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线性方程组的直接解法(16)分析

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线性方程组直接解法

线性方程组直接解法

14/87
算法 1.3 LU 分解
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8:
for k = 1 to n − 1 do for i = k + 1 to n do aik = aik /akk for j = k + 1 to n do aij = aij − aik akj end for end for end for
其中
li2 =
ai2
(1) (1)
, i = 3, 4, . . . , n.
a22
ln2 0 · · · 1
1 (1) 用 L− , 并将所得到的矩阵记为 A(2) , 则 2 左乘 A a11 a12 a13 (1) 0 a(1) 22 a23 0 0 a(2) 1 −1 −1 A(2) = L− 33 2 A = L2 L1 A = . . . . . . . . . (2) 0 0 an3
k=i+1
加上回代过程的运算量 O(n2 ), 总运算量为
2 3 n + O(n2 ) 3
12/87
† 评价算法的一个主要指标是执行时间, 但这依赖于计算机硬件和编 程技巧等, 因此直接给出算法执行时间是不太现实的. 所以我们通常 是统计算法中算术运算 (加减乘除) 的次数.
† 在数值算法中, 大多仅仅涉及加减乘除和开方运算. 一般地, 加减运 算次数与乘法运算次数具有相同的量级, 而除法运算和开方运算次 数具有更低的量级.
· · · a1n (1) · · · a2n (2) · · · a3n . .. . · · · ann
(2)
9/87
(k−1) • 依此类推, 假定 akk ̸= 0 (k = 3, 4, . . . , n − 1), 则我们可以构造一系 列的矩阵 L3 , L4 , . . . , Ln−1 , 使得 a11 a12 a13 · · · a1n (1) (1) 0 a(1) 22 a23 · · · a2n 0 0 a(2) · · · a(2) 1 −1 −1 L− · · · L L A = ≜ U → 上三角 33 3 n n−1 2 1 . . . .. . . . . . . . (n−1) 0 0 0 · · · ann

解线性方程组的直接方法

解线性方程组的直接方法

解线性方程组的直接方法一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一、它通过一系列的消元操作，将线性方程组转化为阶梯型方程组，从而求解未知数的值。

1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。

设线性方程组中有n个未知数。

2.将线性方程组写成增广矩阵的形式。

增广矩阵是一个n行n+1列的矩阵，其中前n列是线性方程组的系数矩阵，第n+1列是等号右边的常数。

3.通过初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将增广矩阵化为阶梯型矩阵。

具体步骤如下：a.首先，找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第一行。

b.将第一行的第一个非零元素（主元）变成1，称为主元素。

c.将主元所在列的其他元素（次元素）变为0，使得主元所在列的其他元素只有主元素是非零的。

d.再找到第一个非零元素所在的列，将它所在的行视为第二行，并重复上述步骤，直到将增广矩阵化为阶梯型矩阵。

4.根据阶梯型矩阵求解未知数的值。

具体步骤如下：a.从最后一行开始，依次求解每个未知数。

首先，将最后一行中非零元素所在的列作为含有该未知数的方程，将该未知数的系数设为1b.将含有该未知数的方程中其他未知数的系数设为0，并对其他方程进行相应的变换，使得该未知数所在列的其他元素都为0。

c.重复上述步骤，直到求解出所有未知数的值。

高斯消元法的优点是简单易懂、容易实现，但当线性方程组的系数矩阵接近奇异矩阵时，计算精度可能会降低。

二、矩阵求逆法矩阵求逆法是解线性方程组的另一种直接方法。

它通过对系数矩阵求逆，然后与常数矩阵相乘，得到未知数的值。

1.确定线性方程组的阶数和未知数的个数。

设线性方程组中有n个未知数。

2.将线性方程组写成矩阵方程的形式，即Ax=b，其中A是一个n阶方阵，x和b分别是n维列向量。

3.求系数矩阵A的逆矩阵A^-1a. 首先，计算系数矩阵A的行列式det(A)。

b. 判断det(A)是否为0，如果det(A)=0，则该线性方程组无解或有无穷多解；如果det(A)≠0，则系数矩阵A可逆。

解线性方程组的直接方法

解线性方程组的直接方法

(1.5)
消去法的回代过程是解上三角形方程组(1.5).我们从方程组(1.5)的第三个方 x3 6 / 6 1 ; 程解得 然后将它代入第二个方程得到
x2 ( 5 x3 ) / 3 2;
最后，将 x3 1, x2 2 代第一个方程得到
x1 (3 2 x2 3 x3 ) / 2 2.
②
（n＋1）n/2次运算
i 1 l11 bi lij x j l21 l22 j 1 A xi , i 1, , n lii l l l nn n1 n 2
③
（n＋1）n/2次运算
n u11 u12 u1n bi uij x j u22 u2 n j i 1 A x , i n, ,1 i uii u nn
1,2,...,n)
（ 1 .2 ）
Ax b,
a1n a2 n , ann
§1 1.1 Gauss 消去法 本章主要介绍求解线性方程组(1.1)的直接法。所谓直接法，就是不考虑 计算过程的舍入误差时，经有限次数的运算便可求得方程组准确解的方法.我 们还将在§5中对计算过程中的舍入误差作一些初步分析．
a11 a 21 A, b ... an 2
之间有一对应关系.不难看出:
a12 a22 ... an 2
... ... ... ...
a1n a2 n ... ann
b1 b2 ... bn
（1.3）
（1）交换矩阵(1.3)的第p,q两行(记作 的第p,q两个方程；

(1.8)
(1.9)
(1.9)式是消元过程的一般计算公式.式中作分母的元素

线性方程组的解法

线性方程组的解法

线性方程组的解法线性方程组是数学中常见的问题，它可以用于描述多个未知数之间的关系。

解决线性方程组的问题是求解未知数的具体取值，从而得到方程组的解。

本文将介绍几种常见的解线性方程组的方法。

一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的经典方法之一。

它通过矩阵变换的方式，将线性方程组转化为一个三角矩阵，从而简化求解过程。

以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中最后一列为常数项。

2. 选取一个非零元素作为主元，在当前列中将主元素所在的行作为第一行，然后通过初等行变换将其他行的主元素变为0。

3. 重复第2步，直到所有的主元素都变成1，并且每个主元素所在的列的其他元素都变为0。

4. 反向代入，从最后一行开始，依次回代求解未知数的值。

二、矩阵的逆矩阵法矩阵的逆矩阵法是利用矩阵的逆矩阵来求解线性方程组。

以下是逆矩阵法的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A可逆，将方程组两边同时左乘A的逆矩阵AI，得到x=A^(-1)b。

2. 通过求解矩阵A的逆矩阵来得到未知数向量x的值。

3. 如果矩阵A不可逆，那么线性方程组没有唯一解，可能有无穷多解或者无解。

三、克拉默法则克拉默法则是另一种解决线性方程组的方法，它利用行列式的性质来求解未知数的值。

以下是克拉默法则的步骤：1. 对于线性方程组Ax=b，令|A|=D，其中D表示矩阵A的行列式。

2. 分别计算将矩阵A的第i列替换为常数列b所得到的行列式|A_i|。

3. 未知数向量x的第i个分量可以通过x_i = |A_i|/D来得到。

克拉默法则的优点是简单直观，但是当方程组的规模很大时，计算行列式将变得非常复杂。

四、矩阵的广义逆法矩阵的广义逆法是一种应对方程组无解或者有无穷多解的情况的方法。

对于线性方程组Ax=b，如果矩阵A不可逆，我们可以通过求解广义逆矩阵A^+来得到一个特解x_0。

1. 分别计算A^+ = (A^T·A)^(-1)·A^T和x_0 = A^+·b。

线性方程组直接解法

线性方程组直接解法
线性规划
在求解线性规划问题时，高斯消元法 可以用于求解单纯形表中的方程组，
从而得到最优解。
矩阵求逆
通过高斯消元法可以将一个可逆矩阵 化为单位矩阵，从而求出其逆矩阵。
计算机图形学
在计算机图形学中，高斯消元法可以 用于求解三维变换矩阵，实现图形的 旋转、平移等操作。
2023
PART 03
克拉默法则
REPORTING
2023
PART 02
高斯消元法
REPORTING
高斯消元法的基本思想
通过对方程组的增广矩阵进行初等行 变换，将其化为行阶梯形矩阵，然后 逐步回代求解未知数。
高斯消元法的基本思想是将方程组中 的未知数逐一消去，从而得到一个易 于求解的三角形方程组。
高斯消元法的步骤
将方程组的增广矩阵写出来， 并对其进行初等行变换，化为 行阶梯形矩阵。
未来研究方向
高性能计算
随着计算资源的不断发展，研究如何 在高性能计算环境中更有效地应用直 接解法和迭代解法具有重要意义。
预处理技术
研究更有效的预处理技术，以 改善迭代解法的收敛性和稳定 性。
并行化与分布式计算
探索并行化和分布式计算技术 在解线性方程组中的应用，以 提高计算效率和可扩展性。
自适应算法
开发能够自适应地选择最合适 算法和参数的线性方程组求解 器，以提高求解效率和精度。
2023
THANKS
感谢观看
https://
REPORTING
从行阶梯形矩阵中，选取一个 主元，通过行变换将主元所在 的列的其他元素消为0。
重复上述步骤，直到所有未知 数都被消去，得到一个上三角 形方程组。
从上三角形方程组中，逐个回 代求解未知数。

第二章 线性方程组的直接解法

第二章 线性方程组的直接解法

a i(kk ) l ik = ( k ) a kk a ( k +1) = a ( k ) − l a ( k ) ij ik kj ij ( k +1) = 0 a ik b ( k +1) = b ( k ) − l b ( k ) i ik k i
( i = k + 1, ⋯ , n ) ( i , j = k + 1, ⋯ , n ) ( i = k + 1, ⋯ , n ) ( i = k + 1, ⋯ , n )
定理2 定理2.1 高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系 n- 阶顺序主子式不为零； Ax=b 能用高斯消元 数阵A的 数阵 A 的 1 到 n-1 阶顺序主子式不为零 ； Ax=b能用高斯消元 法解的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零 的各阶顺序主子式不为零. 法解的充要条件是 的各阶顺序主子式不为零.
(i=2,3,⋯,k) )
(i ) 显然, Di ≠ 0 ↔ a ii ≠ 0 , 可知,消元过程能进行到底的充 显然, 可知, 要条件是D 要条件是 i≠0 ,(i=1,2,⋯,n-1),若要回代过程也能完成,还应 , 若要回代过程也能完成, 加上D ｜ ｜ ,综合上述有: 加上 n=｜A｜≠0,综合上述有:
⋯
( a kkk )
⋮
( a nkk )
⋯ a 1(1 ) b1(1 ) n (2) (2) ⋯ a 2 n b2 ⋯ ⋯ ⋯ (k ) (k ) ⋯ a kn b k ⋯ ⋮ ⋮ (k ) (k ) ⋯ a nn b n
7
结束
本次消元的目的是对框内部分作类似第一次消元的处 ( (k 消掉第k+1到第 个方程中的 k项,即把 akk ) ,k到 ank ) 化 到第n个方程中的 理,消掉第 到第 个方程中的x +1 为零.计算公式如下: 为零.计算公式如下:

解线性方程组的直接解法

解线性方程组的直接解法一、实验目的及要求关于线性方程组的数值解法一般分为两大类：直接法与迭代法。

直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算来求方程组解的方法。

通过本次试验的学习，应该掌握各种直接法，如：高斯列主元消去法，LU分解法和平方根法等算法的基本思想和原理，了解它们各自的优缺点及适用范围。

二、相关理论知识求解线性方程组的直接方法有以下几种：1、利用左除运算符直接求解线性方程组为bx\=即可。

AAx=，则输入b2、列主元的高斯消元法程序流程图：输入系数矩阵A，向量b，输出线性方程组的解x。

根据矩阵的秩判断是否有解，若无解停止；否则，顺序进行；对于1p:1-=n选择第p列中最大元，并且交换行；消元计算；回代求解。

（此部分可以参看课本第150页相关算法）3、利用矩阵的分解求解线性方程组（1）LU分解调用matlab中的函数lu即可，调用格式如下：[L,U]=lu（A）注意：L往往不是一个下三角，但是可以经过行的变换化为单位下三角。

（2）平方根法调用matlab 中的函数chol 即可，调用格式如下：R=chol （A ）输出的是一个上三角矩阵R ，使得R R A T =。

三、研究、解答以下问题问题1、先将矩阵A 进行楚列斯基分解，然后解方程组b Ax =(即利用平方根法求解线性方程组，直接调用函数)：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=19631699723723312312A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=71636b 解答：程序：A=[12 -3 2 1;-3 23 -7 -3;2 -7 99 -6;1 -3 -6 19];R=chol(A)b=[6 3 -16 7]';y=inv(R')*b %y=R'\bx=inv(R)*y %x=R\y结果：R =3.4641 -0.8660 0.5774 0.28870 4.7170 -1.3780 -0.58300 0 9.8371 -0.70850 0 0 4.2514y =1.73210.9540-1.59451.3940x =0.54630.2023-0.13850.3279问题 2、先将矩阵A 进行LU 分解，然后解方程组b Ax =（直接调用函数）：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=8162517623158765211331056897031354376231A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=715513252b解答：程序：A=[1/3 -2 76 3/4 5;3 1/sqrt(3) 0 -7 89;56 0 -1 3 13;21 65 -7 8 15;23 76 51 62 81];b=[2/sqrt(5);-2;3;51;5/sqrt(71)];[L,U]=lu(A)y=inv(L)*bx=inv(U)*y结果：L = 0.0060 -0.0263 1.0000 0 00.0536 0.0076 -0.0044 0.1747 1.00001.0000 0 0 0 00.3750 0.8553 -0.6540 1.0000 00.4107 1.0000 0 0 0U =56.0000 0 -1.0000 3.0000 13.00000 76.0000 51.4107 60.7679 75.66070 0 77.3589 2.3313 6.91370 0 0 -43.5728 -50.06310 0 0 0 96.5050y =3.0000-0.63880.859850.9836-11.0590x =0.13670.90040.0526-1.0384-0.1146问题3、利用列主元的高斯消去法，求解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=--+=-+-=+-+01002010100511.030520001.0204321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解答：程序：function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)B=[A b];n=length(b);RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0disp('Çë×¢Ò⣺RA~=RB£¬ËùÒÔ´Ë·½³Ì×éÎ޽⡣')returnendif RA==RBif RA==ndisp('Çë×¢Ò⣺ÒòΪRA=RB=n,ËùÒÔ´Ë·½³Ì×éÓÐΨһ½â¡£')X=zeros(n,1);C=zeros(1,n+1);for p=1:n-1[Y ,j]=max(abs(B(p:n,p)));C=B(p,:);for k=p+1:nm=B(k,p)/B(p,p);B(k,p:n+1)=B(k,p:n+1)-m*B(p,p:n+1)endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n);X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp('Çë×¢Ò⣺ÒòΪRA=RB¡´n£¬ËùÒÔ´Ë·½³ÌÓÐÎÞÇî¶à½â¡£') endend键入A=[1 20 -1 0.0012 -5 30 -0.15 1 -100 -102 -100 -1 1];b=[0;1;0;0];[RA,RB,n,X]=liezhu(A,b)结果：请注意：因为RA=RB=n,所以此方程组有唯一解。

6第六章 线性方程组的直接解法

a b
( 3) ij

a12
( 2) a22
a13
a1n
0 0 0
( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0 0



( 3) ( 3) an a 3 nn
b1 ( 2) b2 ( 3) b3 ( 3) bn
即 其中
Numerical Analysis 第二步： 若 (2) 22
a
0
2015/11/6
J. G. Liu
a1n a a
( 2) 2n
( 2) nn
b1 ( 2) b2 ( 2) bn
， a 11
a 第i行 第2行 a ( 2)
A b
1 2 3
2 5 1
3 14 3 14r 2 r 1 2 r2 3r1 0 1 4 10 2 18 3 1 0 5 4 22 5 20
School of Math. & Phys.
9
North China Elec. P.U.

( 2) n
( 2) nn
b
( 2) i
ai1 bi b1 a11
运算量： (n-1)*(n+1)
11 North China Elec. P.U.
School of Math. & Phys.
a11 a12 ( 2) 0 a22 0 a ( 2) n2
a a a
0 0
(1) 13 (2) 23 (3) 33
a a
0

线性方程组的直接解法


(0) b1 (1)式变为A( 0) x b 则 (0) bn
b( 0)
a 0 0
(0) 11
a
a
(0) 12 (1) 22

(1) an 2
x1 b a x 2 b ( 1 ) b (1) x a nn n n a
2 3 2 n O( n ) 3
Gauss消去法工作量为
回代
求解三角形方程组(2), 得求解公式:
( n 1) b n x ( n 1) n ann n ( k 1) ( k 1) ( b a xj) k kj j k 1 ( k 1) xk a kk

( k－ 1) 设akk 0,以第k行为基础, 将以后各行中 ( k－ 1) 的aik ( i k 1, , n)化为0.
( k 1) ( k 1) 计算 lik aik / akk (i k 1, ..., n)
10
(0) a1 n (1) a2 n ( k 1) akn ( k 1) ann
2 5 1
0.1000 104 0.2000 10
0.1000104 0
0.1000 10 0.1000 10 r 210 r 0.1000 10 0.3000 10
0.100010 0.2000106 0.100010 0.2000106
(0) 1n (1) 2n
12
将(1)式化为(2)式的过程称为消元过程.
Gauss消去法的消元过程算法

线性方程组的解法线性方程组

线性方程组的解法线性方程组线性方程组是数学中常见的一种方程形式，它由多个线性方程联立而成。

解线性方程组是在给定一组方程的条件下，求出符合这些方程的未知数的取值，从而满足方程组的所有方程。

本文将介绍线性方程组的解法和应用。

一、高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用方法。

它通过一系列行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。

具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中未知数的系数和常数项构成矩阵的左右两部分。

2. 选取一个主元（即系数不为零的元素）作为基准行，并通过行变换使得该元素为1，同时消去其他行中该列的元素。

3. 重复上述步骤，将矩阵转化为行阶梯形式，即每一行的主元都在前一行主元的右下方。

4. 进行回代，从最后一行开始，逐步求解方程组的未知数。

高斯消元法能够解决大部分线性方程组，但对于某些特殊情况，例如存在无穷解或无解的方程组，需要进行额外的判断和处理。

二、矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种解线性方程组的方法。

它通过求解方程组的系数矩阵的逆矩阵，再与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。

具体步骤如下：1. 如果线性方程组的系数矩阵存在逆矩阵，即矩阵可逆，那么方程组有唯一解。

2. 计算系数矩阵的逆矩阵。

3. 将逆矩阵与常数项的矩阵相乘，得到未知数的解向量。

需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况，对于不可逆的方程组，则无解或者存在无穷解。

三、克拉默法则克拉默法则适用于n个未知数、n个方程的线性方程组。

它利用行列式的性质来求解未知数。

具体步骤如下：1. 构建系数矩阵和常数项的矩阵。

2. 计算系数矩阵的行列式，即主对角线上各元素的乘积减去副对角线上各元素的乘积。

3. 分别用求解一个未知数时的系数矩阵替代系数矩阵中对应列的元素，再计算新矩阵的行列式。

4. 将每个未知数的解依次计算出来。

克拉默法则的优点是理论简单，易于理解，但随着未知数和方程数的增加，计算复杂度呈指数增长，计算效率较低。

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现代数值计算
第二章 线性方程组的数值解法
第二章 线性方程组的数值解法
§2.0 引 言 §2.1 Gauss消去法 §2.2 矩阵的三角分解 §2.3 QR分解和奇异值分解
汪远征
§2.0 引 言
汪远征
在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性
代数方程组。
例如：电学中的网络问题
用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题
a(1) 11
0
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
素=00不, 则为a在n0(22,)第可1交列换中an(2n至行)
b(1) 1
b(2) 2
bn( 2
)
后再消元
[ A(2) | b(2) ]
a(2) ij
a (1) ij
a (1) i1
a (1) 11
a (1) 1j
迭代法具有需要计算机的存贮单元较少、程序设计简单、原
始系数矩阵在计算过程中始终不变等优点, 但存在收敛性及收
敛速度问题。
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组(尤其是由微分方程离散后得
到的大型方程组)的重要方法。
第6章介绍迭代法解线性方程组。
§2.1 Gauss消去法
直接法的基础
汪远征
高斯(Gauss)消去法是解线性方程组最常用的方法之一
1. 消去过程 bi(k1)
bi( k )
a(k) ik
a(k) kk
bk( k )
(2) 第k次消元。
— —
减去第k行的
减去bk( k
)的
ai(kk ak( kk
aa)汪ki((kkkk远)) 倍征
倍
)
i k 1, k 2,..., n
a1(11) 0 [ A(k) | b22 an2
a1n
a2n
ann
为非奇异阵,
x1
x
x2
,
xn
b1
b
b2
bn
关于线性方程组的数值解法一般有两类：
直接法与迭代法。
§2.0 引 言
汪远征
1. 直接法
就是经过有限步算术运算, 可求得方程组精确解的方法(若计算
过程中没有舍入误差)。
a(1) n1
a(1) 12
a(1) 22
a(1) n2
a(1) 1n
a(1) 2n
a(1)
nn
b1(1 b2(1
) )
bn(1
)
a1(11)
0
0
a(1) 12
a(2) 22
a(2) n2
a(1) 1n
a(2) 2n
b(1) 1
b(2) 2
a(2) nn
b(2) n
[ A(2) | b(2) ]
它的基本思想是通过逐步消元（行的初等变换）, 把方程组化 为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组, 然后用回代法解此三 角形方程组（简单形式）得原方程组的解。
例如：
1 1 1 6 1 1 1 6
[ A | b] 1
3
2 1 0
2
3
5
2 2 1 1 0 4 1 11
1 1 1 6
0
2
b( k1) i
bi( k )
a(k) ik
a(k) kk
bk( k )
j k 1, k 2,..., n
— —
减去第k行的
减去bk(
k
)的
ai(kk ak( kk
a(k) ik
a(k) kk )
倍
)
倍
i k 1, k 2,..., n
注：为减少计算量,
令 lik
a(k) ik
a(k) kk
a(1) 1k
a(k) kk
a(k) nk
a(1) 1n
b1(1
)
a(k) kn
bk( k
)
a(k) nn
bn(k )
a(1) 11
a(1) 1k
a(1) 1 k 1
a a (k )
(k)
kk
k ,k1
0
a ( k1) k 1, k 1
0
a ( k1) n, k 1
a(1) 1n
3
5
0 0 7 21
§2.1 Gauss消去法 下面讨论一般的解n阶方程组的高斯消去法。
1. 消去过程
将原方程组记为 A(1)x =b(1) 其中A(1)=(aij(1))nn=(aij)nn , b(1)=b (1) 第一次消元。
汪远征
[ A(1)
|
b(1) ]
a(1) 11
a(1) 21
,
则
a( k 1) ij
a(k) ij
likak( kj )
b( k 1) i
b(k) i
likbk( k )
j k 1, k 2,..., n
i k 1, k 2,..., n
但实际计算中由于舍入误差的存在和影响, 这种方法也只能求
得线性方程组的近似解。
本章将阐述这类算法中最基本的高斯消去法及其某些变形。
这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法, 近十几年来直
接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展
。
§2.0 引 言
汪远征
2. 迭代法
就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。
a(k)
kn
a ( k 1) k 1, n
a ( k 1) nn
b(1) 1
b(k) k
b( k 1 k 1
)
[ A(k1)
|
b(k1) ]
bn( k1)
§2.1 Gauss消去法
1. 消去过程
汪远征
(2) 第k次消元。
a( k1) ij
a(k) ij
a(k) ik
a(k) kk
a(k) kj
b(2) i
b(1) i
a (1) i1
a (1) 11
b(1) 1
j 2,3,..., n
—
减去第1行的
a (1) i1
a (1) 11
倍
—
减去b1(1)的
a (1) i1
a (1) 11
倍
i 2,3,..., n
ai(§jk12) .1ai(Gjk )auaaski((skkkk消)) ak(去kj ) 法j k 1, k 2,..., n
解非线性方程组问题
用差分法或者有限元方法解常微分方程
偏微分方程边值问题等
都导致求解线性代数方程组。
§2.0 引 言
汪远征
这些方程组的系数矩阵大致分为两种
一种是低阶稠密矩阵(例如, 阶数大约为≤150)
另一种是大型稀疏矩阵(即矩阵阶数高且零元素较多)
§2.0 引 言
汪远征
设有线性方程组Ax = b, 其中
§2.1 Gauss消去法
1. 消去过程
(1) 第一次消元。
[ A(1)
|
b(1) ]
a(1) 11
a(1) 21
a(1) 12
a(1) 22
a(1) n1
a(1) n2
其中
a(2) 2j
a (1) 2j
a (1) 21
a (1) 11
a (1) 1j
汪远征
j 2,3,...n
aaa注 少12n(((111nnn)))：有bbb若一12n(((111))) a个11(元1)