下： 消去过程第一步: 设a 11≠0,取 m i1=-a i1/a 11 , 做(消去第i 个方程组的x 1)操作： m i1⨯第一个方程+第i 个方程 i=2,3,…n则第i 个方程变为第一步消元后的方程组变为)1()1(2)1(1)1(21i n b x a x a x a ini i =+++ iiij ij i i i j i ij ijb b a a b m b b a m a a ==+=+=)0()0()0(11)0()1()0(11)0()1(,,,第二步，考虑后n-1个方程组消除变量x 2 ，以此类推，经过n-1步消元，就得到与第一个线性方程组同解的上三角方程组： 回代过程为求解如上三角方程组，先从最后一个方程解出x n 再依次解出x n-1，x n-2,⋅⋅⋅⋅ , x 1 ，从而求出线性方程组的解。
Gauss 消元法的计算量为 n 3/3+n 2-n/3。
2) Gauss 消元法算法1.输入变量个数n 、系数矩阵A 、常数项b 2 For i=1,2,…,n-12.1 如果|a ii |<eps1,则输出“Gauss 消元失败”提示并终止 2.2 For I=k+1,k+2,n 2.2.1 a ik ⇐ -a ik /a kk2.2.2 a ij ⇐a ij +a ik *a kj ( j=k+1,k+2,…,n)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+++)1()1(2)1(2)1(2)1(22)1(22)0(1)0(12)0(121)0(11n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a nk k j i b m b b a m a a a a m n k k k b a b x a b x a x a b x a x a x a k k ik k i k i k kj ik k ij k ijk kkk ik ik k ik ijn n n n nn n n n n,...,2,1,/1,,3,21,)1()1()()1()1()()1()1()()()1()1()1(2)1(22)1(2211212111++=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==++=+++-------- ，对计算公式为次消元后的系数，表示第的上标和其中2.2.3 b i ⇐b i +a ik *b k3. x n ⇐ b n /a nn注：如上算法中使用了节省存储单元的技术，其中利用a ik 替代算法中的m ik ，而a ij 替代算法中的a ij (k),k=0,1,2,…,n-1。
3) Gauss 消元法程序Clear[a,b,x];n= Input[“线性方程组阶数n=”]; a=Input["系数矩阵A="]； b=Input["常数项b="]； eps1=0.000000001; t=1;Do[If[Abs[a[[k,k]]]<eps1,Print["Gauss 消元失效"];t=0;Break[]]; Do[m=-a[[i,k]]/a[[k,k]];Do[a[[i,j]]=a[[i,j]]+m*a[[k,j]],{j,k+1,n}]; b[[i]]=b[[i]]+m*b[[k]], {i,k+1,n}], {k,1,n}]; x=Table[0,{n}];If[t==1,x[[n]]=b[[n]]/a[[n,n]];Do[x[[k]]=(b[[k]]-Sum[a[[k,j]]*x[[j]],{j,k+1,n}])/a[[k,k]], {k,n-1,1,-1}]];Print[“Ax=b 的解为 “ , x]∑+=-⇐--=nk j kkj kj k k a x a b x n n k For 1/)(1.41,,2,1.4说明本程序用于求线性方程组Ax=b的解。
程序执行后，先通过键盘输入线性方程组阶数n、系数矩阵A、常数项b，程序即可给出线性方程组Ax=b的解。
如果Gauss消元中出现主对角线元素a ii=0,程序中用|a ii|<eps1表示a ii=0,给出Gauss失效提示。
程序中变量说明a：存放系数矩阵A及用于Gauss消元的中间变量和矩阵x: 存放Ax=b的解b: 存放线性方程组Ax=b的常数项beps1:描述a ii=0的数，程序中用|a ii|<eps1描述a ii=0的数，上程序eps1取为10-8，它是可以自行设置的。
t:临时控制变量4) 例题与实验例1. 用Gauss消元法解如下线性方程组5x1+2x2+x3= -12-x1+4x2+2x3= 202x1-3x2+10x3= 3解：执行Gauss消元法程序后在输入的三个窗口中按提示分别输入:3、{{5, 2, 1}, {-1, 4, 2}, {2, -3, 10}}、{-12, 20, 3}每次输入后用鼠标点击窗口的“OK”按扭，得如下输出结果Ax=b的解为 {-4, 3, 2}此结果说明所求解为 x1=-4，x2=3，x3=2 。
为检验结果的正确性，输入命令：{{5, 2, 1}, {-1, 4, 2}, {2, -3, 10}}.{-4,3,2}得计算结果{-12, 20, 3}，说明计算结果正确。
例2．用Gauss消元法解如下线性方程组10-7x1+2x2+3x3+x4= 03x1+4x2+3x3+2x4= 12x1+3x2+4x3+2x4= -1x 1+2x 2+3x 3+4x 4= 0解：执行Gauss 消元法程序后在输入的三个窗口中按提示分别输入: 4、{{0.0000001,2,3,1},{3,4,3,2},{2,3,4,2},{1,2,3,4}}、{0,1,-1,0}} 每次输入后用鼠标点击窗口的“OK ”按扭，得如下输出结果 Ax=b 的解为 {-0.875, 1.66667, -1.20833, 0.291667}此结果说明所求解为 x 1=-0.875, x 2=1.66667, x 3=-1.20833, x 4=0.291667。
为检验结果的正确性，输入命令：{{0.0000001,2,3,1},{3,4,3,2},{2,3,4,2},{1,2,3,4}}. {-0.875, 1.66667, -1.20833, 0.291667} 得计算结果{-1.11022⨯10-16, 1., -1., 5.30894⨯10-9}显然它与正确的结果{0,1,-1,0}}有误差，只要用0取代其中的 -1.11022⨯10-16和5.30894⨯10-9就可以得到准确解。
本题计算说明用Gauss 消元法求线性方程组的解向量，有时得出的解并不是真正的准确解。
