反常积分的收敛判别法阿文摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值.关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法引 言一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的.一 非负函数反常积分的收敛判别法1.比较判别法设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ϕ≤≤，其中K 是正常数，则（1） 当⎰+∞adx x )(ϕ收敛时⎰+∞a dx x f )(也收敛；（2） 当⎰+∞a dx x f )(发散时⎰+∞a dx x )(ϕ也发散.2.Cauchy 判别法设在),[+∞a ),0(+∞⊂上恒有0)(≥x f ，K 是正常数，（1）若p xK x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ⎰+∞)(收敛； （2）若p xx f K ≥)(，且p 1≤，则⎰+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法1.Abel 判别法dx x f a ⎰+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛；2.Dirichlet 判别法F(A)=dx x f A a ⎰)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(⎰+∞收敛.三 无界函数反常积分的收敛判别法1.Cauchy 判别法设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,)()(p x b K x f -≤且p<1，则⎰b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(px b K x f -≥且p 1≥则⎰b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法⎰ba dx x f )(收敛，)(x g 在),[b a 上单调有界，则⎰ba dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法⎰-=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则⎰ba dx x g x f )()(收敛.总 结函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同.熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高.参考文献[1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.。
■北京电子科技职业学院景妮琴摘要：反常积分的应用较广泛。
文中先给出了反常积分的概念，反常积分包括两类：无穷积分和瑕积分。
反常积分的定义是计算反常积分的基础，定积分的计算方法一般也可用到反常积分计算中：如换元积分法，分部积分法。
用数学分析中计算反常积分的方法计算一些反常积分如+∞乙sin x2dx,sin xxdx是麻烦的，但是利用留数定理来计算，往往就比较简单。
文中还介绍了反常积分的其他计算方法：二重积分理论，函数的对称性，Г，β函数等。
由于反常积分的计算方法灵活多样，本文主要介绍反常积分的七种计算方法。
关键词：反常积分计算方法换元法分部积分法反常积分是数学分析的一个重要概念，实际应用中经常会遇到反常积分的计算题。
大家都比较熟悉定积分的计算方法：换元法，分部积分法等。
反常积分的应用也较广泛，因此有必要研究反常积分的计算方法。
其实定积分的计算方法一般也可用到反常积分计算中：如换元积分法，分部积分法。
当然反常积分还有很多计算方法：如留数定理，二重积分理论，Г，β函数等。
合理地使用这些方法，反常积分的计算也就迎刃而解了，并且解答过程简洁明了。
计算较简单的反常积分时，先考虑用反常积分的定义求解；由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的，因此有关定积分的换元积分法和分部积分法一般都可引用到无穷积分中来；应用复变函数中留数定理的方法可以较简便地计算一些类型的广义积分；还可用二重积分理论，函数的对称性，τ函数与β函数计算反常积分。
有时计算一个反常积分要同时用到几种方法，我们要找到最佳方法。
一、利用反常积分的定义计算反常积分对反常积分+∞乙f（x）dx，若对坌A＞0，limA→+∞Aa乙f （x）dx存在，称反常积分+∞a乙f（x）dx收敛且称上述极限值为反常积分的值，即+∞a乙f（x）dx=limA→+∞Aa乙f（x）dx。
故可看出，反常积分由定义计算可分两步：第一步求定积分：Aa乙f（x）dx=F（A）第二步取极限：limA→+∞Aa乙f（x）dx=limA→+∞F（A）例1.1计算反常积分+∞2乙1x（x-1）dx分析：用反常积分的定义来解题，分两步来计算。
■北京电子科技职业学院景妮琴摘要：反常积分的应用较广泛。
文中先给出了反常积分的概念，反常积分包括两类：无穷积分和瑕积分。
反常积分的定义是计算反常积分的基础，定积分的计算方法一般也可用到反常积分计算中：如换元积分法，分部积分法。
用数学分析中计算反常积分的方法计算一些反常积分如+∞乙sin x2dx,sin xxdx是麻烦的，但是利用留数定理来计算，往往就比较简单。
文中还介绍了反常积分的其他计算方法：二重积分理论，函数的对称性，Г，β函数等。
由于反常积分的计算方法灵活多样，本文主要介绍反常积分的七种计算方法。
关键词：反常积分计算方法换元法分部积分法反常积分是数学分析的一个重要概念，实际应用中经常会遇到反常积分的计算题。
大家都比较熟悉定积分的计算方法：换元法，分部积分法等。
反常积分的应用也较广泛，因此有必要研究反常积分的计算方法。
其实定积分的计算方法一般也可用到反常积分计算中：如换元积分法，分部积分法。
当然反常积分还有很多计算方法：如留数定理，二重积分理论，Г，β函数等。
合理地使用这些方法，反常积分的计算也就迎刃而解了，并且解答过程简洁明了。
计算较简单的反常积分时，先考虑用反常积分的定义求解；由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的，因此有关定积分的换元积分法和分部积分法一般都可引用到无穷积分中来；应用复变函数中留数定理的方法可以较简便地计算一些类型的广义积分；还可用二重积分理论，函数的对称性，τ函数与β函数计算反常积分。
有时计算一个反常积分要同时用到几种方法，我们要找到最佳方法。
一、利用反常积分的定义计算反常积分对反常积分+∞乙f（x）dx，若对坌A＞0，limA→+∞Aa乙f （x）dx存在，称反常积分+∞a乙f（x）dx收敛且称上述极限值为反常积分的值，即+∞a乙f（x）dx=limA→+∞Aa乙f（x）dx。
故可看出，反常积分由定义计算可分两步：第一步求定积分：Aa乙f（x）dx=F（A）第二步取极限：limA→+∞Aa乙f（x）dx=limA→+∞F（A）例1.1计算反常积分+∞2乙1x（x-1）dx分析：用反常积分的定义来解题，分两步来计算。
